对一道2024届T8联考题的解法探究与拓展

摘要：直线与圆锥曲线的综合题一直是近几年高考及模考的重点和热点问题，其内容丰富，涵盖了代数、几何等模块的众多知识，还涉及许多解题技巧，能考查考生综合应用数学知识分析问题和解决问题的能力.

关键词：圆锥曲线；直线斜率；圆的切线

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2024）25-0017-04

收稿日期：2024-06-05

作者简介：贺凤梅（1979—），女，湖北省随州人，本科，中学一级教师，从事中学数学教学研究.

圆锥曲线的切线的斜率求解问题逐渐成为高考及模考的常考题型，通常把直线、圆及圆锥曲线等知识融合在一起，注重数学思想方法的考查，尤其是对函数思想、数形结合思想、化归与转化的思想等的考查[1]，符合课程标准中“对数学能力的考查要以数学基础知识、数学思想和方法为基础”的要求.下面以2024届T8联考圆锥曲线解答题为例进行分析与探究，以飨读者.

1试题呈现

2总体分析

本题是2024届高三第一次学业质量评价数学试题（即T8联考）第20题，是直线与圆锥曲线的综合题.此题以椭圆为载体，第（1）问是求椭圆方程，根据题目所给信息以及a，b，c之间的关系，列出等式即可求出，属于基础题.第（2）问常规方法易求，设直线AC的斜截式方程，与椭圆联立，结合根与系数的关系、点到直线的距离公式以及三角形面积公式联合求解即可.不过笔者通过计算与求解发现，除了参考答案中的常规解法外，还可以以AB为底边，点C到AB的距离为高转化求解.因为直线AC与圆相切，也可以借助切点写出切线方程，再利用两种转化策略求解.另外，还可以将问题进行进一步拓展和推广，得到一般结论.以下具体分析与探讨，期待能对大家有所启发.

3试题解答

评注 此解法是以切点坐标设出直线AC的方程，与椭圆方程联立，处理方法与解法1异曲同工，读者朋友们自行阅读与领会.

评注此解法是结合了解法3设直线AC的方法，面积的转化和求解与解法2如出一辙.只要我们善于研究与探讨，一定会发现各种解法之间的关联性，从而拓宽解题思路，提升解题能力.

4拓展与推广

以上的探讨与解答只是对此道题的分析，如果就此止步，未免可惜.根据题目数据的设置，结合图象发现，圆的半径是椭圆的短轴长，由此猜想，△ABC面积是否与椭圆中的a，b，c以及直线AC的斜率k有内在联系呢？于是尝试将问题一般化，进行推广.

评注此法采用的是解法1的求解方法，得出了△ABC的面积与椭圆中的a，b，c以及直线AC的斜率k的关系.据此，试题就有了研究与应用的价值，大家可以依托数据关系给出相关的变式题了，感兴趣的同仁们不妨一试！

5试题链接

评注直线与圆锥曲线试题中涉及求直线斜率与方程的题在历年高考与模考题中均有体现，需要引起大家的重视.

6结束语

直线与圆锥曲线的综合题在高考与模考中均以压轴题出现，主要涉及位置关系的判定、弦长问题、面积问题、定点定值问题、最值问题、直线的斜率问题等.解答这部分试题，需要较强的运算求解能力和识别图形的能力，常常需要快速准确地进行“数”与“形”的语言转换与运算，运算过程中注重思维的严密性，以保证结果的完整性.突出考查了数形结合、转化与化归的数学思想，对分析问题和解决问题的能力要求都很高[2].

参考文献：［1］

刘雄杰.圆锥曲线的切线斜率研究[J].中学数学，2021（21）：46-47，53.

[2] 刘志浩.圆锥曲线问题的几何思考[J].课程教学研究，2013（11）：132.

［责任编辑：李璟］