选用合适的方法，快速比较函数式的大小

比较函数式大小问题常以选择题、填空题的形式出现.虽然这类问题较为简单，但是如果我们选用的方法不当，就会陷入解题困境.下面结合实例，谈一谈如何高效地比较出函数式的大小.

一、利用函数的单调性

在比较函数式的大小时，我们通常要用到对数函数、指数函数、二次函数等函数的单调性.这就要求我们熟记对数函数、指数函数、二次函数等的单调性.一般地，底数大于1的对数函数在R+上单调递增，底数大于0且小于1的对数函数在R+上单调递减；底数大于1的指数函数在R+上单调递增，底数大于0且小于1的指数函数在R+上单调递减.在判断出自变量的大小后，就可以直接根据函数的单调性来比较出函数式的大小.对于增函数，若a>b，则 f（a）>f（b）；对于减函数，若a>b，则 f（a）<f（b）.

例1.已知函数 f（x）=（1 x） -log2x，对于正实数a，

b，c，有 f（c）<0<f（a）<f（b）.若d为方程 f（x）=0的实数根，则①d<a；②d>b；③b<c；④a>c中正确的有 .

解：因为d为方程 f（x）=0的实数根，所以 f（d）=0，故 f（c）<f（d）<f（a）<f（b）.

因此函数 f（x）在（0，+∞）上单调递减，

又a，b，c，d都是正实数，

所以c>d>a>b，则②③正确.

1 x

f（x） y=（ ） y=-logx函数 是 与 2的和，而函数

以判断出 f（x）在（0，+∞）上的单调性，进而根据函数f（x）的单调性判断出a、b、c、d的大小关系.

二、数形结合法

数形结合法是解答数学问题的常用方法.在比较函数式的大小时，我们要先将要比较的几个函数式化简、变形；然后取几个特殊点，根据函数的单调性，画出相应的函数图象；再观察几个函数图象的位置或交点，即可比较出函数式的大小.

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例2.已知x，y，z均为大于0的实数，且2x=3y=log5z，则x，y，z的大小关系为（ ）.

A.x>y>z B.x>z>y C.z>x>y D.z>y>x解：因为x，y，z均为大于0的实数，

所以2x=3y=log z=t>1，5

在同一平面直角坐标系中画出函数 f（x）=2x，f（x）=3x，f（x）=log5x的图象与直线y=t>1，如图所示，则x，y，z分别为函数 f（x）=2x，f（x）=3x， f（x）=logx5与

直线y=t的交点的横坐标.

由图可知z>x>y，故正确答案为C.

已知关系式涉及了对数、指数函数，我们无法直接比较其大小，于是构造出函数 f（x）=2x、f（x）=3x、f（x）=logx，则x、y、z分别为函数 f（x）=2x、f（x）=3x5 、f（x）=log5x与直线y=t的交点的横坐标.画出函数的图象，即可通过观察图象找出 f（x）=2x、f（x）=3x、f（x）

=logx与直线y=t的交点，确定其横坐标的位置，5 就能比较出x、y、z的大小.

三、借助中间值

有些函数式较为复杂，无法直接比较出其大小，此时我们不妨根据两个函数式的范围引入中间值，通过比较函数式与中间值的大小，来比较出两个函数式的大小.通常以0、-1、1等为中间值，其中 log 1=0a 、logaa=1、a0=1，我们就可以通过换底数来轻松地比较出函数式的大小.

例3.已知a=log 0.5，b=log 0.3，c=lo5 2 g0.3a，b，c的大小.

b0=1，利用对数函数、指数函数、幂函数的单调性比较出-1<a<0、b>1、0<c<1，进而得到正确的答案.

四、取特殊值

特殊值法主要适用于解答选择题.当题目中出现比较复杂的函数式时，可以取特殊值，如0、1、-1、2等较小的整数，将其代入函数式中，即可通过简单的计算求得函数的值，进而比较出函数式的大小.

例5.已知a，b，c满足a=log （2b+3b），c=log （5b3 3 -2b），则（ ）.

A.|a-c|≥|b-c|，|a-b|≥|b-c|

B.|a-c|≥|b-c|，|a-b|≤|b-c|

C.|a-c|≤|b-c|，|a-b|≥|b-c|

D.|a-c|≤|b-c|，|a-b|≤|b-c|

解：因为a=log3（2b+3b），c=log3（5b-2b），

令b=2，则a=log3（2b+3b）=log313，c=log3（5b-2b）=log 21>0，3

即|a-b|<|b-c|，排除A，

则正确答案为B.

解答本题，主要采用了特殊值法.题目中的两个函数式均较为复杂，于是令b=2，将其代入函数式中，进而通过排除不正确的选项，得到正确的答案.

五、利用重要不等式进行放缩

在比较函数式的大小时，我们可以运用一些重要的不等式，如糖水不等式、基本不等式、柯西不等式、权方和不等式、切线不等式等将函数式进行放缩，并改变函数式的结构、形式，从而快速比较出两个函数式的大小.

缩，从而比较出a、b、c的大小.

综上所述，比较函数式大小的方法很多，如利用函数的单调性、数形结合法、中间值法、特殊值法、利用重要不等式等.同学们需熟悉这些常用方法的特点、适用情形、运用步骤等，这样才能快速找到最佳的解题方案.