如何由递推关系式求数列的通项公式

由递推关系式求数列的通项公式问题比较常见.这类问题侧重于考查同学们的分析、推理的能力.本文将结合一道高考题，谈一谈如何由递推关系式求数列的通项公式，以供参考.

例题：已知数列{an}满足a1=3，an+1=3an-4n，求数列{an}的通项公式.

该递推式涉及了数列的前后两项，以及n的一次式，较为复杂.我们无法直接运用等差、等比数列的通项公式求解，可灵活运用递推法、先猜后证法、构造辅助数列法来解题.

一、递推法

递推法是指根据初始条件与递推关系进行迭代、推导，从而求得数列的通项公式.在运用递推法解题时，要先确定初始条件，即当n=1时，由递推关系式得出结论；然后以此为依据，进行递推、迭代，从而得出

因为a=3，所以a=2n+11 n .

我们先将n=n，n-1，…，2，1代入递推关系式中；然后逐步进行替换，通过迭代得出an-（2n+1）=3n-1·（a1-3），进而根据a1=3求得an的表达式.

二、先猜后证法

运用先猜后证法求数列的通项公式，需先根据数列的递推关系式列出数列的前几项，找出其中的规律，猜想出数列的通项公式；然后运用数学归纳法、分析法、综合法等证明所猜想的结论成立.

解：①当n=1时，a2=3a1-4×1，解得a2=5；

②当n=2时，a3=3a2-4×2，解得a3=7；

因为a=2×1+1=3，所以猜想a=2n+11 n .

假设当n=k时，猜想成立，则a=2n+1n ，

可得an+1=2（n+1）+1=2n+3.

由an+1=3an-4n可得an+1=3（2n+1）-4n=2n+3，所以猜想成立.

我们先根据数列的递推关系式求得数列的前三项，进而猜测出数列的通项公式；然后运用数学归纳法证出an+1，从而证明猜想成立.

三、构造法

对于较为复杂的递推关系式，往往需运用构造法来求解.先通过取倒数、取对数、引入系数、凑分子等方式将递推关系式变形为an+1+B=k（a+B）、an+1+A（n+n

1）+B=k（a+An+B）的形式，从而构造出辅助数列n

{an+B}、{an+An+B}；再根据等差、等比数列的通项公式求得辅助数列的通项公式，进而求得数列 a的{ n}

通项公式.

解：设存在常数A、B，

使得an+1+A（n+1）+B=3（a+An+B），n

化简得2An+2B-A=-4n，

可得an+1-2（n+1）-1=3（a-2n-1）n .

因为a=3，a-2-1=01 1 ，

所以数列{a-2n-1}是首项为0，公比为3的n 等

比数列.

所以an-2n-1=0，得an=2n+1.

我们首先引入待定系数A、B，将递推关系设为an+1+A（n+1）+B=3（an+An+B）；然后将其与递推关系式的系数相比较，建立方程组，从而求得待定系数A、B的值，进而构造出等比数列{a-2n-1}；再根据n

等比数列的通项公式进行求解即可.

总的来说，由递推关系式求数列的通项公式，关键在于对递推公式进行合理的变形、转化，运用由一般到特殊的思想，将陌生的问题转化为熟悉的、易于计算的简单问题来求解.