圆锥曲线中与两直线斜率的倒数之和有关的一个性质

摘要：从一道典型试题出发，经过深入探究得到圆锥曲线中与两直线斜率的倒数之和有关的一个性质，主要解决了以下问题：已知定点P，去找定点Q，过点Q的动直线与圆锥曲线交于A，B两点，则直线PA，PB的斜率的倒数之和是定值.

关键词：圆锥曲线；斜率；倒数之和；定值

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2024）25-0064-05

收稿日期：2024-06-05

作者简介：邓启龙，男，江西省遂川人，硕士，中学一级教师，从事中学数学教学研究.

在圆锥曲线的定点定值问题中，有一个熟知的结论，即过圆锥曲线E上的点P，作两条斜率之和（积）为定值的直线分别与圆锥曲线E交于点A，B，则直线AB过定点（或有定向）[1].若点P不在圆锥曲线E上，过点P作两条斜率的倒数之和为定值的直线分别与圆锥曲线E交于点A和点B（其中一个交点），则直线AB是否过定点（或有定向）？若点P不在圆锥曲线E上，是否存在定点Q，过点Q的动直线与圆锥曲线E交于A，B两点，则直线PA，PB的斜率的倒数之和是定值？本文从一道典型试题出发，经过深入探究，得到一系列结论.

1试题呈现与解析

2已知定点P，去找定点Q

3结束语

圆锥曲线是非常重要的一类平面曲线，是平面解析几何的重要内容，它集中体现了解析几何的基本思想.圆锥曲线不仅具有独特的形状，还有很多有趣的性质.本文从一道典型试题出发，经过深入探究，得到圆锥曲线中与两直线斜率的倒数之和有关的一个性质，主要解决了以下问题：已知定点P，去找定点Q，过点Q的动直线与圆锥曲线交于A，B两点，则直线PA，PB的斜率的倒数之和是定值.

参考文献：

［1］曹军.圆锥曲线上的定点定值子弦的性质：圆锥曲线顶点定值子弦性质的推广[J].中学数学研究（华南师范大学版），2013（19）：19-21.

[2] 梅向明.高等几何[M].北京：高等教育出版社，2020.

［责任编辑：李璟］