整体理解·重塑结构·提升素养

摘 要：如何提升复习课的价值一直是被关注和探索的课题. 以“三角形”章复习课为例，整体理解三角形的课程设置、知识联系和教学内容，从结构化视角设计生长式问题串，围绕“复习对象是什么？复习什么？如何复习？”展开探索，引导学生经历三角形学习之后，重塑结构，形成更加完善的三角形知识结构及向多边形知识发展的结构，培养学生整体构建知识的能力，提升学生的数学核心素养.

关键词：三角形；复习课；结构化

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1673-8284（2024）09-0046-05

引用格式：杨春霞，诸士金. 整体理解·重塑结构·提升素养：结构化视角下“三角形”章复习课的教学设计与思考［J］. 中国数学教育（初中版），2024（9）：46-50.

知识结构化才能形成能力，就像散落在地面上的珍珠显示不出它特有的价值一样，只有将散落的珍珠串成珍珠链才能让它大放异彩、发挥价值. 按照教材编排的顺序，以课时为单位进行几何教学容易造成学生在学习过程中过度关注局部知识，而忽视几何知识之间的内在联系和图形研究方法的一致性，导致学生缺乏对几何研究对象的整体认识. 因此，教师需要加强对单元整体教学的研究，在几何起始课和复习课中进行更多的结构化教学实践. 下面以人教版《义务教育教科书·数学》八年级上册（以下统称“人教版教材”）第十一章“三角形”的复习课为例，进行结构化的教学设计和思考.

一、整体理解“三角形”一章的复习内容

对于初中阶段三角形的学习内容，要从整体上把握三角形内容的产生与来源、结构与关联、价值与意义；引导学生从三角形的概念出发，探寻三角形的边、角及相关元素之间的关系，以及三角形与其他图形之间的关系，从而在三角形内外建立有意义的知识结构. 这样的整体理解可以看成是一个三维体系，如图1所示. 原点是研究对象的基本定义，即三角形的基本定义，然后基于三个维度进行教学设计，即：复习对象是什么（明晰概念）？复习什么（厘清关系）？如何复习（选择方法）？

1. 复习对象是什么——明晰概念

学习概念不是学习一个个孤立的概念，而是同时建立众多概念之间的联系. 本章复习的图形对象是三角形，涉及的概念不只是三角形的定义，还包含构成三角形的基本元素（边和角）和相关元素（中线、高线和角平分线）. 可以将这些对象分为两个层次：第一个层次是三角形的概念，第二个层次是三角形元素的概念. 在对这些概念的复习中，从内涵到外延可以建立定义、表征、特征、类别、例子这个五个维度的结构，即构建三角形“概念域”，如图2所示. 这样有利于学生整体把握复习对象，明晰概念的来龙去脉，形成一致的语言表征、图形表征和符号表征体系.

2. 复习什么——厘清关系

明确复习对象之后，需要确定复习对象中的哪些关系. 可以分成两个方向：一个方向是探究三角形的基本元素和相关元素的关系，即三角形边的关系、角的关系，以及中线、高线、角平分线的关系等，这些内容是后续学习特殊三角形和三角形全等的基础；另一个方向是探索图形之间的关系，即探索三角形之间的关系、三角形与其他图形之间的关系，如全等三角形、相似三角形、位似三角形等. 本章复习内容主要涉及全等三角形.

对于几何元素关系的研究，学生已经经历了基本几何图形线与角的学习过程，积累了一些数学活动经验（如图3）. 这样的活动经验对学生研究其他图形有正迁移作用，即研究对象在变，研究“套路”不变、思想方法不变，为后续研究其他图形之间的关系奠定基础.

3. 如何复习——选择方法

根据《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《标准》）的要求，初中数学结构化复习教学策略如下：第一，巧设题组，以题串点成线；第二，横纵联系，知识连线成网；第三，深层发掘，促进深度学习. 本节课以学生的学情和认知结构为基础，结合对“三角形”这一章学习内容的梳理，基于以上复习策略，设计了如图4所示的复习框架.

以这一框架为基础展开对三角形相关概念及元素之间关系的复习，帮助学生建立概念之间的联系，形成知识结构，同时帮助学生积累研究图形之间关系的活动经验，让学生体会从特殊到一般的数学思想，形成图形关系研究的一般路径，并在旧知新用的过程中，再次经历命题发现和证明的过程，增强学生的几何推理能力.

二、教学实施过程

1. 课前梳理，建构三角形概念域

问题1：展示在课前梳理的“三角形”一章的知识结构图，并任意画一个三角形，如何表示这个三角形及三角形的边和角？

追问1：三角形三边之间有怎样的关系？

追问2：三角形三个内角之间有怎样的关系？如何证明这个结论？

【设计意图】通过问题1引导学生回顾“三角形”一章的知识点，并要求学生能够基于自己的理解尝试梳理整章的知识结构，这是一种对单元内容的自我建构过程. 而追问1和追问2旨在引导学生关注复习对象的具体表示及相关概念之间的关系，是对学生自我建构的进一步完善.

2. 从特殊开始，点在三角形边上

问题2：已知△ABC和点P，点P与△ABC之间可能的位置关系有哪些？

预设：点P在△ABC的边上，点P在△ABC的内部，点P在△ABC的外部.

【设计意图】问题2是后面生长式问题的出发点，从点P和△ABC的位置关系出发，先渗透分类思想，为后续研究点和线、角等位置关系的分类奠定基础.

追问1：当点P在△ABC的边上时，有哪些特殊的位置？试着画出图形，写出相关结论.

预设1：如图5，当AP为△ABC的中线时，可以得到的数量关系为BP = CP =[1/2]BC，S△ABP = S△ACP =[1/2]S△ABC.

预设2：如图6，当AP为△ABC的高线时，可以得到结论：∠APB = ∠APC = 90°，∠B和∠BAP互余，∠C和∠CAP互余，S△ABP∶S△ACP = BP∶CP.

预设3：如图7，当AP为△ABC的角平分线时，可以得到结论：∠BAP = ∠CAP =[1/2∠BAC]，[S△ABP]∶[S△ACP]= AB∶AC.

追问2：这些结论有什么共同点？

预设：三角形的中线、高线和角平分线都有各自的性质，可以从它们与三角形的基本元素（边、角）之间的数量关系、位置关系及所分得图形面积大小等角度进行研究.

追问3：如图7，当AP为△ABC的角平分线时，S△ABP∶S△ACP = AB∶AC. 如何证明这个命题？

预设1：如图8，把边AC沿着∠BAC的平分线AP翻折. 因为AB > AC，所以点C落在边AB上的点C′处. 则S△ACP = S△AC′P. 而S△ABP∶S△AC′P = AB∶AC′，从而S△ABP∶S△ACP = AB∶AC.

预设2：可以过点P向角的两边作高线，根据角平分线的性质定理，由高相等，得S△ABP∶S△ACP = AB∶AC.

【设计意图】三个追问引导学生从点和三角形边的特殊关系出发复习了三角形中重要的三条线段，即中线、高线和角平分线的相关性质. 其中，对于追问1，引导学生既要关注对三条特殊线段的一般性质的理解，还要关注这三条特殊线段在三角形中独有的性质. 追问3以角平分线为例，引导学生借助三角形的面积来证明命题，证明方法有实验验证和演绎推理两种，有助于学生进一步积累几何学习的经验.

3. 从分类研究，点在三角形内部

问题3：当点P在△ABC内部时，又有哪些结论呢？

预设1（特殊情况）：如图9，当点P为两条中线的交点时，有S1 = S3，S2 = S4；如图10，当点P为两条高线的交点时，有∠BPA + ∠C = 180°；如图11，当点P为两条角平分线的交点时，有∠BPC =[1/2]∠A + 90°.

预设2（一般情况）：如图12，当点P为△ABC内任意一点时，有∠P = ∠C + ∠CAP + ∠CBP.

追问：如何证明一般情况的结论？

预设3：如图13，延长AP交BC于点Q，可以根据

“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”，依次得到∠APB = ∠CBP + ∠PQB = ∠CBP + ∠CAP + ∠C.

【设计意图】问题3主要是引导学生从点在三角形内部的特殊情况和一般情况展开复习研究，也是在问题2的基础上，从一条特殊线段到两条特殊线段的进一步生长，以此引导学生探寻相同属性的两条特殊线段相交后所得的一些结论. 这里不仅复习了三角形中特殊线段的性质，还复习了三角形的内角和定理及其推论. 其中，对于追问，可以鼓励学生采用多种方法尝试. 如图14，连接CP并延长交边AB于点Q，也可以证明. 这样的多法探究有利于学生拓展思路，发展学生推理能力的同时，渗透转化思想.

4. 从模型变式，点在三角形外部

问题4：当点P在△ABC外部时，又有哪些结论呢？

预设1（特殊情况）：如图15，当点P为两条外角平分线的交点时，有∠P = 90° -[1/2]∠B；如图16，当点P为一条内角平分线和一条外角平分线的交点时，有∠P =[1/2]∠BAC.

预设2（一般情况）：如图17，有∠P + ∠B = ∠1 + ∠2；如图18，有∠A + ∠ABP = ∠P + ∠ACP.

【设计意图】问题4是在研究问题3之后进一步开拓学生的视野，重点研究点在三角形外部的情况，聚焦对角平分线相交形成角的“聚类”复习，对于一般情况的处理，建议在课后让学生自己尝试完成证明.

问题5：当点P在三角形内部时，点P为三角形内角的平分线交点，点Q为三角形外角的平分线交点，你有什么发现？

预设1：如图19，可以发现∠BPC + ∠BQC = 180°.

预设2：如图19，猜想A，P，Q三点共线.

追问：如何证明以上两个结论？同学们可以在课后进行探究.

【设计意图】问题5将三角形内角平分线交点和外角平分线交点进行关联，是对三角形内、外角平分线相交所成角的统一，体现了对图形结构的整体理解. 受课堂教学时间限制，可以作为探究作业让学生在课后完成.

三、结构化视角下几何复习课的教学建议

1. 整体理解是进行结构化设计的前提

在学习本章内容之前，学生已经学习了直线、射线、线段、角和两条直线的位置关系. 在“三角形”一章的学习中，出现的图形逐渐丰富起来. 在进行复习课设计时，需要整体理解三角形的内外联系，内部需要关注三角形的元素之间的关联，外部需要关注三角形和其他图形之间的关系. 这不仅要求学生在新课知识的学习中获取经验，还要在解题活动中积累素材，从整体视角去发现一些题目中图形结构的共性. 这样的发现在新授课中受课时的影响难以系统化，但在复习课中可以引导学生基于图形结构进行系统认识，帮助学生从不同的角度进行知识和方法的建构. 例如，本节复习课中以一个点和三角形的位置关系形成的图形结构进行研究，形成了前后一致、一以贯之的学习路径和方法.

2. 生长式问题串设计是结构化的体现

发展推理能力，需要关注条件变化下指向的结论的不变性和规律性.“三角形”章复习课的主要能力目标是发展学生的推理能力. 因此，生长式的问题串为学生的思维活动提供了“脚手架”，促使学生借助已有的活动经验进行研究. 新课教学中，如果点P在△ABC的边BC上，连接顶点A和点P就会产生新的对象：线段AP，线段BP，线段CP，∠BAP，∠CAP，以及△ABP，△ACP等. 如何研究新的对象呢？学生已经初步积累了从特殊到一般的活动研究经验，因为特殊的属性一般比较容易被发现. 本节课从特殊的位置关系进行研究复习，于是从认识三角形的高线、中线、角平分线及它们所形成的三角形面积的大小关系开始研究. 这些在新授课学习中积累的经验为点P在三角形内部和外部的研究提供了思维路径，沿着这样的路径设计生长式的问题串，可以体现出复习课的清晰脉络.

在复习课的教学中，教师要引导学生从整体上把握知识和方法，利用结构化的思想设计教学过程，有助于学生厘清已有知识结构，重构新的认知结构，形成系统性的知识和一以贯之的认知方法，继而使学生通过知识的再生长，形成结构化的数学认知，提升数学核心素养.

参考文献：

［1］郑毓信. 数学教育的现代发展［M］. 南京：江苏教育出版社，1999.

［2］张莹菲. 点—线—网：初中数学结构化单元复习策略的实施：以“一元一次不等式”复习课为例［J］. 教育观察，2023，12（11）：113-116.

［3］诸士金. 在结构化复习中发展学生推理能力：“轴对称图形”复习课的教学设计与思考［J］. 江苏教育，2021（11）：30-33，48.