上下偏量及其单调性

摘 要：

上/下偏量算子的性质是广义量词理论中研究的重要对象，但对它们的单调性计算尚无系统的讨论。当句子中只有一个算子时，广义量词理论较好地描写了其语义，也即上偏量算子左右单调上升，下偏量算子左右单调下降。但是，广义量词理论没有注意到下偏量与全称量化的单调下降有一个重要的差异：下偏量可能出现“空集反例”。另外，也没有注意到左单调是直接量化，右单调是间接量化，右单调的成分可以自由地加上新的算子。更为重要的是，当句中有两个算子套叠的时候，广义量词理论没有给出解决方案。实际上，外层成分的单调性由外层算子的左单调决定；内层成分则必须经历两步计算：先按照内层算子的左单调性质计算，再将计算结果输入外层算子的右单调，才能得到最终结果。

关键词：

上偏量； 下偏量； 单调性； 单一算子句； 算子套叠

中图分类号： H03A010911

一、 引 言

在广义量词理论中，有一些以往很少研究的量化算子。其中，“上偏量”指对论元集合X来说，参与事件的量“大于”或“大于或等于”特定的数值或量N，如英语的more than N、at least N，汉语的“至少N、最少N、多于N、不少于N、不低于N、比N多、超过N、N以上”等；“下偏量”指“小于”或“小于或等于”N，如英语的fewer than（under）N、at most N，汉语的“至多（只）N、最多（只）N、少于N、低于N、不多于N、（只）不超过N、比N少、不到N、没（到/有）N、没（有）VN、（只）N以下”等。

这些算子的性质对我们理解自然语言非常重要，已经有很多研究成果，如 Barwise、Cooper［1］，Johan van Benthem［2-3］，Kamareddine［4］，蒋严、潘海华［5］242-288都对其做了介绍。其中一个重要的性质就是它们对论元的“单调性”的影响。

限于篇幅，本文只讨论〈1，1〉类型量词的单调性。“单调性”（monotonicity）是一个来自数学的概念。设有集合{Xi}，它用于函数F之中，即“F（Xi）”。如果对于任意的自然数i、j，并且Xi≥Xj，其函数的大小也保持相同的顺序，也就是F（Xi）≥F（Xj），则称为单调上升；反之，如果函数的大小顺序相反，也就是得到F（Xj）≥F（Xi），则称为单调下降；如果函数无法确定大小关系，则称为“不具有单调性”。

广义量词理论用集合论来反映逻9eef149cff957445cd7abce6f47a8e16a28008fa8a6c27d7c02e14aa366e013e辑关系，例如“若Xi为真，则Xj为真”（XiXj），也就是逻辑上的简单蕴涵关系（也有文献称为衍推关系，本文暂不讨论蕴涵与衍推的区别），用集合来表达，就是“XiXj”，意为“Xi是Xj的子集”。例如“是女同学，则一定是同学”，既可以用“女同学（x）同学（x）”表达，也可以用“女同学同学”来表达。为了理论的一致性，在下面的例句中，不论是实体关系还是谓词关系，都用“”表示，不再使用“”符号。

现在用集合关系来代替大小关系，就得到有关蕴涵的单调性定义：设有集合XiXj，那么当它们作为另一个更大的谓词F的论元或成分时，有函数关系“F（Xi）、F（Xj）”，是否也有蕴涵关系（子集关系）存在？这包括三种情况。

i. 依然有顺序相同的蕴涵关系，即F（Xi）F（Xj），这称为“单调上升”（monotone increasing）。例如“三班有位女同学来了三班有位同学来了”（前者为真时，后者一定为真，下同）。

ii. 有顺序相反的蕴涵关系，即F（Xj）F（Xi），这称为“单调下降”（monotone decreasing）。例如“三班的同学都来了三班的女同学都来了”。

iii. 不再具有蕴涵关系，既没有F（Xi）F（Xj），也没有F（Xj）F（Xi），也就是不具有单调性。此时，F（Xi）和F（Xj）一定存在不相交的部分。例如“只有两个女同学来了”当数值“两个”是焦点成分时，无法推出“只有两个同学来了”，因为可能来的还有男同学，所以同学来的比两个多；反之亦然，只有两个同学来了，可能一个女同学也没有来，或者其中只有一个是女同学。

上述第i、ii种情况，一些学者分别称之为“向上衍推”（upward entailing，UE）和“向下衍推”（downward entailing，DE）［6］。第iii种则是非单调的。在国内，张乔［7］73-76等学者对单调性问题做了引介，张晓君［8］84-110、陈振宇［9］387-433等还做了自己的探索与阐述。

广义量词理论基本采用“量化三分结构”来刻画句子的量化意义，有两个集合与算子有关，可以写成：Oper（X）（F）。量化算子Oper就像一个处理器，它约束X，并将集合X中的成员X1、X2、……Xi处理为谓词（predicate）F的论元，可记为F（Xi）；算子不约束F。参看潘海华关于三分结构的介绍［10］163-184，X称为限定部分（restrictor），或称“量化域、论域、定义域、变域、个体域”。在语法学和逻辑学中，集合X的成员也称为argument，译为“论元、主目”，也称为variable，译为“变项”；F称为核心部分（nuclear scope），或称“值域”。

我们如果把F中除了X以外的论元记为Y（Y可以是多组，因为可能有多个论元），则算子虽在句法上只约束X，不约束Y，但是在语义上既可以决定X部分的单调性，也可以决定Y部分的单调性。与X有关的称为“左单调”，与Y有关的称为“右单调”。按照这一理论，前人已经发现，对上偏量算子，如more than等而言，既是“左单调上升”，又是“右单调上升”；对下偏量算子，如fewer than等而言，则正好相反，既是“左单调下降”，又是“右单调下降”。这一规则不受具体语言符号的制约，具有普遍性。本文主要讨论这一普遍性质，对同类算子的差异，如“少于N”和“没VN”（如“没买三本”，V指动词或动词结构）的区别，将另文讨论。

本文要解决的问题如下：

（1）上述规则为什么成立？也就是在一个单一算子的句子中，集合X和Y的关系是什么，而具有这样的单调性？

（2）广义量词中，还有其他算子也可以产生单调下降，例如全称量化算子和否定算子，它们与下偏量的单调下降有什么本质的不同？

（3）左右单调为什么不对称？也就是所谓直接量化和间接量化的区别是什么？

（4）更为重要的是，当句中有多个算子（X和Y都有各自的直接约束的算子）套叠时，这些成分的量化性质如何确定？其单调性如何计算？

对于上述4个问题，尚没有看到系统的论述。尤其是第4条，这是一个需要在语义研究中解决的问题，其复杂性远远超出想象。

二、 简单情况下的上下偏量单调性

一个句子中只有一个量化算子和有两个或两个以上算子是不同的问题，后者显然更为复杂。广义量词理论很好地描写了单一算子量化句，但对多算子的计算，却有局限性。本节先考察单一算子，即只有上偏量或下偏量算子的句子，目的是考察直接约束的论元和间接影响的论元的关系。

假设有一个二元的事件F（x、y），其中x为算子约束的那个论元，而y是F中除了x以外的论元。假设集合X、Y分别参与事件F，并且分别充当其中的x、y论元（x、y分别是集合X、Y中的元素）。显然二者是不对称的，算子直接规定了X的数量，但对Y的数量的影响是间接的（如例1所示，加下划线的为算子，加粗的成分就是现在考察其单调性的那个成分）。

例1 三班同学 至少喝了十瓶啤酒 三班同学至少喝了十瓶酒（单调上升）

三班的男同学至少喝了十瓶酒 三班的同学至少喝了十瓶酒（单调上升）

三班同学 最多喝了十瓶酒 三班同学最多喝了十瓶啤酒（单调下降）

三班同学 最多喝了十瓶酒 三班的男同学最多喝了十瓶酒（单调下降）

YFX

上偏量“至少”和下偏量“最多”约束后面的数量名成分“十瓶（啤）酒”，所以这一数量名成分为论元x；前面的“三班的同学”为论元y，不受算子的约束。由本例可知，“左/右单调”的“左右”是算子约束的成分与非约束的成分的区分，与句子中实际的左右位置无关，如上例中，x论元在句子的右边（低位），y在句子的左边（高位）。也可能顺序相反，如“三班至少/最多五个（男）同学喝了（啤）酒”。

在考察x与y的关系之前需要说明一下：本文是语言学的研究，不是数学逻辑的研究，因此为了方便读者，我们尽量不做逻辑运算，多用具体的例子来说明。

（1）左单调性质

设X1={啤酒}，X2={酒}，Y={三班的同学}，F={喝}

有：X1X2 啤酒酒

则：三班同学喝的啤酒三班同学喝的酒

这一步稍做证明，根据集合的添加公式，当X1X2时，有（M∩X1）（M∩X2），“∩”为交集运算，故：（三班同学喝的东西∩啤酒）（三班同学喝的东西∩酒）。而（三班同学喝的东西∩啤酒）就是“三班同学喝的啤酒”，下同。

有：三班同学喝的啤酒三班同学喝的酒

则有数量关系：|三班同学喝的啤酒|≤|三班同学喝的酒|

“| |”指集合元素的数量。根据传递律，我们有：【上偏量】当三班同学喝的啤酒大于或等于十瓶时，三班同学喝的酒也大于或等于十瓶；【下偏量】当三班同学喝的酒小于或等于十瓶时，三班同学喝的啤酒也小于或等于十瓶。

这样的例句有很多，如例2所示。

例2 上偏量：

他至少拿走了两斤苹果 他至少拿走了两斤水果

篮子里的苹果多于/超过10斤 篮子里的水果多于/超过10斤

我们厂的单身汉比结了婚的人还多 我们厂没有结婚的人比结了婚的人还多

他们一次就买了1 000斤以上的大米 他们一次就买了1 000斤以上的粮食

下偏量：

篮子里的水果少于/不到10斤 篮子里的苹果少于/不到10斤

我们厂没有结婚的人比办公室的人还少 我们厂的单身汉比办公室的人还少

他没买10斤水果 他没买10斤苹果

他们只买了100斤以下的水果 他们只买了100斤以下的苹果

（2）右单调性质

右单调的计算要复杂得多。因为算子作用在x上，而不是y上，所以要考察y，需要做一个意义（sense）上的转化。

设：Y1={三班的男同学}，Y2={三班的同学}，X={酒}，F={喝}

有：Y1Y2 三班的男同学三班的同学

则：三班男同学喝的酒三班同学喝的酒

这一步稍做证明：每一个三班男同学在喝什么，也就是三班同学在喝什么，也即：三班男同学喝的东西三班同学喝的东西。再根据添加公式得到：（三班男同学喝的东西∩酒）（三班同学喝的东西∩酒）。而（三班男同学喝的东西∩酒）就是“三班男同学喝的酒”，下同。

有：三班男同学喝的酒三班同学喝的酒

则有数量关系：|三班男同学喝的酒|≤|三班同学喝的酒|

根据传递律有：【上偏量】当三班男同学喝的酒大于或等于十瓶时，三班同学喝的酒也大于或等于十瓶；【下偏量】当三班同学喝的酒小于或等于十瓶时，三班男同学喝的酒也小于或等于十瓶。

例3 上偏量：

广东出口了100亿元以上的货物 华南地区出口了100亿元以上的货物

红星厂买的大米超过1 000千克 本地三所酿酒厂买的大米超过1 000千克（红星厂是本地三所酿酒厂之一）

下偏量：

全组一起没有10块钱 她（全组成员之一）没有10块钱

侦察班全班只能搜索5个以下的地块 侦察班长只能搜索5个以下的地块

三、 下偏量与全称量化的单调下降性的区别

根据广义量词逻辑理论，全称量化肯定句有左单调下降和右单调上升，如例4a所示；而否定句一般既有左单调下降，也有右单调下降，如例4b所示。

例4 a 三班所有的同学都喝了酒 三班所有的男同学都喝了酒（单调下降）

三班所有的同学都喝了啤酒三班所有的同学都喝了酒（单调上升）

XFY

b 三班同学没有喝酒三班同学没有喝啤酒（单调下降）

三班同学没有喝酒 三班的男同学没有喝酒（单调下降）

YFX

以否定句为例（肯定的全称量化另行讨论），可以看到它的全称量化否定意义的获得：

（1）左单调性质

有：|三班同学喝的啤酒|≤|三班同学喝的酒|

否定：当三班同学喝的酒等于0时，三班同学喝的啤酒小于或等于0，又因为不可能小于0，所以这样一来三班同学喝的啤酒也等于0。

（2）右单调性质

有：|三班男同学喝的酒|≤|三班同学喝的酒|

否定：当三班同学喝的酒等于0时，三班男同学喝的酒小于或等于0，又因为不可能小于0，所以这样一来三班男同学喝的酒也等于0。

从上述证明过程就可以看到：当没有喝酒时，一定没有喝啤酒；当三班有男同学，且三班同学没有喝酒时，则三班的男同学也一定没有喝酒，这一点不能为假。但是，对下偏量来说，就会有“例外”，因为量轴本身是不对称的。

一般来说，量轴的下端是有终点的，就是0量；而上端是没有终点的，开放的，所以上偏量上升规则总是成立的，如“至少两个三班的同学来过至少两个同学来过”，一定是有同学来过。但是下偏量下降却有一个例外，即可能触及0（见图1）。

三班同学最多只喝了十瓶酒，有可能没有喝红酒，喝的都是白酒或黄酒，等等，这时说“三班同学最多喝了十瓶红酒”就不合适了，因为这句话必须理解成“三班同学喝了红酒”。

三班同学最多只喝了十瓶酒，即使三班有男同学，但也有可能男生都没有喝酒，喝酒的都是女生，这时说“三班男同学最多喝了十瓶酒”就不合适了，因为这句话必须理解成“三班男同学喝了酒”。

下偏量的这一“反例”，可以称为“空集反例”；而全称量化没有空集反例。

“空集反例”对我们判定句中成分的量化性质非常重要。例如，学界近来开始提出一个问题：“只”字句有多个成分，虽然“只”所约束的焦点成分一般是不具有单调性的，但是“只”字句中其他的成分（也即“只”所不约束的成分），是具有单调下降性质的。这一点由陈莉、潘海华［11］提出，不过他们认为这些成分是全称量化的。如例5所示。

例5 三班的同学只买书 三班的男同学只买书（单调下降）

“只”只约束“买”和“书”，“三班的（男）同学”不在它的管辖范围之内，但是，这一论元是单调下降的。我们来看看其获得单调性的过程：

设Y1={三班的男同学}，Y2={三班的同学}，X={书}，F={买}

有：Y1Y2三班的男同学三班的同学

则：三班的男同学买东西三班的同学买东西

则：三班的男同学买的东西三班的同学买的东西

“只”字句：当三班的同学买的东西属于书的时候，则根据传递律有：三班的男同学买的东西也属于书。

存在“空集反例”：有可能三班的男同学一点东西也不买，那么这时说“三班的男同学只买书”就不合适了，因为这意味着三班的男同学是买了书的。

由此可见，需要对陈莉、潘海华的观点做部分修正：“只”字句中不受“只”约束的成分获得的是下偏量解读（而不是全称量化解读），由下偏量获得单调向下的性质。

四、 左右单调的不对称性

陈振宇根据量化三分结构，提出直接量化和间接量化的区别：算子对直接约束的X成分（左量化），是直接量化；而对其不约束的Y成分（右量化），是间接量化［12］88-104。上/下偏量算子，其左单调是直接量化，右单调是间接量化，二者的不对称性表现在：直接量化具有强制性，量化性质都由该算子决定，并遵循“一个算子一个变项”的规则，不能自由地添加新的算子，如例6所示。

例6 三班的同学至少喝了十瓶啤酒

*三班的同学至少喝了十瓶大多数啤酒

*三班的同学至少喝了十瓶部分啤酒

*三班的同学至少喝了十瓶所有啤酒

……

但是间接量化具有可删除性，可以自由地加上新的算子，并且由新算子改变原有的单调性，如例7所示。

例7 三班所有的同学至少喝了十瓶啤酒（肯定全称量化“所有”）

三班没有一个同学至少喝了十瓶啤酒（否定全称量化“没有一个”）

三班有的同学至少喝了十瓶啤酒（部分量化“有的”）

三班部分同学至少喝了十瓶啤酒（部分量化“部分”）

三班大多数的同学至少喝了十瓶啤酒（比例“大多数”）

三班五个同学至少喝了十瓶啤酒（数值“五个”）

三班至少有五个同学至少喝了十瓶啤酒（上偏量“至少五个”）

三班最多只有五个同学至少喝了十瓶啤酒（下偏量“最多五个”）

……

从句子结构关系可以看到，上例中“（三班）同学”受到新加的量化算子“所有、没有（一个）、有的、部分、大多数、五个、至少有五个、最多只有五个”的句法管辖，也就是被这些算子直接量化（左单调）；“（三班）同学”在量化算子“至少十瓶”的句法管辖之外，是间接量化（右单调）。但是，我们也可以倒过来说，“（啤）酒”受“至少十瓶”的直接量化（左单调），同时受“所有”的间接量化（右单调）。根据广义量词理论，每一个算子都有左单调和右单调，如果两个算子在句中共现，如上所述，那么可能互相出现左右单调“编插”的情况。

与之相反，也可以有以下的配置：

例8 三班最多有五位同学做完了所有的作业（肯定全称量化“所有”）

三班最多有五位同学没有做完作业（否定全称量化“没有”）

三班最多有五位同学做完了部分的作业（部分量化“部分”）

三班最多有五位同学做完了大多数的作业（比例“大多数”）

三班最多有五位同学做完了两天的作业（数值“两天”）

三班最多有五位同学至少做完了两天的作业（上偏量“至少两天”）

三班最多有五位同学最多做完了两天的作业（下偏量“最多两天”）

……

请注意，汉语中有的算子放在谓语后不大自然，如“有的”，“他看见了有的人”在一些母语者那里是不能接受的，所以我们这里不讨论“三班最多有五位同学做完了有的作业”。

广义量词理论没有提供这种情况下的计算办法，但是在语言中，这是常见的现象，我们不得不加以思考。在汉语语法研究中，迄今只有陈振宇［12］提及：直接量化可以和间接量化共现，作用在同一个成分上；并且，直接量化算子占优势，也就是相应的间接量化意义被删除，该成分的量化性质受到直接量化的制约。根据这一原则，一个成分的量化性质应该由约束它的直接量化算子来决定，只有它没有直接量化算子时，才会受到其他算子的间接量化影响。

但是通过更多的例句，作者发现上述观点并不完全正确，因为其忽略了一个重要的因素：句中的两个算子是不平衡的。我们可以看到，句中的两个算子在句法上可以分为上下两层，或者用逻辑学的术语，称为“宽域”和“窄域”，如表1中的例7、例8所示：

陈文主要考察的是外层算子所直接量化的部分，对内层算子的例句考察不足。从本文的研究对象出发，我们认为必须分别对内、外层成分分别进行讨论。

五、 内外套叠算子所约束的成分的单调性计算

先看外层算子约束的成分，这里陈振宇［12］是正确的：由直接量化的外层算子的左单调性决定该成分的量化性质，与内层的算子无关。

先来看看例7，这些“新加”的算子都在外层，可以直接决定其直接量化的成分的单调性。例如直接量化算子是左单调下降的，如全称量化和否定，得到单调下降：

例9 三班所有的同学至少喝了十瓶酒 三班所有的男同学至少喝了十瓶酒

三班没有一个同学至少喝了十瓶酒 三班没有一个男同学至少喝了十瓶酒

直接量化算子是左单调上升的，如部分量化，得到单调上升：

例10 三班有的男同学至少喝了十瓶酒 三班有的同学至少喝了十瓶酒

三班部分男同学至少喝了十瓶酒 三班部分同学至少喝了十瓶酒

直接量化算子是非单调的，如具体的比例（大多数，即多于半数）和数值（五个），都不具有单调性。例如“三班有五个同学至少喝了十瓶酒”，当“五个”重读，强调这一数值时，可能其中男同学少于五个，不能推知“三班有五个男同学至少喝了十瓶酒”；“三班有五个男同学至少喝了十瓶酒”，可能还有女同学也至少喝了十瓶酒，所以也不能推知“三班有五个同学至少喝了十瓶酒”，实际上可能比五个多。

甚至还可以“新加”上/下偏量，也是按照左边的那个偏量计算：

例11 三班至少有五个男同学至少喝了十瓶啤酒 三班至少有五个同学至少喝了十瓶啤酒

三班最多只有五个同学至少喝了十瓶啤酒 三班最多只有五个男同学至少喝了十瓶啤酒

其次来看看例8，“最多”在外层，不管内层是什么算子，“最多”都决定着约束成分具有单调下降性质：

例12 三班最多有五位同学做完了所有的作业 三班最多有五位男同学做完了所有的作业

三班最多有五位同学没有做完作业 三班最多有五位男同学没有做完作业

三班最多有五位同学做完了部分的作业 三班最多有五位男同学做完了部分的作业

三班最多有五位同学做完了大多数的作业 三班最多有五位男同学做完了大多数的作业

三班最多有五位同学做完了两天的作业 三班最多有五位男同学做完了两天的作业

三班最多有五位同学至少做完了两天的作业 三班最多有五位男同学至少做完了两天的作业

三班最多有五位同学最多做完了两天的作业 三班最多有五位男同学最多做完了两天的作业

之所以外层算子具有如此规律，是因为句子后面的部分不管是否有内层算子，都可以看成一个整体命题。下面用例7的一个例子来说明：

三班的男同学 三班的同学

喝啤酒的三班男同学 喝啤酒的三班同学

至少喝了十瓶啤酒的三班男同学 至少喝了十瓶啤酒的三班同学

|至少喝了十瓶啤酒的三班男同学|≤ |至少喝了十瓶啤酒的三班同学|

当“三班没有一个同学至少喝了十瓶啤酒”为真时：

因为|至少喝了十瓶啤酒的三班同学|=0，根据传递律，|至少喝了十瓶啤酒的三班男同学|=0，也就是三班没有一个男同学至少喝了十瓶啤酒。

再从例8的一个例子来说明：

三班的男同学 三班的同学

做完作业的三班男同学 做完作业的三班同学

做完两天作业的三班男同学 做完两天作业的三班同学

|做完两天作业的三班男同学|≤ |做完两天作业的三班同学|

当“三班最多有五位同学做完了两天的作业”为真时：

因为|做完两天作业的三班同学|≤ 5，根据传递律，|做完两天作业的三班男同学|≤ 5，也就是说，三班最多有五位男同学做完了两天的作业。

再来看内层算子约束的成分，相比而言，这会复杂得多，因为它不但受到该内层算子的影响，而且也受到外层算子的影响。从逻辑层次出发，它需要经历两次逻辑运算：先由内层算子计算一遍，获得蕴涵关系，再在此关系的基础上，由外层算子计算，得到最终的结果。这样的过程称为“算子套叠”（operator superposition），指外层算子在句法和语义上都套叠在内层算子的外面，因此后者必须将计算结果输入外层算子，再次运算，如图2所示。

先看看例7中的算子套叠：

啤酒 酒

喝啤酒 喝酒

至少喝了十瓶啤酒 至少喝了十瓶酒

至少喝了十瓶啤酒的三班同学 至少喝了十瓶酒的三班同学

|至少喝了十瓶啤酒的三班同学| ≤ |至少喝了十瓶酒的三班同学|

当“三班所有同学至少喝了十瓶啤酒”为真时：

因为|至少喝了十瓶啤酒的三班同学|=|三班同学|，根据传递律，|三班同学| ≤ |至少喝了十瓶酒的三班同学|，因为不可能大于，所以只能是等于，也就是三班所有的同学都至少喝了十瓶酒（单调上升）。

当“三班没有一个同学至少喝了十瓶酒”为真时：

因为|至少喝了十瓶酒的三班同学|=0，根据传递律，|至少喝了十瓶啤酒的三班同学|=0，也就是三班没有一个同学至少喝了十瓶啤酒（单调下降）。

当“三班最多只有五个同学至少喝了十瓶酒”为真时：

因为|至少喝了十瓶酒的三班同学|≤5，根据传递律，|至少喝了十瓶啤酒的三班同学|≤5，也就是三班最多只有五个同学至少喝了十瓶啤酒（单调下降）。

再如：

啤酒 酒

喝啤酒 喝酒

最多喝了十瓶酒 最多喝了十瓶啤酒（注意此处顺序颠倒一次）

最多喝了十瓶酒的三班同学 最多喝了十瓶啤酒的三班同学

|最多喝了十瓶酒的三班同学| ≤ |最多喝了十瓶啤酒的三班同学|

当“三班所有同学最多喝了十瓶酒”为真时：

因为|最多喝了十瓶酒的三班同学|=|三班同学|，根据传递律，|三班同学| ≤ |最多喝了十瓶啤酒的三班同学|，因为不可能大于，所以只能是等于，也就是三班所有的同学最多喝了十瓶啤酒（单调下降）。

当“三班最多五个同学最多喝了十瓶啤酒”为真时：

因为|最多喝了十瓶啤酒的三班同学|≤5，根据传递律，|最多喝了十瓶酒的三班同学|≤5，也就是三班最多五个同学最多喝了十瓶酒（单调上升）（注意此处顺序再颠倒一次）。

再看看例8中的算子套叠：

数学作业 作业

做完了所有作业 做完了所有数学作业（注意此处全称量化要颠倒顺序）

做完了所有作业的三班同学 做完了所有数学作业的三班同学

|做完了所有作业的三班同学| ≤ |做完了所有数学作业的三班同学|

当“三班最多有五位同学做完了所有数学作业”为真时：

因为|做完了所有数学作业的三班同学|≤5，根据传递律，|做完了所有作业的三班同学|≤5，也就是三班最多有五位同学做完了所有作业（单调上升）（注意此处顺序再颠倒一次）。

当“三班至少有五位同学做完了所有作业”为真时：

因为5≤|做完了所有作业的三班同学|，根据传递律，5≤|做完了所有数学作业的三班同学|，也就是三班至少有五位同学做完了所有数学作业（单调下降）。

通过以上案例的分析，可以发现：

（1）所考察的成分的蕴涵关系如为I0；

（2）先是内层算子将自己的左单调性加在其所约束的成分上，得到一个新的蕴含关系I1；

（3）将I1输入外层算子的右单调性中进行第二次计算，也就是图2中虚线框内的内容。两次计算的规则如表2所示，阴影的四格就是算子套叠后的结果。

单调上升就是保持输入的蕴涵顺序，单调下降就是颠倒输入的蕴涵顺序。如果一个上升一个下降，那就颠倒一次，最终得到单调下降，如表2中②③所示；如果两个上升，那就一直保持单调上升，如①所示；如果两个下降，那就颠倒两次，颠倒来颠倒去，从而恢复到原来的顺序，也就是最终结果为单调上升，如④所示。

我们可以将外层算子约束成分的计算规则与这里的规则合并起来，综合如下：

（1）从所考察的成分的直接量化算子开始计算，取该算子的左单调性；

（2）如果在该算子的外层没有其他算子，则此结果就是最终结果；

（3）如果外层还有其他算子，则将此结果输入外层算子的右单调性继续计算，得到最终结果。

六、 结 语

广义量词理论是现代逻辑学、理论语言学、计算语言学等交叉领域的重点研究内容之一，如今又是形式语义学的语言计算和信息处理的重要方面，其中单调性又是最为重要的语义性质之一，不但需要确定和证明各种量词的左/右单调性，而且需要对句子中各种成分的单调性给出具体的计算操作，尤其是对多个算子共现的情况进行分析，后者正是已有研究的弱点。

广义量词长期以来不为汉语学界所重视，单调性研究更几乎是空白。本文所研究的上/下偏量，在汉语语法和语义学中都比较容易被忽略，缺乏汉语句子研究的文献。

本文首先引入广义量词理论关于“上偏量算子是左单调上升和右单调上升”“下偏量算子是左单调下降和右单调下降”的观点，用汉语的句子进行了论证。然后指出，下偏量会有“空集例外”的现象，而（肯定/否定）全称量化虽然也可以得到单调下降，但是不会产生“空集例外”。接着论证左右单调是不对称的，左单调指算子直接约束的成分的单调性，是直接量化，一切由该算子决定，一般不能加入新的算子；但是右单调的成分在算子的管辖范围之外，算子对它只有间接的量化影响，可以自由地加上新的算子，并且新的算子会起到关键的作用。

到这里已经超出了广义量词理论和汉语语义学研究迄今所达到的研究深度，而本文还进一步提出“算子套叠”的计算方法：当句子中有两个量化算子分别各自有自己的直接量化成分时，由于句法位置或逻辑关系的差异会产生套叠，即一个在外层（宽域），一个在内层（窄域），内层对外层没有影响，外层算子的左单调决定其所约束成分的单调性；外层对内层却有重大影响，内层算子所约束的成分，先由内层算子的左单调计算，计算结果再输入外层算子的右单调进行计算，才能得到最终的单调性。

句中有多个算子时，有“算子并列”（如“很多男生和少数女生看过这种电影”）、“算子套叠”（如“很多同学不看电影”）和“算子融合”（两个算子必须先进行一步逻辑计算，如“表演班的同学不只看这种电影”，“不、只”融合后等于“看了，并看了这种电影以外的电影”）三种情况。上下偏量算子主要是和其他算子套叠，下偏量有时会和“只”类算子融合，如“最多只有五个同学来了”，其中“最多”和“只”融合后还是下偏量，没有什么意义改变，因此本文主要研究了算子套叠的规律，至于并列和融合将另外讨论。

（感谢潘海华、张晓君教授以及陈莉老师的宝贵意见。）

参考文献

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AT-LEAST/AT-MOST and Their Monotonicity： Direct/Indirect Quantization

and Operator-overlapping

CHEN Zhenyu

Department of Chinese Language and Literature， Fudan University， Shanghai 200433， China

The properties of AT-LEAST/AT-MOST operators are important research objects in the theory of generalized quantifiers， but there is no systematic discussion on their monotonicity calculation. When there is only one operator in a sentence， the generalized quantifier theory describes its meaning well， that is， the AT-LEAST operator is left and right monotone increasing， while the AT-MOST operator is left and right monotone decreasing. However， it was not noticed that there is an important difference in the monotone decreasing between the AT-MOST operator and the universal quantization operator： the AT-MOST operator may exhibit “empty-set counterexamples”. Furthermore， it was not noticed that left-monotony is directly quantified and right-monotony is indirectly quantified. The right monotonic component can be freely added with new operators. More importantly， when two operators overlap in a sentence， the generalized quantifier theory does not provide a solution. In fact， the monotonicity of the outer components is determined by the left-monotonicity of the outer operator. The inner component must go through two steps of calculation： first， calculating according to the left monotonic property of the inner operator， and then inputting the calculation result into the right monotonic property of the outer operator to obtain the final result.

AT-LEAST; AT-MOST; monotonicity; sentence with single operator; operator-overlapping