二维不可压粘性两相流瑞利-泰勒不稳定性的临界磁场

摘"要： 讨论了两层互不相溶的不可压粘性流体和无磁扩散的磁流体组成的系统的RT不稳定性问题.在拉格朗日坐标系下利用流映射重写了磁场中的洛伦兹力; 通过在稳态解附近做线性化，得到线性方程组；为了研究流体稳定性，利用法向模式解，将问题转换成特征值问题；因为流体具有粘性，用修正的变分法解特征值问题，得到了二维情形下垂直磁场使系统致稳的临界磁场和临界频率；当所给磁场大于临界磁场时，系统稳定；当所给磁场小于临界磁场时，在低频时，系统仍然稳定，但高频时，系统不稳定.

关键词： 两相流；瑞利-泰勒不稳定性；临界磁场

中图分类号：O175"""文献标志码：A"""""文章编号：1673-4807（2024）04-115-08

Critical magnetic field of Rayleigh-Taylor instability in two-dimensionalincompressible viscous two-phase flow

MENG Yiping

（School of Science， Jiangsu University of Science and Technology， Zhenjiang 212100， China）

Abstract：The RT instability for two immiscible， incompressible， viscous fluid and magnetic fluid with zero resistivity is discussed. The Lorentz force in the magnetic field is rewritten by flow mapping in the Lagrangian coordinate system. The linear equations are obtained by linearizing near the steady-state solution. In order to study the stability of the fluid， the normal mode solution is used to transform the problem into an eigenvalue problem. Because the fluid is viscous， the modified variational method is used to solve the eigenvalue problem， and the critical magnetic field and critical frequency of the system stabilized by vertical magnetic field in two-dimensional case are obtained. When the given magnetic field is greater than the critical magnetic field， the system is stable; when the given magnetic field is less than the critical magnetic field， the system is still stable at low frequency， but unstable at high frequency.

Key words：two-phase flow， RT instability， critical magnetic field

上重下轻且互不相溶的流体或磁流体组成的两相流的稳定性和不稳定性问题有其重要的应用背景，是一个经典的重要研究课题.19世纪80年代Rayleigh在研究云层在重力作用下呈现的卷积现象［1］时，从对流体力学方程组的线性分析中发现，如果对轻重流体交界面做轻微扰动，会出现不稳定性.后来，Taylor也独立发现了该现象［2］，所以此种不稳定性被称为Rayleigh-Taylor（RT）不稳定性.另外，对导电流体，由于磁场通过其诱导的洛伦兹力对扰动的增长有影响，此时也会发生RT不稳定性.这些不稳定性不仅是自然界普遍存在的现象，而且广泛应用于天体物理、大气海洋科学等科学研究领域中，是研究的热点问题.对于这些不稳定性，在物理机制和数值模拟方面已有不少研究成果，但是数学理论仍然很多是未知的.近年来，部分数学家研究了两相流均是流体或者磁流体的系统.许多学者通过线性化和谱分析方法研究了各种因素（如旋转效应、磁场、粘性以及表面张力） 等对RT不稳定性增长的影响.文献［3］首次研究了磁场对分层不可压磁流体系统稳定性的影响：对于条形区域和水平磁场的情形，磁场和流体可以解耦，流体的线性RT问题总是不稳定性的.文献［4］进一步发现，垂直磁场对RT不稳定性具有致稳作用.文献［5］中收集整理了这些结果.文献［6］中也得到了当磁场垂直于重力方向，即磁场是水平时，对系统没有致稳作用，此时系统是不稳定的.另外，分析了水平磁场的作用，发现水平磁场加速度的无滑移边界条件，就能起到和垂直磁场相同的致稳作用，并且给出了磁场的阈值［7］.对于流体的两相流问题，在文献［8］中得到了不可压无粘两相欧拉流的非线性不稳定性.对于不可压带粘性的两相流问题，粘性、表面张力和磁场对系统的稳定性均有影响［9-15］.对于两相流是流体和磁流体的耦合这类背景问题，其理论结果还很少.文中主要对流体和磁流体耦合的两相流，研究磁场对整个系统的致稳作用，得到磁场阈值.

1"预备知识

1.1"欧拉坐标系

考虑Ω=R×（－1，1）上的Navier-Stokes和无磁扩散的MHD耦合系统，形式如下：

t（ρ±u±）+div（ρ±u±u±）+div（S±）=－gρ±e2

th－+div（u－h－）－div（h－u－）=0

div u±=0

div h±=0（1）

式中：符号+/－分别表示流体的上下部分，上层流体由Navier-Stokes方程组描述，定义在Ω+=R×（0，1）上，下层流体由磁流体方程组描述，定义在Ω－=R×（－1，0）上，ggt;0是重力常数，e2=（0，1）.

S+=－μ+（SymbolQC@u++SymbolQC@u+T）++P+I

S－=－μ－（SymbolQC@u－+SymbolQC@u－T）++P－I+h－22I－h－h－

为应力张量，包含流体和磁场部分；I为单位矩阵；正常数ρ±和μ±分别为密度和粘性.（u±，p±）（t，·）：Ω±（t）→（R2，R）分别表示流体的速度和压力；h－（t，·）：Ω－（t）→R为磁场.

现在给出固定边界的边界条件和流体交界面的跳跃边界条件.由于流体是有粘性的，可以假定通过自由交界面的速度是连续的.而在固定边界，可以认为是无滑移边界.因为不考虑表面张力，所以可以假定法向应力通过自由交界面是连续的.因而，可以给出如下的固定边界条件：

u+（t，x1，1）=u－（t，x1，－1）=0（2）

自由交界面的跳跃条件为：

u∑（t）=0（3）

Sν∑（t）=0（4）

h－∑（t）=0（5）

式中：Σt=Ω+（t）∩Ω－（t）为上下流体的交界面；ν为自由界面∑（t）的法向；fΣ（t）为f在Σ（t）上的迹；fΣ（t）=f+Σ（t）－f－Σ（t）.

为了完成问题的描述，必须给出初始条件.首先，给出初始界面Σ（0）=Σ0，从而得到Ω±（0），在其上定义初始流速和初始磁场：

（u±，h－）（0，·）：Ω±（0）→（R2，R2）（6）

定义修正的压力项为：

P+=P++gρ+x2，P－=P－+h－22+gρ－x2，则方程式（1）可以改写为：

ρ+tu++ρ+u+·SymbolQC@u+－μ+Δu++SymbolQC@p+=0ρ－tu－+ρ－u－·SymbolQC@u－－μ－Δu－+SymbolQC@p－=h－·SymbolQC@h－th－+u－·SymbolQC@h－－h－·SymbolQC@u－=0

div u÷=div h±－0（7）

跳跃条件为：

［（pI－μ（SymbolQC@u+SymbolQC@uT））ν］∑（t）=g［ρ］x2ν－（h－·ν）h－Σ（t）（8）

1.2"拉格朗日坐标系

欧拉坐标系下自由界面的运动和区域Ω±（t）的变化带来了很多数学上的困难.为此，引入拉格朗日坐标系.定义固定的拉格朗日区域Ω+=R×（0，1）和Ω－=R×（-1，0），并且假设存在可逆变换：

η0±：Ω±→Ω±（0）

此变换连续穿过交界面{x3=0}，使得∑0=η0±{x2=0}，{x2=±1}=η0±{x2=±1}.第一个条件意味着Σ0由η0±中的一个限制在{x2=0}上参数化.后一个条件是η0±映射上下固定界面到它们自己.定义流映射η±为：

tη±（t，x）=u±（t，η±（t，x））η±（0，x）=η±0（x）（9）

用（t，y）表示欧拉坐标，其中y=η（t，x），（t，x）是拉格朗日坐标.

定义拉格朗日坐标系下的未知量为：

（v±，b－，q±）（t，x）=（u±，h－，p±）（t，η±（t，x）），（t，x）∈R+×Ω（10）

定义矩阵A，AT=（Dη）－1，则在拉格朗日坐标下，演化方程为：

tηi±=vi±ρ+tvi++Ajk+kTij+=0ρ－tvi－+Ajk－kTij－=bj－Ajk－kbi－tbi－=bj－Ajk－kvi－Ajk±kvj±=0，Ajk－kbj－=0（11）

方程组中的流体部分的应力张量T（v，q）为：

Tij±=qIij±－μ（Aij±kvi±+Aij±kvj±）（12）

式中：Iij±为单位矩阵中的第i行，j列元素，同时用了爱因斯坦约定和.

定义f=f±， ［［f］］=f+{x2=0}－f－{x2=0}，所以拉格朗日坐标系下的跳跃条件为：

［［v］］=0bj－ηj－=0［［Tijnj］］=g［ρ］η2ni－bi－（bj－ηj）（13）

式中：n=Ae2Ae2{x2=0}是∑（t）的单位法向量.

非滑移边界条件为：

v+（t，x，－1）=v－（t，x，1）=0（14）

1.3"问题的简化

为了消去式（11）中的b－，从而将式（11）变为带流映射作为强迫项的Navier-stokes方程组.

将Ail－作用于（11）的第4个方程，得到：

Ail－tbi－=Ail－bj－Ajk－kvi－=Ail－bj－Ajk－t（kηi－）=

－bi－tAil－

所以，有 t（Ail－bi－）=0，即：

Ail－bi－=Ail，0－bi，0－（15）

bi－=lηi－Ajl，0－bj，0－（16）

式中，上标“0”表示初值.

注意到J的几何性质：

J=J0， k（JAik－）=0（17）

应用Aik－k到式（16），得到：

Aik－kbi－=JJ0Aik－k（lηi－Ajl，0－bj，0－）=

1J0k（JAik－lηi－Ajl，0－bj，0－）=

1J0k（J0Aik，0－bj，0－）=Aik，0－kbj，0－（18）

现在验证 bj－nj=0.

bj－nj=tηj－Akl，0－bk，0－Ajd－A－e2=Akd，0－bk，0－A－e2=bj，0－nj（19）

如果假设初值满足相容性条件：

Ajk，0－kbj，0－=0， bj，0－nj=0（20）

则从式（18）、（19），有：

Ajk－kbj－=0， bj－nj∑=0.

为了简化计算，可假设：

Aml，0－bm，0－=Bl（21）

式中，B=（B1，B2）是常向量.

现在可以重写洛伦兹项为：

bj－Ajk－kbi－=

lηjAml，0－bm，0－Ajk－k（rηi－Asr，0－bs，0－）=

Aml，0－bm，0－l（rηi－Br）=BlBrlrηi－（22）

现在可以将式（11）写成带流映射η引入的强迫项的Navier-Stokes方程组：

tηi±=vi±ρ+tvI++Ajk+kTij+=0ρ－tvI－+Ajk－kTij－=BlBrlrηi－Ajk±kvj±=0（23）

式中，磁场B视为向量参数，而跳跃条件式（13）变为：

［［v］］=0，［［Tijnj］］=g［ρ］η2ni－BlBrlηi－rηj－nj（24）

最后，加上边界条件式（14）.

1.4"稳态解附近的线性化

显然，系统式（23、24）有稳态解v=0，η=Id，q=常数，且接触面η（{x2=0}）={x2=0}，所以n=e2，A=I.

现在将式（23、24）在上述稳态解附近线性化，得到线性化的方程组为：

tη±=v±

ρ+tv++SymbolQC@q+－μ+Δu+=0

ρ－tv－+SymbolQC@q+－μ－Δu－－BlBr2lrη－=0

div v±=0（25）

相应的跳跃条件和固定边界条件为：

［［v］］=0

［［－μ（Dv+DvT）+qI］］e2=

g［ρ］η2e2－B2Bllη－nj（26）

v－（t，x1，－1）=v+（t，x1，1）=0（27）

文中的目的是研究磁场在RT问题中的影响机制，所以假定流体上重下轻，也就是：

ρ+gt;ρ－［ρ］gt;0

1.5"法向模式解

在研究流体稳定性时，一个标准的做法是研究线性化问题的法向模式解. 为此，对某个λgt;0，假定解有如下形式：

v±（t，x）=eλtw±（x）

q±（t，x）=eλtq±（x）

η±（t，x）=eλtη±（x）（28）

将式（28）代入式（25～27），消去η±，得到方程组：

λρ+w++SymbolQC@q+－μ+Δw+=0

λρ－w－+SymbolQC@q－－μ－Δw－-

1λBlBs2lsw－=0

div w±=0（29）

相应的边界条件为：

［［w］］=0（30）

［［－μ（Dw+DwT）+q～I］］e2=1λg［ρ］w2e2－1λB2Bssw－（31）

w－（t，x1，－1）=w+（t，x1，1）=0（32）

为了得到增长模式的解，对w，q～关于x1作傅里叶变换. 定义新的未知函数φ±，θ±，ψ±，π±：（－1，1）→R为：

φ±（x2）=iw^1±（ξ，x2）

ψ±（x2）=iw^2±（ξ，x2）

π±（x2）=q^（ξ，x2）

考虑垂直磁场B=（0，B），则φ±，ψ±，π±满足如下常微分方程组和边界条件：

λρ+φ+－ξπ++μ+ξ2φ+－μ+φ″+=0

λρ+ψ++π′++μ+ξ2ψ+－μ+ψ″+=0

λ2ρ－φ－－λξπ－+λμ－ξ2φ－-

λμ－φ″－－B2φ″－=0

λ2ρ－ψ－+λπ′－+λμ－ξ2ψ－-

λμ－ψ″－－B2ψ″－=0ξφ±+ψ′±=0（33）

跳跃条件为：

［［φ］］=0，［［ψ］］=0

［［λμ（φ′－ξψ）］］=B2φ′－［［－2λμψ′+λπ］］="g［ρ］ψ（0）－B2ψ，－（0）（34）

固定边界条件为：

φ－（－1）=φ+（1）=ψ－（－1）=ψ+（1）=0（35）

从式（33）的第2、4个方程消去π±，得：

（λρ++μ+ξ2）（ψ″+－ξ2ψ+）=μ+（ψ+－ξ2ψ″+）λ（λρ－+μ－ξ2+Bξ2）（ψ″+－ξ2ψ－）=λμ－（ψ－－ξ2ψ″－）（36）

跳跃和固定边界条件为：

［［ψ］］=［［ψ′］］=0［［λμ（ψ″+ξ2ψ］］=B2ψ″－（0）［［λμ（ψ－3ξ2ψ′）］］=［［λ2ρψ′］］+"g［ρ］ξ2ψ－（0）+B2ψ－（0）－B2ξ2ψ′－（0）（37）

ψ－（－1）=ψ+（－1）=ψ′－（－1）=ψ′+（－1）（38）

2"主要结果

在陈述主要结果之前，先给出几个定义. 定义：

B2c：=supψ∈H10（－1，0）g［ρ］ψ2（0）∫0－1|ψ′－|2dy（39）

为临界磁场，仅和g，ρ有关.

当|B|lt;|B|c时，定义临界频率为：

（|ξ|v）2：=infψ∈H20（－1，0）B2∫0－1ψ″－2dyg［ρ］ψ2（0）－B2∫0－1ψ′－2dy （40）

定理2.1：设B=（0，B），

（i） 若B≥Bc，则对任意的ξ∈R，λgt;0时，方程组（36～38）无非平凡解.

（ii） 若Blt;Bc，则当ξ≤ξv， λgt;0时，方程组（36～38）无非平凡解.

（iii） 若Blt;Bc，ξgt;ξv，则存在ψ=ψ（ξ，x2），λ（ξ）gt;0是方程组（36～38）的解.而且，ψ，λ关于ξ是偶函数，ψ在（－1，0）和（0，1）上光滑，且ψ（ξ，0）≠0.

问题式（36～38）不满足变分结构，为了使用变分法，定义u=su（sgt;0是任意参数）， 去掉λ的线性依赖性，得到一族修正的问题：

－λ2ρ+（|ξ|2ψ+－ψ″+）=sμ（|ξ|4ψ+－2|ξ|2ψ″++ψ+）-

λ2ρ－（|ξ|2ψ－－ψ″－）=sμ（ξ4ψ－－2|ξ|2ψ″－+ψ－）+B2（ψ－－|ξ|2ψ″－）（41）

跳跃条件为：

［［ψ］］=［［ψ′］］=0（42）

［［sμ（ψ″+|ξ|2ψ］］=B2ψ″（0）（43）

［［sμ（ψ－3|ξ|2ψ′）］］=［［λ2ρψ′］］+B2ψ（0）+g［ρ］|ξ|2ψ（0）－B2|ξ|2ψ′（0） （44）

边界条件为：

ψ－（－1）=ψ+（1）=ψ－′（－1）=ψ+′（1）=0（45）

对固定的sgt;0，式（41～45）是关于－λ2的标准特征值问题，从而可以用变分法求解.

定义能量：

E（ψ）=12（∫1－1sμ（4|ξ|2|ψ′|2+（|ξ|2ψ+ψ″）2）dx2+

B2∫0－1（|ψ″|2+|ξ|2|ψ′|2）dx2－g［ρ］|ξ|2|ψ2（0）（46）

J（ψ）=12∫1－1ρ|ξ|2ψ2+（ψ′）2dx2（47）

则E（ψ）、J（ψ）在H20（（－1，1））上有定义. 定义：

X=ψ∈H20（－1，1）J（ψ）=1（48）

目标是找到最小的－λ2，使得：

－λ2（ξ）=α（ξ）：=infψ∈XE（ψ）（49）

引理2.2：（i） 对任意固定的ξ≠0和sgt;0，E在Χ上能取到下确界.

（ii） 若ψ是最小化子，且－λ2=α：=E（ψ），则（ψ，λ2）满足方程组式（41），并且满足跳跃条件-（44）和边界条件式（45）.而且，当限制在（－1，0）或（0，1）时，ψ是光滑的.

证明：（i）对任意ψ∈Χ，

E（ψ）≥－12gξ2［ρ］ψ2（0）≥

－12gξ2［ρ］∫10ψ′+2dx2≥

－g［ρ］ρ+ξ2（50）

所以，E在Χ上有下界.

设ψn∈Χ是最小化序列，则E（ψn）有界.式（41、45）暗含ψn在H20（（－1，1））上有界，所以存在ψ∈H20（（－1，1）），使得：

ψn弱ψ 在H20（（－1，1））上，

ψn强ψ 在C1（（－1，1））上.

由强收敛定理知，ψ∈Χ.所以，进一步，由下半连续性和强收敛定理，可以得到

E（ψ）≤lim infn→∞ E（ψn）=infΧ E

所以E在Χ上能取到下确界.

（ii） 设ψ是最小化子，式（49）等价于：

－λ2=infψ∈H20E（ψ）J（ψ）（51）

任意τ∈R，ψ0∈H20（（－1，1）），定义：

ψ（τ）=ψ+τψ0

则由式（51），可得：

E（ψ（τ））+λ2J（ψ（τ））≥0

令I（τ）=E（ψ（τ））+λ2J（ψ（τ），则对任意τ∈R，I（τ）≥0，I（0）=0，所以I′（0）=0.

由式（46、47），直接计算，可得：

∫1－1sμ［4|ξ|2ψ′ψ′0+（|ξ|2ψ+ψ″）（|ξ|2ψ0+ψ″0）dx2+

B2∫0－1（ψ″－ψ″0，－+ξ2ψ′－ψ′0，－）dx2－g［ρ］|ξ|2ψ（0）ψ0（0）+

λ2∫1－1ρ（|ξ|2ψψ0+ψ′ψ′0）dx2=0（52）

进一步，假设ψ0在（－1，0）和（0，1）上有紧支集，则由上式知ψ±在弱意义下满足（41），标准的脱靴法可以证明：任意k≥0，ψ+∈Hk（（0，1）），ψ－∈Hk（（－1，0））. 所以，当限制在（－1，0）或（0，1）时，ψ是光滑的.

下证满足跳跃条件和边界条件.

因为ψ∈H20（（－1，1）），所以式（42、45）自动满足.证明式（43、44）.对式（52）分部积分得：

∫1－1sμ［|ξ|4ψ－2|ξ|2ψ+ψ）ψ0dx2+B2∫0－1（ψ－－|ξ|2ψ″－）ψ0，－dx2－

［［sμ（3|ξ|2ψ′－ψ）］］ψ0（0）+B2（|ξ|2ψ′－（0）－ψ－（0））ψ0（0）－（［［sμ（|ξ|2ψ+ψ″）］］－B2ψ″（0））ψ′0（0）=

－λ2∫1－1ρ（|ξ|2ψ－ψ″）ψ0dx2+（［［λ2ρψ′］］+g［ρ］|ξ|2ψ（0））ψ0（0）（53）

由于ψ0的任意性，式（53）可以推出式（43）和式（43）. 引理2.2得到了证明.

为了得到增长模式的解，需要考虑E（ψ）的符号. 为此，将E（ψ）写成：

E（ψ）=|ξ|2E0（ψ）+sE1（ψ）（54）

其中：

E0（ψ）=12∫0－1B2（|ψ′－|2+"|ψ″－|2|ξ|2）dx2－12g［ρ］ψ2（0）（55）

E1（ψ）=12∫1－1μ［4|ξ|2|ψ′|2+（|ξ|2ψ+ψ″）2］dx2（56）

由于sgt;0，且可以任意小，E1（ψ）gt;0，所以E（ψ）的符号主要由E0（ψ）的符号决定.E0（ψ）的符号与临界磁场和临界频率有关，所以先考虑临界磁场和临界频率的性质.

性质2.3：（i） 式（39）中的上确界可以取到；

（ii） 对固定的B，|B|lt;|B|c，（40）中的下确界一定能取到，且当0lt;|B|lt;|B|c时，|ξ|v关于B连续、递减，且有

lim|B|→0|ξ|v=0，lim|B|→|B|c|ξ|v=∞

证明：（i） 式（39）等价于在g［ρ］ψ2（0）=1的限制下，

1|B|2c=infψ∈H10（（－1，0））∫0－1ψ′－|2dx2（57）

显然，式（57）中的积分有下界.

设ψn是最小化序列，则ψn在H10（（－1，0））上有界. 因而，在H10（（－1，0））上，ψn弱ψ.又因为H10紧嵌入到C0，所以ψn（0）→ψ（0）.由这些收敛性和式（57）中的弱半连续性，ψ是式（57）中的最小化子.

（ii） "式（40）可以改写为：

|ξ|2v=infψ∈CB2∫0－1|ψ″－|2dx2（58）

其中：

C=ψ∈H20（－1，0）g［ρ］ψ2（0）－B2∫0－1|ψ′－|2dy=1

设ψn∈C是最小化序列，则由（58）知，ψ″n在L2中有界. 庞加莱不等式暗含着ψn在H20中有界.从而在H20中，存在ψ，使得ψn弱ψ成立. 又因为H20紧嵌入到C1，所以在H1中，ψn强ψ，ψn（0）强ψ（0）. 由这些收敛性和弱半连续性，有：

B2∫0－1|ψ″－|2dx2≤lim supn→∞ B2∫0－1|ψ″n，－|2dx2=

infψ∈CB2∫0－1|ψ″－|2dx2

由强收敛定理，ψ∈C，且ψ是（40）的最小化子.由式（39、40）的表达式可知：

lim|B|→0|ξ|v=0，lim|B|→|B|c|ξ|v=∞

现在可以判别E0（ψ）的符号了.

引理2.4"（i） 若|B|≥|B|c，则对任意ψ，有E0（ψ）≥0，而且

E0（ψ）≥12∫0－1［（|B|2－|B|2c）|ψ′－|2+

|B|2（ψ″－）2|ξ|2］dx2（59）

（ii） 若|B|lt;|B|c，且|ξ|lt;|ξ|v，则对任意ψ，均有E0（ψ）≥0；若|B|lt;|B|c，且|ξ|gt;|ξ|v，则存在ψ，使得E0（ψ）lt;0；

（iii） 若存在ψ，使得E0（ψ）lt;0，则|B|lt;|B|c，|ξ|gt;|ξ|v，且ψ（0）≠0.

证明：（i） 由式（39）知，对任意ψ∈H10（（－1，0）），|B|2c∫0－1|ψ′－|2dx2≥g［ρ］ψ2（0）.

所以，当|B|≥|B|c时，E0（ψ）≥0，且

E0（ψ）≥12∫0－1［（|B|2－|B|2c）|ψ′－|2+

|B|2（ψ″－）2|ξ|2］dx2

（ii） 固定B，使得|B|lt;|B|c，由定义式（40），若|ξ|lt;|ξ|v，则：

∫0－1B2［|ξ|2|ψ′－|2+|ψ″－|2］dx2≥g|ξ|2［ρ］ψ2（0）

所以，对任意ψ，均有E0（ψ）≥0；

当|ξ|gt;|ξ|v时，存在ψ∈H10（（－1，0）），使∫0－1B2［|ξ|2|ψ′－|2+|ψ″－|2］dx2lt;g|ξ|2［ρ］ψ2（0）

此时，E0（ψ）lt;0；

（iii） 若存在ψ，使得E0（ψ）lt;0，则由（i）和（ii）的第一部分知，|B|lt;|B|c且|ξ|gt;|ξ|v.又因为式（55）中的第一个积分非负，只有ψ（0）≠0，才能保证E0（ψ）lt;0.

有了引理2.5中E0（ψ）的符号，可以证明E（ψ）的符号.注意到式（49），下面的引理给出α（s）的符号.

引理2.5"（i）若|B|≥|B|c或者|B|lt;|B|c，且|ξ|lt;|ξ|v，则对任意s，α（s）≥0；

（ii） 若|B|lt;|B|c且|ξ|gt;|ξ|v，则存在s0=s0（ρ±，μ±，g，|B|，|ξ|）gt;0，当s∈（0，s0）时，α（s）lt;0.

证明：（i） 由引理2.5的（i）（ii），显然成立；

（ii） 由引理2.5的（iii）知，当|B|lt;|B|c且|ξ|gt;|ξ|v时，存在ψ，E0（ψ）lt;0，所以

E（ψ）=|ξ|2E0（ψ）+sE1（ψ）≤E0（ψ）+sC

其中C=C（ρ±，μ±，g，|B|，|ξ|）是常数.所以，存在s0=s0（ρ±，μ±，g，|B|，|ξ|）gt;0，当

s∈（0，s0）时，E（ψ）lt;0，从而

α（s）：=infψ∈ΧE（ψ）≤E（ψ）lt;0

注：引理2.6证明了定理2.1的（i）和（ii）.

引理2.6：α（s）具有以下性质：

（i） α（s）在（0，+∞）上关于s严格单增；

（ii） α（s）∈C0，1loc（0，∞）∩C0（0，∞）；

（iii） 对任意bgt;|ξ|v，存在正常数c0，c1，与ρ±，μ±，g，|B|有关，且

α（s）≤－c0+sc1（60）

（iv） 存在c2=c2（ρ±，g）gt;0，

c3=c3（ρ±，g，μ±，B）gt;0，使得：

α（s）≥－c2ξ+sc3（61）

证明：（i）任意0lt;s1lt;s2lt;+∞，由α（s）的定义和引理2.3，可以得到：

α（s1）=E（s1，ψs1）≤E（s1，ψs2）=

|ξ|2E0（ψs2）+s1E1（ψs2）≤

|ξ|2E0（ψs2）+s2E1（ψs2）=

E（s2，ψs2）=α（s2）（62）

下证当s1≠s2时，α（s1）≠α（s2）.

假设s1lt;s2，α（s1）=α（s2），式（62）暗含着

s1E1（ψs2）=s2E1（ψs2），从而E1（ψs2）=0，

ψs2=0，与ψs2∈X矛盾，所以α（s1）≠α（s2），从而α（s）在（0，+∞）上关于s严格单增；

（ii） 固定［a，b］（0，+∞），ψ0∈X. 由E的分解知，E关于s单增. 由引理2.3，任意s∈（0，+∞），存在ψs∈X，使得：

E（s，ψs）=infψ∈XE（s，ψ）=α（s）

对任意s∈［a，b］，

E（b，ψ0）≥E（s，ψ0）≥E（s，ψs）≥sE1（ψs）－g［ρ］ρ+|ξ|2

所以，存在K=K（a，b，ψ0，g，|ξ|）gt;0，

sups∈［a，b］E1（ψs）≤K. 任给s1，s2∈［a，b］，

α（s1）=E（s1，ψs1）≤E（s1，ψs2）

因为E（s1，ψs2）=E（s2，ψs2）+（s1－s2）E1（ψs2）=

α（s2）+（s1－s2）E1（ψs2）

所以 α（s1）≤α（s2）+Ks1－s2.

同理，α（s2）≤α（s1）+Ks1－s2.

所以，结合上面两式，有：

|α（s1）－α（s2）|≤Ks1－s2

所以α（s）∈C0，1loc（0，∞）.

（iii） 固定bgt;|ξ|v，由引理2.5中的（iii），存在ψb，E0（ψb）lt;0，所以取：

c0=－E0（ψb）gt;0

又由E的分解式，有：

E（ψb）≤－c0+sc1

其中c1gt;0为常数.最终，得到：

α（s）≤E（ψb）≤－c0+sc1.

（iv） 对任意ψ∈X，

－12|ξ|2g［ρ］ψ2（0）≥－12|ξ|g［ρ］（∫10|ξ||ψ+|2dx2）12（∫10|ψ′+|2dx2）12≥－c2|ξ|

其中c2=c2（g，ρ±）gt;0.

因为E0（ψ）中的其它项非负，E1（ψ）≥0，

所以

α（s）≥－c2|ξ|+sinfψ∈XE1（ψ）=－c2|ξ|+sc3

定义开集S为：

S=α－1（（－∞，0））（0，∞）

由引理2.6知，S非空，所以可以定义：

λ（s）=－α（s），s∈S. 现在可以证明修正问题式（41～45）的解的存在性.

性质2.7： 对任意s∈S，问题式（41～45）存在解ψs（ξ，x2），λ=λ（ξ，s）gt;0.而且，ψs，λ关于ξ是偶函数，解在（－1，0）和（0，1）上光滑，且ψs（ξ，0）≠0.

证明：令ψs（ξ，x2）是引理2.2中所建立的最小化子. 对任意s∈S，令

λ2（ξ，s）=－α（ξ，s）

则ψs（ξ，x2），λ（ξ，s）是问题式（41～45）的解.

用不动点定理来证明，存在s∈S，s=λ（ξ，s）.

引理2.8：存在唯一的s∈S，使得λ（ξ，s）=－α（ξ，s）gt;0，且s=λ（ξ，s）.

证明：由引理2.6知，存在s0gt;0，使得

S=α－1（（－∞，0））=（0，s0）

在S上定义λ（ξ，s）=－α（ξ，s）.

再定义Φ：（0，s0）→（0，∞）

Φ（s）=sλ（ξ，s）

因为α（s）在（0，s0）上严格单增，所以Φ（s）在（0，s0）上严格单增.

又因为lims→0Φ（s）=0，lims→s0Φ（s）=+∞，所以存在唯一的s∈（0，s0），使得Φ（s）=1，即s=λ（ξ，s）.

定理2.1的证明：结合引理2.8、2.9和2.6，定理2.1得证.

3"结论

（1） 上重下轻的二维不可压粘性流体和磁流体组成的系统，垂直磁场有致稳效果.

（2） 当所给磁场大于临界磁场时，系统稳定.

（3） 当所给磁场小于临界磁场，但是在低频时，也就是频率小于临界频率时，系统仍然稳定.

（4） 当所给磁场小于临界磁场，频率大于临界频率时，系统具有RT不稳定性.

参考文献（References）

［1］"RAYLEIGH L. Investigation of the character of an incompressible heavy fluid of variable density［J］. Proceedings of the London Mathematical Society， 1883 （14）：170-177.

［2］"TAYLOR G I. The instability of liquid surface when accelerated in a direction perpendicular to their planes［J］. Proceedings of the Royal Society of London， Series A， Mathematical and Physical Sciences， 1950，201（1065）：192-196.

［3］"KRUSKAL M， SCHWARZSCHILD M. Some instabilities of a completely ionized plasma［J］. Proceedings of the Royal Society of London， Series A， Mathematical and Physical Sciences ， 1954，223（1154）：348-360.

［4］"HIDE R. Waves in a heavy， viscous， incompressible， electrically conducting fluid of variable density， in the presence of a magnetic field［J］. Proceedings of the Royal Society of London， Series A， Mathematical and Physical Sciences， 1955，233（1194）：376-396.

［5］"CHANDRASEKHAR S. Hydrodynamic and hydromagnetic stability［M］.Oxford： Clarendon Press， 1961.

［6］"DUAN R， JIANG F， JIANG S. On the Rnyleigh-Taylor instability for incompressible， inviscid magnetohydrodynamic flows［J］. SIAM Journal on Applied Mathematics， 2011，71：1990-2013.

［7］"JIANG F， JIANG S. On linear instability and stability of the Rayleigh-Taylor problem in magnetohydrodynamics［J］. Journal of Mathematical Fluid Mechanics， 2015，17：639-668.

［8］"WANG H J， GUO Y. On the dynamical Rayleigh-Taylor instability［J］. Archive for Rational Mechanics and Analysis， 2003，167：235-253.

［9］"PRSS J， GIERI S. On the two-phase Navier-Stokes equations with surface tension［J］. Interfaces and Free Boundaries，2010，12：311-345.

［10］"JIANG F， JIANG S， WANG W. On the Rayleigh-Taylor instability for two uniform viscous incompressible flows［J］. Chinese Annals of Mathematics， Series B， 2014，35：907-940.

［11］"GUO Y， TICE I. Linear Rayleign-Taylor instability for viscous， compressible fluids［J］. SIAM Journal on Mathematical Analysis， 2011，42：1688-1720.

［12］"JIANG F， JIANG S. On the stabilizing effect of the magnetic fields in the magnetic Rayleigh-Taylor problem［J］. SIAM Journal on Mathematical Analysis， 2018，50：491-540.

［13］"JIANG F， JIANG S， WANG W W. Nonlinear Rayleigh-Taylor instability for non-homogeneous incompressible viscous magnetohydrodynamic fluids［J］. Discrete and Continuous Dynamical System-S， 2016，9：1853-1898.

［14］"JIANG F， JIANG S. Nonlinear stability and instablity in Rayleight-Taylor problem of stratisfied compressible MHD fluids［J］. Calculus of Variations and Partial Differential Equations ， 2019，58：29.

［15］"JIANG F， JIANG S， ZHAO Y. On inhibition of rayleigh-taylor instability by horizontal magnetic field in an inviscid mhd fluid with velocity damping［J］. Journal of Differential Equations， 2022，314：574-652.

（责任编辑：贡洪殿）