怎样解答两类抛物线问题

与抛物线有关的问题很多，常见的有：（1）求抛物线的方程；（2）判断直线与抛物线的位置关系；（3）求直线的斜率或方程；（4）求直线与抛物线所围成图形的面积；（5）求抛物线的焦点或弦长等.与抛物线有关的问题侧重于考查抛物线的定义、几何性质、韦达定理、弦长公式等.下面主要谈一谈两类抛物线问题的解法.

一、与抛物线有关的直线斜率或方程问题

与抛物线有关的直线斜率或方程问题，往往需要先设出相关的参数，如直线的斜率或方程，交点的坐标等；然后根据直线与抛物线的位置关系来建立关系式；再根据判别式Δ、韦达定理、弦长公式等，建立关于直线斜率的关系式；最后通过化

简、换元等求出问题答案.

例1.如图1，过抛物线y2=4x的焦点F作斜率为k的直线l，与抛物线交于A、D两点，与圆（x-1）2+y2=1交于B、C两点（A、圆的方程，以及A、B、C、D四点的位置关系建立关于x、x的关系式，通过代换求出问题的答案1 2 .

例2.已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴，点A（-4，4）在抛物线C上；

（1）求抛物线C的方程；

（2）直线l过定点B（-1，0），且与抛物线C相交，所得的弦长为8，求该直线的方程.

解：（1）已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴；故设抛物线的方程为：y2=mx（m≠0）；

又点A（-4，4）在抛物线C上，代入可得-4m=16，即m=-4；

故抛物线C的方程为：y2=-4x；

（2）由题意可设直线l的方程为：y=k（x+1）（k≠0），l C P（x ，y） Q（x ，y21 ）直线与抛物线 的两个交点为 1， 2，

即1+k2=2k2，解得k=±1，

所以直线l的方程为y=x+1或y=-x-1.

解答本题需抓住两个关键信息：（1）直线l过定点B（-1，0），据此可设出直线的方程；（2）直线与抛物线C相交，所得的弦长为8，由此可联想到弦长公式，于是

将直线与抛物线的方程联立，根据韦达定理求得

x1+x2、x1x2，再根据弦长公式建立关系式，通过解方程求得k的值.解答与抛物线有关的直线斜率或方程问题，关键是根据题目中的信息，联系相关的公式、定理，建立关于直线斜率、方程的关系式.

二、与抛物线有关的图形面积问题

要求与抛物线有关的图形面积问题，需先根据题意画出图形，以确定直线与抛物线的位置关系，明确图形的性质，并将其割补为几个三角形，以将问题转化为几个三角形的面积问题.在割补图形时，往往要沿着与坐标轴平行、垂直的线，或已知的直线切割，这样方便快速求得三角形的底边长、高线长、两邻边的夹

例3.如图2，已知点P是抛物线C：y2=2x上的点，直线l与抛物线C切于点P，直线PQ⊥l，且与抛物线交于点Q（异于点P），与抛物线C在点Q处的切线交l交于T，求ΔPQT的面积的最小值.

号成立；

故SΔPQT≥23=8，即本题答案为8.

由于PQ⊥l，则△PQT为直角三角形，只需求得三角形的两条直角边PQ、PT的长，即可根据三角形的面积公式解题.要求PQ、PT的长，需设出切线l、直线PQ的方程，分别将PQ的方程与直线l的方程、抛物线的方程联立，求得Q、T的坐标，进而根据两点间的距离公式求解.

总的来说，有关抛物线的问题运算量较大，较为复杂，但只要我们在解题的过程中认真审题，灵活运用抛物线的定义、几何性质，韦达定理、弦长公式等，就能找到解题突破口.同学们要学会运用数形结合思想、方程思想、转化思想来辅助解题，这样能有效提升解题的效率.