小学阶段“尺规作图”教学路径的设计与实践

［摘 要］尺规作为测量工具，有助于学生感悟线段的可加性及长度单位的累加，从而提升量感。尺规是作图的重要工具，能够表示等长线段的集合，有利于提升学生的推理和论证能力。文章探讨了如何通过尺规比较线段长度、深化概念理解、完善图形知识，以及推导三角形三边关系，以助力学生空间想象能力的培养。

［关键词］尺规作图；等长线段的集合；三边关系

［中图分类号］ G623.5 ［文献标识码］ A ［文章编号］ 1007-9068（2024）29-0034-04

尺子和圆规是图形与几何学习中的核心作图与测量工具，它们对于学生深入理解图形概念、培养量感和形成空间观念至关重要。特别是在小学阶段，通过尺规探究三角形的三边关系，可以有效提升学生的推理能力和核心素养。然而，学生在学习尺规作图以及运用尺规解决问题时，常常会遇到各种难题。笔者就“脱离了圆的‘定点定长’概念，学生对圆规的理解是怎样的”课题对四年级两个班的学生进行了调研：给所有未接触过尺规的学生一副圆规，要求学生介绍圆规、说明用途并尝试操作。结果显示，76%的学生知道圆规的名称，68%的学生知道它可以用来画圆，15%的学生能够自主用圆规画出圆，但对圆规的其他用途知之甚少，没有学生想到用它来比较线段长度。对此，笔者以小学阶段尺规作图经历的几个阶段为入口，基于大任务驱动架构教学环节，浅谈尺规作图不同阶段的教学要点。

一、从尺规到长度单位的累加

图形的认识与测量紧密相连，学习测量能够深化对图形的理解。尺规作图蕴含着丰富的数学内涵，可以培养学生的量感，让他们体会到线段的可加性，以及长度单位的累积。在小学阶段，尺规与长度概念的联系主要体现在以下两个方面。

（一）尺规与线段的联系

在第二学段，学生在学习“线段、射线和直线”时，需要比较线段的长度。比较线段长短时，可以通过尺子精确地测量长度，即感受单位长度的累积；也可以使用圆规或无刻度的尺子进行标准长度比较，即通过线段的移动来感知长短。在教学过程中，教师可围绕三个任务（见表1）引导学生探究，让学生在没有刻度的尺子上进行标记，同时引导学生使用圆规来刻画线段长度，即以圆规两脚尖的距离为标准，在学生理解长度标准的概念后，通过移动尺子或圆规将一条线段“搬运”到另一条线段上。

在任务一中，学生通过无刻度的尺子或圆规比较线段长度，深化对“线段长度是两点间的距离”这一概念的理解。在无刻度的尺子上进行标记和固定圆规两脚尖的距离，都是将线段从有形转化为无形的过程，学生在移动尺规时经历了线段重叠的过程，提高了空间想象力。在任务二中，学生可以借助尺规在射线上截取与线段③等长的线段。在任务三中，学生可以利用尺规在定点画出多条等长线段，感受到线段集合形成的图形，为后续学习借助尺规初步认识三角形和圆打下基础。

（二）尺规与周长的联系

“周长”是测量中的重要内容，学生在学习了“线段”之后，将学习周长。笔者利用常见的平面图形，设计了三个教学任务（见表2），以尺规探究图形周长。

在任务一中，先让学生探究三角形和长方形的周长，引导学生理解三角形和四边形的边长可以“展开”成一条线段，从而感受到图形周长是可以测量的，理解周长是长度单位的累积。再通过类比，让学生理解圆的周长也可以“展开”成一条线段来测量。在任务二中，教师引导学生使用圆规和尺子将三角形的三条边转化到同一条直线上，感受三角形的周长是三条线段长度的累积。在任务三中，学生通过自主探索，灵活运用周长知识解决问题。教师引导学生发现三角形①和三角形②有一条边重合，只需比较另外两条边之和，这也为学生后续学习两点之间线段最短原理做好铺垫。

通过尺规“展开”图形的周长，学生可以体验尺规作图，感受作图过程中蕴含的丰富转化思想，形成空间观念；同时，理解长度的可加性，感悟测量的本质是长度单位的累积，从而在图形与几何领域培养量感。

二、从尺规到图形概念的建构

尺规不仅是测量线段长度的工具，而且是绘图过程中的得力助手。在引入三角形概念时，学生通常能直观地认识到三角形具有三个角和三条边，然而能抽象出“三角形是由三条线段围成的图形”这一定义的学生并不多。通过尺规绘制三角形，学生能更深刻地理解“围成”这一概念，从而更好地把握三角形的定义。认识三角形的教学，可以围绕以下三个任务展开（见表3）。

由于学生对于三角形已积累了不少生活经验，因此任务一鼓励学生进行创作和语言表述，帮助他们形成抽象的图形概念。在任务二的探索中，学生可能会遇到三条线段画的位置不对无法围成三角形的情况，从而产生困惑。从学生的困惑入手，探讨“为什么要找两圆的交点”，联系“三角形是由三条线段围成的图形”，通过尺规操作进行思辨，从而完善三角形的概念。在任务三中，学生初步理解“三角形三边确定后，其形状是唯一的”，这既与三角形的稳定性相关，也为后续学习三角形三边关系奠定了基础。

在“认识三角形”这节课中，教师应依据学生的需求和图形的本质引导学生进行尺规作图，以完善三角形的概念，帮助学生从对图形的直观认知过渡到严谨的数学概念。在初中阶段，学生还将学习使用圆规绘制角平分线、垂直平分线等。圆规作为理解图形的重要工具，可助力学生更深入地理解几何概念。

三、从尺规到三角形三边关系的推导

通过尺规作图获得的线段集合涵盖了各种角度的等长线段，还能使三角形三边关系的建构从应用不完全归纳法转向完全归纳法。下面探讨基于尺规作图的“三角形三边关系”教学的课前准备、课堂架构和课后反思。

（一）“三角形三边关系”的课前准备

1.区分线段与边的概念

在几何图形中，边是基本构成要素，只有当线段构成图形时，才能称之为边。教学三角形三边关系的路径通常有两种：一种是通过观察特殊三角形的三边长度，推测并验证三角形的三边关系，此时研究的焦点是边；另一种是判断三条已知长度的线段能否构成三角形，进而推测三角形的三边关系，此时研究的焦点是线段。注意在采用第二种路径教学时，最好不要将未构成三角形的线段称作边。

2.关注学生的认知盲点

在探讨三角形三边关系时，教学往往侧重于线段的长度属性。边和角都是三角形的显著特征，但角这一特征常被学生忽视。学生在研究三角形时，可能会错误地将问题归因于线段的长度，而忽略了线段的角度，从而导致认知冲突。在这种情况下，教师应引导学生对作品进行讨论，帮助他们认识到在构建三角形时线段的角度是可以调整的，并意识到直接用尺子画线段容易忽略三角形的角。在学生进行自主探究后，教师可以利用这一认知冲突作为引入尺规作图的契机。

3.摆脱边长为整厘米的限制

为了便于学生比较，并减少测量误差对分析三角形三边关系的影响，教学中可以使用边长为整厘米的三角形进行探究，以帮助学生找到解题思路。但在建立数学模型后，还应关注解模过程，引导学生从边长为整厘米的情况扩展到边长为非整厘米的情况，从而经历从特殊三角形到一般三角形的探究过程，培养他们严谨的数学思维。

（二）“三角形三边关系”的课堂架构

1.寻求任务驱动下的教学推进

结构化的课堂教学能显著提升学生的学习效率。笔者以两条长度分别为9厘米和5厘米的线段为例，设计了两个环节和三个学习任务，并采用任务驱动的教学方法推进教学，确保了教学的整体性和连贯性（如图1）。

在环节一中，学生依据生活经验能够指出家和学校之间路线②最短。随后，笔者引导学生回顾尺规作图的学习经验，将路线①的两条线段转化为一条，将路线③的曲线变为直线，并比较各路线的长度。环节二设计了难度逐渐增加的三个学习任务，引导学生理解第三条线段长度的限制，并通过开放式活动鼓励学生进行猜测和验证，从而巩固知识。通过环节一的“两点之间线段最短”的数学现象，引出环节二的“三角形三边关系”的数学论证，再利用环节二的结论和尺规作图来解释环节一的数学现象，课堂环节紧密相连。

2.通过探究活动经历猜想和验证过程

环节二中，笔者创设开放式的数学探究活动，让学生经历自主探索和验证猜想的过程，并在操作后记录自己的发现。

学生完成任务一后，笔者展示了四幅学生作品（如图2），包括用纸条摆放（作品①）、纸条围成（作品②）、尺子画线（作品③）和圆规旋转（作品④）的方法。学生认为作品③不正确，笔者通过提问“你认为作品③失败的原因是什么？”来引导学生思考，丰富学生对三角形的认识，使尺规成为验证猜想的工具和学习需求。

3.借助尺规作图完善定理建构

仅有活动经验并不能形成系统的认知体系，教师需要对学生的活动结论进行总结和提炼，以更接近数学的本质。在任务二中，笔者将纸条摆放和尺规作图的方法相结合，从1厘米长的线段开始尝试，每次增加1厘米，直至15厘米。

学生在这个过程中发现，第三条线段长度在1～4厘米时无法构成三角形，在5～13厘米时可以构成三角形，而在14厘米及以上时又无法构成三角形。学生发现第三条线段的长度大于两条线段长度之差，且小于两条线段长度之和。笔者通过问题“只有这些整厘米长的线段才能与任务二中的线段构成三角形吗？”引导学生思考，学生很快通过散点找到了第三条边的长度范围。

然后，笔者利用问题“这些三角形的其中两条边都是长5厘米和9厘米，那么一般三角形的三边有什么关系呢？”，引导学生从特殊三角形过渡到一般三角形。学生在学习单上自由绘制三角形，用自己喜欢的方法验证想法，突显了尺规作图方法的普适性。

4.从数学定理回归数学现象

在任务三的学习过程中，学生通过实物纸条开展探究，将9厘米的纸条剪开后与5厘米的纸条一起围成三角形，并将这些三角形的5厘米边重合，感受这些三角形的共性。学生发现这些三角形的顶点能形成一个封闭图形——椭圆（如图3）。这种几何直观不仅拓宽了学生的思维，也让学生感受到数学的趣味性，为后续探究图形特征埋下了伏笔。

从数学定理回归数学现象的教学过程，使得课堂结构更加完整，让学生感受到数学现象与数学定理之间的联系。这样的教学过程将难以用语言描述的内容变得清晰，完善了学生的认知。

（三）基于尺规作图实践的课后反思

尺规作图能力的培养需经历一段较长的时间。教师应把握恰当的教学时机，引导学生进行实践与体会，鼓励学生运用多种方法验证自己的猜想，而非仅限于尺规作图。在探究过程中，学生自然能够体会到尺规作图的独特价值和重要性。

总之，尺规作图蕴含了丰富的转化与对应思想。通过尺规作图的教学，能够促进学生空间想象能力的提升，进而增强其数学核心素养。

［ 参 考 文 献 ］

[1] 范林伟.从常识走向数学，突出数学化过程：特级教师朱国荣“三角形三边关系”教学片段赏析[J].江西教育，2023（10）：46-50.

[2] 王广科.在数学实验中感悟数学的本质：以“三角形三边的关系”教学为例[J].小学数学教育，2023（Z2）：31-32.

（责编 杨偲培）