例析四类三角函数问题的解法

三角函数是高中数学中的重要板块.三角函数问题的命题形式很多，常见的有三角函数最值问题、求值问题、单调性问题、图象问题、周期问题等.下面结合实例，谈一谈四类三角函数问题的解法.

一、三角函数最值问题

三角函数最值问题的常见命题形式是根据三角函数的定义域、解析式求函数的最值.我们往往要先灵活运用辅助角公式、二倍角公式、两角的和差公式等，将三角函数式进行恒等变形，使其成为最简形式，如只含有一种三角函数名称、一个角、次数统一的式子；然后根据函数的定义域确定要求角的范围；再根据正弦、余弦、正切函数的单调性和有界性来求得函数的最值.

的范围，就能根据正弦函数的单调性求得函数的最值

.二、三角函数周期问题三角函数周期问题主要有：（1）求三角函数的周期；（2）根据函数的周期求函数的解析式、参数的取值范围.解答三角函数周期问题，需首先运用三角函数的基本公式进行恒等变换，将函数式化为只含有一种函数名称的式子，如y=Asin（ωx+ϕ）+b、y=Acos（ωx+ϕ）+b、y=Atan（ωx+ϕ）+b；然后根据正余弦函数的周期公式

我们需先根据辅助角公式、二倍角公式、同角三角函数的关系式将各选项中的函数式化简为只含有一种三角函数名称的式子；然后直接根据正弦、余弦、正切函数的周期公式进行求解.

三、三角函数的化简与求值问题

三角函数的化简与求值问题比较常见.这类问题侧重于考查三角函数基本公式的应用以及进行三角

恒等变换的技巧.在化简时，要抓住三个关键点：一看角，二看函数名称，三看结构.首先明确角之间的差别，并建立二者之间的联系，把角进行合理的拆分，选用合适的公式将异角化同角；然后观察函数名称之间的差异，选用合适的公式来变换函数名称，通过弦切互化、切化弦、弦化切的技巧，使三角函数式中的函数名称统一；最后分析三角函数式的结构特征，进行降幂或升幂，使函数式中的次数统一.化简三角函数式后，将已知的值、关系式代入，就能求得函数的值.

例4.（2024年新课标Ⅱ卷）已知α为第一象限角，β为第三象限角，tanα+tanβ=4，tanαtanβ= 2 +1，则sin（α+β）=_______.

解法1.因为α为第一象限角，β为第三象限角，

解法1是先根据两角和的正切公式来求得α+β的正切值，然后根据同角三角函数的关系式进行求解.解法2是将cos2（α+β）除以同角三角函数的关系式：sin2（α+β）+cos2（α+β）=1，将弦化切，从而求得cos2（α+β）

与sin（α+β）的值.在进行三角恒等变换时，要注意变换函数的名称、角、幂，并选用合适的公式.

四、三角函数图象问题

三角函数的图象问题主要有根据三角函数的图象求函数的解析式、参数的值、对称轴、单调区间、对称中心、周期，以及三角函数图象的变换问题.解答三角函数图象问题，需首先将三角函数进行恒等变换，把函数式化为只含一种函数名称的式子；然后将其函数图象视为把y=sinx、y=cosx、y=tanx的图象进行伸缩、旋转、翻折变换得到的.这就要求我们熟悉一些基本的图象变换规律.如对于y=Asin（ωx+φ）+b，改变φ，可以将图象进行左右平移；改变ω，可以将图象进行左右伸缩；改变A，可以将图象进行上下平移.例5（. 2024年新课标Ⅰ卷）当x∈[0，2π]时，曲线

过观察图形，求得问题的答案.

可见，解答三角函数问题，需注意：（1）选用合适的三角函数公式进行恒等变换；（2）灵活运用正弦、余弦、正切函数的图象、性质；（3）学会运用数形结合思想来辅助解题.