常量代换齐次化 整体思维构斜率

摘要：在求解直线与圆锥曲线位置关系问题时，如果借助整体思维，通过齐次化的思想方法就可以巧妙构造斜率，得到关于y/x的一元二次方程，从而将问题中涉及的两条直线的斜率直接视为该一元二次方程的两个根，然后根据韦达定理直接得到斜率之和与斜率之积的表达式．

关键词：齐次化；圆锥曲线；斜率之和；斜率之积

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2024）25-0011-06

收稿日期：2024-06-05

作者简介：朱贤良（1981—），男，安徽省枞阳人，本科，中学高级教师，从事中学数学教学研究.

对于涉及直线斜率之和为定值或斜率之积为定值的直线与圆锥曲线相交的解析几何问题，其常规求解过程是先将直线方程与圆锥曲线方程联立消元，得到一元二次方程后利用韦达定理得到两根的关系，再与题设条件中的直线斜率之和或斜率之积相关联，最后求出结果.在求解过程中，联立消元得到的方程的正确性以及由韦达定理得到的式子的形式与题设条件之间的合理转化是运算的关键［1］.这样的“解题套路”的思路非常清晰，但其运算量较大，考生常常一步算错，满盘皆输.能否找到一种计算量较小且容易获得答案的方法，而且又能一般化？本文以近些年高考与模考中出现的此类解析几何问题为例，探索齐次化方法的应用.

1一道高考试题和它的常规求解思路

2整体思维与斜率的巧妙构造

2.1“齐次化联立”巧构斜率

2.2“平移齐次化”化解疑难

评注利用“平移齐次化”解题的关键有二：一是坐标系的平移，要注意平移前后的“变”与“不变”，特别是不能弄错曲线在新坐标系中的方程；二是“齐次化联立”，本题之所以将直线l′的方程设为mx′+ny′=1，就是考虑到接下来的常量代换，需要简化运算过程，从而顺利实现齐次化的目的．

3齐次化方法解决一类斜率之和（积）问题

如例1的求解过程，“齐次化”是一种通过构造关系式（等式或不等式）两边各项的次数相等，转化为齐次式结构，从而实现解题的一种数学转化方法．在求解圆锥曲线问题时，如果借助齐次化的思想方法，就可以由直线方程与圆锥曲线方程联立得到关于y/x的一元二次方程，从而将题目中涉及的两条直线的斜率直接视为该一元二次方程的两个根，再根据韦达定理，即可直接得到斜率之和与斜率之积的表达式［2］.

4结束语

从以上四例的求解可以看出，齐次化方法充分体现了运用坐标法求解圆锥曲线综合问题的整体构思.齐次化联立能得到什么样的结论？能解决什么样的问题？平移齐次化又能达到什么样的效果？平移后的“变”与“不变”怎样来解释平移前的问题？只有对齐次化方法有了整体的认知，才能将求解的思路形成一个整体构思，从而更好地领悟解析方法的本质，提升数学运算素养．

参考文献：

［1］魏欣.齐次平移巧解一类圆锥曲线问题[J].中学数学研究（华南师范大学版），2018（21）：3-6.

[2] 项海圆，黄永明.巧用齐次化方法解圆锥曲线问题[J].中学数学教学参考，2021（07）：40-42.

［责任编辑：李璟］