巧构对偶式，妙求三角函数的值

在解答三角函数问题时，我们经常会遇到一些涉及多个三角函数式的和、差、积、商的求值问题.若按照常规方法求解，运算过程往往较为繁琐.我们不妨根据三角函数式的结构特征，构造出对偶式，再将对偶式与原式相加、减、乘、除，即可根据同角三角函数的关系式：sin2x+cos2x=1以及二倍角公式，顺利化简函数式，从而求得函数式的值.那么如何构造对偶式呢？下面结合实例来进行探讨.

一、构造和差对偶式

对于形如asinx+bcosx=c、asinx-bcosx=c的三角函数求值问题，通常可以通过构造对偶式的方式来解答.首先将函数式中的正弦式化为余弦式，将余/hfzSrJXuepOJmlmNXCL6Aq67TK/bJQ3buDRrWzhKKU=弦式化为正弦式，构造出原函数式的对偶式，即acosx-bsinx=t或acosx+bsinx=t；然后将对偶式与原函数式平方并相加，即可根据sin2x+cos2x=1求

解：因为sinα+3cosα=- 10，

构造对偶式：cosα-3sinα=t，

将sinα+3cosα=- 10和cosα-3sinα=t两边平方得：

sin2α+6sinα∙cosα+9cos2α=10，（1）

cos2α-6sinα∙cosα+9sin2α=t2，（2）

将（1）+（2）式，得1+9=10+t2，解得t=0.

二、构造乘积对偶式

对于多个正弦式（或余弦式）连乘的化简和求值问题，可以先将函数式中的正弦式化为余弦式，将余弦式化为正弦式，以构造出对偶式；然后将两式相乘，便可根据二倍角公式将同角的正弦式、余弦式化为二倍角的余弦式，从而使函数式得以简化，快速求得三角函数的值.

例2.求sin10°∙sin50°∙sin70°的值.

解：设A=sin10°sin50°sin70°，

构造对偶式：B=cos10°cos50°cos70°，

将上述两式相乘，可得：

AB=（sin10°cos10°）（sin50°cos50°）（sin70°cos70°）

值.于是根据A=sin10°sin50°sin70°的特点，构造出对偶式B=cos10°cos50°cos70°，再将A和B两式相

乘，即可根据二倍角公式和诱导公式化简函数式.

可见，运用构造对偶式法解答三角函数求值问题较为便捷，能有效地提升解题的效率.我们只要根据已知函数式的特征构造出合适的对偶式，就可以根据同角三角函数的关系式：sin2x+cos2x=1以及二倍角公式，来化简三角函数式.