多思维应用 巧追根溯源 妙变式拓展

摘要：借助一道三角函数最值题的剖析，从多思维应用入手进行“一题多解”，合理追根溯源进行“试题链接”，开拓数学思维进行“变式拓展”，引领并指导数学教学与解题研究.

关键词：三角函数；最值；不等式；导数；几何

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2024）25-0021-03

收稿日期：2024-06-05

作者简介：张春梅（1981.1—），女，湖北人，硕士，中学一级教师，从事高中数学教学研究.[FQ）]

三角函数的最值问题是高考的重点和热点之一.此类问题往往题设条件简捷明了，切入思维方式多样，问题突破点不尽相同，解题技巧与方法多变，是全面考查数学“四基”与数学能力的基本考点之一，备受关注.“一题多解”是克服学生思维定式的一种有效途径，也是培养学生发散思维的一种有效方法［1］.本文对一类三角函数最值问题进行研究，多角度、多思维探究解题方法，进一步丰富学生的解题策略，帮助学生培养综合分析问题的能力，形成良好的数学素养.

1问题呈现

在实际解题时，往往是合理回归三角函数中最值（或取值范围）问题的解题思维与技巧，可以采用不等式思维、导数思维以及几何思维等来切入，合理选用相应的方法来转化与求解，实现问题的突破与解决［2］.

2问题破解

2.1不等式思维

解后反思该方法也是通过两次放缩来处理，综合利用不等式的性质（a≤|a|）与均值不等式（abcd≤（a+b+c+d4）4）等，合理配凑吻合三角函数的平方关系来转化是利用均值不等式放缩的关键.

2.2导数思维

解后反思导数法是解决函数的单调性与最值等相关问题中比较常用的一种技巧方法.通过相应函数的求导运算，结合导函数的正负取值判断，进而确定相应的函数单调性，JzE0NxFSaY1lYirljLesmEzrNc/SfpF2PbrLl3xCv3A=就可以比较直接地确定相应函数的最值.

2.3几何思维

解后反思根据所求三角函数代数式的结构特征，充分挖掘其实质，合理创设数学模型的解题意境.通过构建平面几何图形，抓住图形的几何特征与性质，利用数形结合也是解决一些三角函数问题的一种“巧技妙法”，开拓数学思维与解题技巧.

3考题链接

4变式拓展

5结束语

解决涉及三角函数关系式的最值（或取值范围）问题，往往基于三角函数的本质与内涵，从基本概念、基本性质以及基本公式等入手，合理寻找问题的切入点，借助其他相关的知识加以分析与求解.这是解决此类涉及三角函数关系式的最值（或取值范围）问题的“通性通法”，也是命题的基本基石，要加以合理把握［3］.

波利亚曾说过，掌握数学就是意味着善于解题.

这就要求学习者在实际解题中，要树立正确的解题观，认真分析仔细探究，从不同思维方式的切入进行“一题多思”，从不同技巧方法的应用进行“一题多解”，从不同应用层面进行“一题多变”，养成良好的数学品质与思维习惯，培养数学核心素养.

参考文献：

［1］于先金，唐鹏久.由一道高考三角最值题引发的探究[J].河北理科教学研究，2023（02）：59-61.

［2］ 施华.一个三角最值题的多种解法[J].中学数学研究，2022（02）：53.

［3］ 吴迪.一道高考三角最值题的解与变[J].数理天地（高中版），2019（03）：46-47.

［责任编辑：李璟］