命题改革新高考 曲线方程开新篇

2024年高考数学新课标Ⅰ卷第11题是一道曲线与方程问题，

试题是这样的：造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线C的一部分.

已知C过坐标原点O.且C上的点满足横坐标大于-2，到点F（2，0）的距离与到定直线x=a（a<0）的距离之积为4，则（ ）

A.a=-2

B.点（22，0）在C上.

C.C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1.

D.当点（x0，y0）在C上时，y0≤4x0+2.

这是一道多选题，我们先看看他的求解：对于A，设曲线上的动点P（x，y），则x>-2且（x-2）2+y2×|x-a|=4，因为曲线过坐标原点，故（0-2）2+02×|0-a|=4，解得a=-2，故A正确.对于B，又曲线方程为（x-2）2+y2×|x+2|=4，而x>-2，故（x-2）2+y2×（x+2）=4.当x=22，y=0时，（22-2）2×（22+2）=8-4=4，故（22，0）在曲线上，故B正确.对于C，由曲线的方程可得y2=16（x+2）2-（x-2）2，取x=32，则y2=6449-14，而6449-14-1=6449-54=256-24549×4>0，故此时y2>1，故C在第一象限内点的纵坐标的最大值大于1，故C错误.对于D，当点（x0，y0）在曲线上时，由C的分析可得y20=16（x0+2）2-（x0-2）2≤16（x0+2）2，故-4x0+2≤y0≤4x0+2，故D正确.

于是正确答案：ABD.

对于曲线与方程，我们只是熟悉基础知识与基本概念，真正涉及到的具体内容是：直线、圆、椭圆、双曲线与抛物线，都是一些规范曲线及规范方程.通过方程探讨曲线或借助曲线来分析方程，一般情况下也仅限以上几种形式，高考这种设计显然是开辟了曲线与方程命题的新思路，对这一知识点来说在命题上开了新篇章，曲线不一定是规范曲线，方程也不一定是规范方程，显然，难度加大了很多.那么，这一知识块从以后的高考复习角度我们该如何应对呢？下面我们谈一下常规的三种处理模式.

一、画曲线，通过曲线产生结论

例1（多选题）已知曲线E：x|x|4+y|y|8=1，则下列结论正确的是（ ）

A.y随着x增大而减小

B.曲线E的横坐标取值范围为［-2，2］

C.曲线E与直线y=-1.4x相交，且交点在第二象限

D.M（x0，y0）是曲线E上任意一点，则|2x0+y0|的取值范围为（0，4］

解析（1）由题设得：当x≥0，y≥0时，曲线E：x24+y28=1，曲线为焦点在y轴的椭圆在第一象限的部分，

当x≥0，y<0时，曲线E：x24-y28=1，曲线为焦点在x轴的双曲线在第四象限的部分，

当x<0，y<0时，曲线E：-x24-y28=1，不成立，

当x<0，y≥0时，曲线E：-x24+y28=1，曲线为焦点在y轴的双曲线在第二象限的部分，其图像如下页图所示：

对于AB，由图像及椭圆、双曲线的几何性质可得y随着x增大而减小，曲线E的横坐标取值范围为R，故A正确，B错误；

对于C，由于y=-2x是双曲线x24-y28=1（x≥0，y<0）和y28-x24=1（x<0，y≥0）的渐近线，又因为-2<-1.4，所以直线y=-1.4x与x24-y28=1（x≥0，y<0）相交，交点在第四象限，直线y=-1.4x与x24+y28=1（x≥0，y≥0），y28-x24=1（x<0，y≥0）均无交点，故C错误；

对于D，曲线E上的点M（x0，y0），到直线2x+y=0距离为d=|2x0+y0|2+1，

所以|2x0+y0|的几何意义为点M到直线2x+y=0距离的3倍，因为直线2x+y=0为双曲线x24-y28=1（x≥0，y<0）和y28-x24=1（x<0，y≥0）的渐近线，所以d>0，设直线l：2x+y+c=0（c<0）与x24+y28=1（x≥0，y≥0）相切，联立方程2x+y+c=0，2x2+y2=8，消去y，得4x2+22cy+c2-8=0，则Δ=8c2-16（c2-8）=0，解得c=-4，所以直线l：2x+y-4=0，则dmax=|-4-0|2+1=43，即0<d≤43，则0<3d≤4，即0<|2x0+y0|≤4，故D正确.故选：AD.

例2（多选题）已知曲线E上的点P（x，y）满足方程x|x-1|+y|y-1|=0，则下列结论中正确的是（ ）

A.x∈-1，2时，曲线E长度为22+2π2

B.x∈-1，2时，y-1x+2最大值为1，最小值为-12

C.曲线E与x轴、y轴所围成的封闭图形的面积和为π4-12

D.若平行于x轴的直线与曲线E交于A，B，C三个不同的点，其横坐标分别为x1，x2，x3，则x1+x2+x3的取值范围是（2，32+22）

解析对于方程x|x-1|+y|y-1|=0，

①当x≤1，y≤1时，方程变为x-x2+y-y2=0，即（x-12）2+（y-12）2=12，所以点P在圆（x-12）2+（y-12）2=12（x≤1，y≤1）上；

②当x>1，y<1时，x2-x+y-y2=0，即（x-12）2=（y-12）2，即|x-12|=|y-12|，当12<y<1时，

x-12=y-12，解得x=y，不成立，故舍去；当y≤12时，x-12=12-y，即x+y-1=0；③当x>1，y>1时，x2-x+y2-y=0，即（x-12）2+（y-12）2=12，该圆不在x>1，y>1范围

内，故舍去；

④当x<1，y>1时，x-x2+y2-y=0，即（x-12）2=（y-12）2，即|x-12|=|y-12|，当12<x<1时，则x=y，不成立，故舍去；当x≤12时，12-x=y-12，即x+y-1=0.

作出曲线E的图像如下页图所示，

对于A，当x∈［-1，2］时，曲线E由两条线段MN，PQ和一

段半圆弧NP组成，所以长度为2+π·22+2=22+22π，故选项A正确；

对于B，令k=y-1x+2，即曲线E（x∈-1，2）上的点到（-2，1）的直线的斜率，所以最大值为（-2，1）与点M（-1，2）的斜率为1，最小值在直线与圆弧相切时取得，而当k=-12时即过原点的直线，该直线为y=-12x，圆心（12，12）到该直线的距离为d=12+141+14=3510≠22，所以最小值不是-12，选项B错误；

对于C，该封闭图形为两个扇形，S=2×［14·π·（22）2-12×1×12］=π4-12，故选项C正确；

对于D，如图所示，A，B为直线与圆弧的交点，设直线为y=m，则m∈（12-22，0），因为A，B关于直线x=12对称，所以x1+x2=1，点C为y=m与x+y-1=0的交点，故x3=1-m∈（1，12+22），所以x1+x2+x3的取值范围是（2，32+22），故选项D正确．

故选：ACD.

点评对于上述两题，我们都是先画出曲线的基本图像，通过曲线的图像性质，再结合选项进行分析、推理、计算，最终产生结论.难度所在是分析曲线的基本形状，当形状确定之后，再看选项的具体要求，两者结合即可.

二、用方程，结合方程的根产生结论

例3（多选题）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如星形线、卵形线、蔓叶线等，心形线也是其中一种，因其形状像心形而得名，其平面直角坐标方程可表示为x2+y2+ay=ax2+y2，a>0，图形如图所示．当a=1时，点P1（x1，y1），P2（x2，y2）在这条心形线C上，且x1x2≠0，则下列说法正确的是（ ）

A.若OP1∥OP2，则

|P1P2|=2

B.若OP1∥OP2，则

|OP1|·|OP2|=1

C.|OP1|+|OP2|<4

D.C上有4个整点（横、纵坐标均为整数的点）

解析依题意，心形线C的直角坐标方程为：x2+y2+y=x2+y2，

过原点O（0，0），由OP1∥OP2，可知O，P1，P2三点共线，可设直线P1P2：y=tx，由x2+y2+y=x2+y2，y=tx，消去y，得：（1+t2）x2-1+t2|x|+tx=0.不妨设x1>0，x2<0，

则x1=1+t2-t1+t2，x2=-1+t2-t1+t2.∴|P1P2|=1+t2·|x1-x2|=1+t2.21+t21+t2=2，故A正确；

由|OP1|·|OP2|=1+t2·1+t2-t1+t2.1+t2·-1+t2-t1+t2=11+t2，当t≠0时，|OP1|·|OP2|≠1，故B错误；

设点P（x，y）在心形线C上（异于原点），∠POx=α，角α以x轴非负半轴为起始边，则心形线C的方程转化为：|OP|2+|OP|sinα=|OP|，即|OP|·（|OP|+sinα-1）=0，∴|OP|=1-sinα≤2，又x1x2≠0，∴|OP1|+|OP2|<4，故C正确；

由|OP|=x2+y2≤2，可知：-2≤y≤2.令t=x2+y2（t≥0），则心形线C的方程可化为：t2-t+y=0，Δ=1-4y≥0，∴-2≤y≤14，当y=0，t2-t=0，∴t=0或t=1，进而可得x=±1或0，当y=-1时，方程无整数解；当y=-2时，t2-t-2=0，∴t=2，故：x=0，∴C上有4个整点（-1，0），（1，0），（0，0），（0，-2），故D正确.

故选：ACD.

点评本题建立在处理方程组与方程的基础上，通过分析与利用方程的根、根与系数的关系使问题获解，四个选项也基本上都是围绕着方程根的情况进行设计.

例4（多选题）数学中的很多符号具有简洁、对称的美感，是形成一些常见的漂亮图案的基石，也是许多艺术家设计作品的主要几何元素.如我们熟悉的

SymboleB@ 符号，我们把形状类似

SymboleB@ 的曲线称为“∞曲线”.经研究发现，在平面直角坐标系xOy中，到定点A（-a，0），B（a，0）距离之积等于a2（a>0）的点的轨迹C是“∞曲线”.若点P（x0，y0）是轨迹C上一点，则下列说法中正确的有（ ）

A.曲线C关于原点O中心对称

B.x0的取值范围是-a，a

C.曲线C上有且仅有一个点P满足|PA|=|PB|

D.PO2-a2的最大值为2a2

解析设M（x，y）是曲线C上任意一点，则|MA|·|MB|=a2（常数a>0）），

∴（x+a）2+y2·（x-a）2+y2=a2，化简得曲线C即“∞曲线”的方程为［（x+a）2+y2］·［（x-a）2+y2］=a4，

对于A，∵以-x换x，同时以-y换y，方程不变，∴曲线C关于原点O中心对称，故A正确；

对于B，若点P（x0，y0）是轨迹C上一点，则［（x0+a）2+y02］·［（x0-a）2+y02］=a4，所以x04+a4-2x02a2+y02（x02+a2）+y04=a4，即（x02+a2）2+y02（x02+a2）+y04-4x02a2=a4，所以（x20+y20+a2）2-4a2x20=a4，则x20+y20=a4+4a2x20-a2，由y20=a4+4a2x20-a2-x20≥0，得x0∈-2a，2a，故B错误；

对于C，设点P（x0，y0）是轨迹C上一点，且满足|PA|=|PB|，则P在线段AB的垂直平分线上，

∴x0=0，这时（0-a）2+y20（0+a）2+y20=a4，即（a2+y20）2=a4，∴y0=0.这说明“∞曲线”上有且仅有点P（0，0）满足条件|PA|=|PB|，故C正确；

对于D，∵x20+y20=a4+4a2x20-a2，且x0∈-2a，2a.于是，|PO|2-a2=x20+y20-a2=a4+4a2x20-2a2≤a2，当且仅当x0=±2a时，取“=”，故D错误．

故选AC.

点评本题的求解关键在于对方程的合理、巧妙变形与转化，再结合代数式的恒等变形，选项B与C的排除与肯定都是这样做到的.选项D经转化后，实际上变成了函数的值域问题.

三、方程与曲线交相辉映

例5（多选题）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C1：|y|=a-|x|（a>0），曲线C2：|x|+|y|-|xy|=1.下列说法正确的是（ ）

A.曲线C1围成的图形为正方形

B.曲线C2表示的是四条直线

C.曲线C1与C2恒有公共点

D.若曲线C1与曲线C2的交点恰好构成平面上正八边形的顶点，则实数a的值为2或2+2

解析由对称性，C1的图形关于原点中心对称，关于x轴和y轴轴对称.

从而，要画出C1的图形只需先画第一象限的图形，再关于x轴，y轴，原点作对称即可.

于是，可得C1的图形为：

对于C2，由于|x|+|y|-|x|·|y|=1（|x|-1）·（|y|-1）=0|x|=1或|y|=1.

于是，可以画出C2的图形为：

对于选项A，由图知，正确；对于选项B，由图知，正确；

对于选项C，当a≥1时曲线C1与C2有公共点，当a<1时，C1与C2无公共点，错误；

对于选项D，在同一坐标系内画出两曲线的图形，

如图一，可知（a-2）2+（a-2）2=2，且a>2，从而a=2+2；

如图二，可知（a-2）2+（a-2）2=2（a-1），且0<a<2，从而a=2，故D正确.

故选ABD.

点评本题从方程到曲线，再从曲线看方程的根，两者密切结合，转化灵活但很自然，选项D有难度，稍有不慎，只得其中一种情况，而漏掉另一种情况.

例6（多选题）已知点P（m，n）为曲线C：1x2+4y2=1上任意一点（点O为坐标原点），则（ ）

A.曲线C的图像关于原点对称

B.m≥1或m≤-1

C.OP的最小值为3

D.曲线C与曲线D：2|x|-|y|=0有4个交点，且这4点构成矩形

解析对于选项A，假设点（a，b）在曲线上，则1a2+4b2=1，点（-a，-b）也满足1（-a）2+4（-b）2=1，即任意点（a，b）在曲线上，它关于原点的对称点（-a，-b）也在曲线上，所以曲线C关于原点对称，故A正确；

对于选项B，由题可知1x2=1-4y2∈（0，1），解得x∈{x|x<-1或x>1}，所以m<-1或m>1，故B错误；

对于选项C，由1m2+4n2=1，则|OP|=m2+n2=（m2+n2）（1m2+4n2）=5+n2m2+4m2n2≥9，当且仅当n2m2=4m2n2n2=2m2时，等号成立.因此|OP|≥3，即|OP|的最小值为3，故C正确；

对于选项D，联立1x2+4y2=1，2|x|-|y|=0，解得x=2，y=22或x=-2，y=22或x=2，y=-22或x=-2，y=-22.

则曲线C与曲线D有四个交点A（2，22）、B（2，-22）、M（-2，22）、N（-2，-22），则AB=（0，-42）=MN，AB·BN=（0，-42）·（-22，0）=0，所以AB//MN且AB=MN，AB⊥BN，所以四边形ABNM是矩形，故D正确.

故选：ACD.

点评选项A与B通过对方程性质的分析即可产生结论，选项C根据曲线上的点的坐标必适合方程入手，产生m，n的关系式，再结合基本不等式给人耳目一新的感觉.选项D，通过解方程组产生交点坐标，再回归图形即可产生结论.

曲线与方程在高考中命题方式出现了改变，它不再是仅仅考几个规范曲线了.因此，我们除了掌握曲线与方程之间的关系外，还必须可以建立在一般方程的基础上探讨曲线性质、在不规则曲线的图像中捕捉方程可能具有的特性，它要求我们不仅要具有敏锐的观察力同时也要具有一定的分析问题的能力.

【作者简介：中学数学高级教师，教育部《普通高中新课程数学教学指导》编写人，主编与参编多本天星教育《试题调研》；主编学海导航的《必修四》与《选修2—3》同步教学辅导资料；主编爱疯系列2020年与2021年高三一轮、二轮复习用书《高考备考新模式》与《高考数学命题揭秘与专题练析》.近年在《数学通报》《中等数学》《数学教学》《中学数学教学参考》及《中学数学》等多种杂志发表论文及中学生科普读物一千多篇，多篇被人大资料复印中心G35《中学数学教学》全文转载】

责任编辑 徐国坚