有序开展数学实验，发展几何直观能力

摘 要：数学实验教学可以有效改变学生学习数学的方式，与几何直观这一关键能力的发展紧密相关. 在“最短路径之造桥选址问题”的教学中，通过几何画板软件、折纸操作、动手作图开展不同形式的数学实验教学，发现实验教学对提高学生基于几何直观的感性认识、理性思考和表达应用具有积极的促进作用. 由此受到启示，依据学生的认知发展规律，有序开展数学实验教学能有效促进学生几何直观能力的发展.

关键词：数学实验；几何直观；造桥选址

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1673-8284（2024）09-0037-05

引用格式：章源，刘永东. 有序开展数学实验，发展几何直观能力：以“最短路径之造桥选址问题”的教学为例［J］. 中国数学教育（初中版），2024（9）：37-41.

一、问题提出

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《标准》）指出，数学课程要培养的核心素养，主要包括会用数学的眼光观察现实世界、会用数学的思维思考现实世界、会用数学的语言表达现实世界三个方面，体现出对学生正确价值观、必备品格和关键能力的培养要求. 关键能力是学生通过学习数学获得的，是支撑学生数学核心素养发展的必备能力，是数学核心素养培养实践落地的抓手. 从数学核心素养组成要素的角度看关键能力，在初中阶段，数学核心素养具体表现为抽象能力、运算能力、几何直观、空间观念、推理能力、数据观念、模型观念、应用意识和创新意识. 其中，几何直观是一种形成对图形的认识并利用图形描述和分析数学问题的能力，与学生学习的自主性和探究性密切相关，需要通过主动参与、乐于研究、勤于动手的学习方式得以获得和发展. 数学实验是运用有关工具（如纸张、剪刀、模型、直尺、圆规、计算机等），在数学思维参与下进行的一种以学生人人参与的实际操作为特征的数学验证或探究活动. 由此可见，数学实验教学是培养几何直观关键能力的有效手段和途径. 对此，笔者以人教版《义务教育教科书·数学》八年级上册“13.4 课题学习 最短路径问题”的第2课时“造桥选址问题”为例开展数学实验教学，并进行教学过程简析，揭示有序开展数学实验教学能有效发展学生几何直观关键能力的三个视角.

二、教学过程简析

1. 复习回顾，类比迁移

活动1：回顾上节课学习的“将军饮马”问题，其中最主要的解决问题的方法是什么？

师生活动：教师引导学生回顾“将军饮马”问题的解决过程与方法，让学生再次感悟解决问题时“化折为直”的转化思想.

【设计意图】通过类比解决“造桥选址”问题，帮助学生整合已有的认知结构，不仅简单易行，而且符合学生的认知发展规律.

2. 小组交流，提出猜想

活动背景（造桥选址）：如图1，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN. 桥造在何处可以使从A地到B地的路径AM + MN + NB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直，且测量时人正面对着河的两岸.）

活动2：呈现对“造桥选址”问题的猜想和发现，并在小组内交流与思考猜想的合理性.

师生活动：学生先自己绘图，然后与其他学生的绘图进行比较，小组内交流，猜想最短路径. 教师巡视指导.

下面为部分学生给出的作图方案.

方案1：如图2（a），连接AB，交直线a于点M，过点M作MN垂直于直线b，垂足为点N，连接BN.

方案2：如图2（b），连接AB，交直线b于点N，过点N作MN垂直于直线a，垂足为点M，连接AM.

方案3：如图2（c），过点A作直线a的垂线，分别交直线a，b于点M，N，连接BN.

方案4：如图2（d），过点B作直线b的垂线，分别交直线a，b于点M，N，连接AM.

【设计意图】很多情况下，知识的提炼可以借助图形或图式进行. 学生自行绘图并对比不同图形的过程，能有效促进学生认识各种因素间的联系，不断纠正自我理解认知偏差，初步辨析应该选择哪些因素来加以表现.

实际上，几何直观的培养不是一蹴而就的，是需要按照层次，从易到难有序进行的. 若参照《标准》中了解、理解、掌握、应用的四个目标层次来区分几何直观素养的发展水平，则对比属于从“了解”层次发展几何直观.

3. 画板助力，直观实验

活动3：利用几何画板软件检验以上方案，看看哪个方案符合要求.

师生活动：教师和学生一起操作几何画板软件，变换点M和点N的位置，记录不同方案中AM，MN，NB三条线段的和.

师：在同学们提出的4种方案中（如图3），方案2中的三条线段和最小，它是最短路径吗？为什么？

生1：我认为方案2不是最短路径. 连接AB，因为“两点之间线段最短”，所以此时点A，B之间的距离是最短的. 但是方案2中AM，MN，NB三条线段的和并不等于点A，B之间的距离.

师：生1讲解得很有道理. 图3（b）的确不是最短路径. 在比对了4种方案后，你还有什么发现吗？

生2：我发现桥长MN其实是不变的，因为平行线间的距离处处相等.

生3：我发现求三条线段和的最小值，其实只需要求线段AM和BN的和的最小值即可.

师：生2和生3分析得非常好. 他们发现了解决选址造桥问题的重要突破口，实现了问题的转换.

【设计意图】若直接用数学原理解释学生的猜想是否具备合理性，则无法发展学生的几何直观，学生也会因其抽象性而难以理解数学问题. 利用几何画板软件精准作图，设置动点，对不同方案进行动态展示，能让学生在度量和数据比较中验证猜想的可行性.

实质上，这是把一个未知事件和已知事件的事实进行比较，具有直观性和可操作性. 利用学生可以参与、操作、观察及随时调整的数学实验，不仅能有效激发学生的学习热情，而且能在动态演示中增强学生的几何直观，从而让学生发现问题中的变量和不变量，找到解决问题的突破口. 此处借助图形在实验中寻求得到解决问题的方法，属于从“理解”层次发展几何直观.

4. 折纸操作，启发诱导

活动4：类比“将军饮马”问题，通过折纸探究如何解决“造桥选址”问题.

问题1：“将军饮马”和“造桥选址”两个问题的区别和联系是什么？

问题2：小组合作，思考如何通过折纸将“造桥选址”问题转化为“将军饮马”问题？

问题3：如图4，在折纸的过程中有什么变化，如何用数学知识进行解释？

师生活动：在小组合作中，学生经历了观察、动手操作、讨论交流的过程. 教师巡视，在学生遇到困难时给予启发性引导.

【设计意图】问题1旨在引导学生通过类比学习，发现“造桥选址”问题也可以“化折为直”，但需要突破学生对模型特征的异同认知. 问题2旨在启发学生通过折纸使得两条直线重合从而成功转化问题. 问题3旨在进一步引发学生深度思考，发现折纸的本质是平移，利用平移的数学知识解释折纸的过程，并发现不同的解法. 小组合作折纸活动提升了学生的几何直观能力，让学生在数学交流中产生了顿悟，找到了解决问题的办法.

数学实验教学强调学生动手操作的真实感受，强调在交流中参与并生成知识的过程，即强调在操作发现和交流的全过程中充分理解为什么要平移及怎样平移的教学关键点，使得学生的认知从感性层面上升到理性层面，不仅激发了学生的探索欲望，启迪了学生的思维，而且提升了学生解决问题的能力. 模型是一种思维辅助工具. 折纸这一实物模型是学生容易理解的. 引导学生分析研究模型并和已有认知联系起来，从直观折纸到认识数学对象之间的联系，属于从“掌握”层次发展几何直观.

5. 格点作图，提升思维

活动5：在格点中作图，完成下列问题.

（1）如图5（a），从[A]地到[B]地要经过一条小河（河岸平行），今欲在河上建一座与两岸垂直的桥[MN]，在格点纸中作图找到点[M，N]的位置，使得此时从[A]地到[B]地的路径最短.

（2）如图5（b），从[A]地到[B]地要经过两条小河（河岸平行），今欲在两条河上分别建一座与两岸垂直的桥[MN]和[PQ]，在格点纸中作图找到点[M，N，P，Q]的位置，使得此时从[A]地到[B]地的路径最短.

（3）如图5（c），从[A]地到[B]地要经过两条小河（河岸平行），今欲在两条河上分别建一座与两岸垂直的桥[MN]和[PQ]，在格点纸中进行作图找到点[M，N，P，Q]的位置，使得此时从[A]地到[B]地的路径最短.

师生活动：学生按照要求在格点纸中作图，教师巡视指导.

【设计意图】“造桥选址”问题涉及平移桥长，不易作图进行考查，由此对该问题进行适当改编，放置在格点中进行考查，有利于学生理解平移转化的作法，方便作图. 通过变式问题能加深学生理解“造桥选址”问题中的平移、“化折为直”等方法的妙用，并举一反三，有效提升学生的思维能力.

数学活动形式需要多样化. 上述活动是在问题的引领下开展的，而数学学习离不开解题，因此笔者将整节课活动的全过程以“双题”形式呈现，既有数学问题，又有数学题目. 图形是数学几何语言的外在表达方式，根据符号语言或文字语言，进行抽象并画出图形，这既是几何直观的重要体现，也是几何直观能力培养的重要手段.

在新情境下，学生将概念和直观感受联系起来，在模型化的过程中，推导各种解释和预测并产生知识的迁移，是发展几何直观的应用层次.

6. 归纳整理，学后反思

师：前面的每一个活动是如何完成的？在完成过程中遇到了哪些问题或困惑？你是如何解决的？还有哪些疑问或者需要解决的问题？

师生活动：学生发言归纳总结，教师基于学生的反馈，对整节课的学习过程进行梳理，包括知识技能，以及方法性知识和价值性知识.

【设计意图】学习之后的回顾与反思是非常重要的. 本节课中，图形的特征变化构成了学生对概念记忆的支撑过程. 学生将已有知识和现有概念或数学实验聚合在一起内化理解，实现真正意义上的学习，这样在之后有关内容的学习中，相关的记忆更容易被唤醒.

三、教学启示

人的认知发展具备阶段性，从感性认识的初级阶段，到理性思考的高级阶段，再到实践创新阶段，教师的教学应该遵循学生的认知发展规律，有序开展数学教学活动. 初中生的思维处于经验型逻辑思维阶段，辩证逻辑思维和创造性思维处在发展的关键期，仍然需要较多感性经验的支撑. 因此，数学实验活动中，教师可以先通过直观演示刺激学生初步形成感性认识，然后采用直观的实验操作深化学生的理性思考，最后引导学生对实验成果进行表达、输出和应用.

1. 动态演示指向几何直观的感性认识

相比于静态的、平面的实物或图像的直观演示，利用几何画板软件的动态演示更能直观刺激学生初步形成对几何图形的感性认识. 例如，对于“造桥选址”问题的讲授，在传统的教学中，教师一般只呈现静态的结果图示，导致学生常常不能理解如何找到最短路径，甚至很多学生上完课就忘记了解答过程. 数学实验注重实测和直观，让数学知识在实验的过程中实现“可视化”. 几何画板软件具有强大的交互性和动态图像生成功能，能将内容“动态化”呈现. 教师将学生对“造桥选址”问题的初步思考方案用几何画板软件进行动态展示，并利用几何画板软件生成路径的测量数据，有助于学生形成对几何对象、关系、变换等的直观和感性认识. 虽然由于自身认知和能力的局限性，学生最初的思考方案并不是正确答案，甚至与正确答案相差甚远，但正是这种试误的数学实验过程，让学生有了探索发现、不断尝试和猜想检验的机会. 学生逐渐能理解“从A地到B地的路径最短”的几何直观含义，并能将其用文字语言、图形语言和符号语言进行表达.

2. 折纸操作指向几何直观的理性思考

在直观操作的数学活动中，让学生经历完整的操作过程是积累理性思考经验的重要途径. 折纸是对实物或图形运动的动手操作过程，具有直观性，让学生体验将图形语言、文字语言、符号语言转化为图形的变换过程，在转化的过程中深化理性思考. 折纸操作中蕴含着丰富的数学思想方法，尤其是转化思想. 学生通过折纸发现了“造桥选址”问题和“将军饮马”问题的联系与区别，通过将两条直线折叠重合，成功将未知问题转化为已知问题. 在折纸的数学实验中，学生逐步转化数学问题，将对几何直观的感性认识提升为理性思考. 学生思考两条直线折叠、重合过程中的变与不变，发现两条直线的位置关系，以及折叠、重合过程中的平移变换，将问题抽象为两点在直线异侧求最短路径的数学模型，从而完成数学建模并最终解决问题. 折纸的数学实验有助于学生形成对几何直观的理性思考，不仅对学生数学思维能力的培养有着积极的促进作用，还可以提高学生学习数学的兴趣，对培养学生的团队精神、探究精神和创新精神，观察能力，以及分析问题和解决问题的能力也会起到积极的促进作用.

3. 几何作图指向几何直观的实践创新

实践创新与应用是能力形成的体现. 几何直观能力指对数学研究对象（空间形式和数量关系）进行直接感知、整体把握的能力. 本节课伊始，学生对“造桥选址”问题的多种试误，本质上是一种对几何直觉的感性认知. 通过几何作图教学能够引导学生进行有效的观察和思考，使学生在活动体验中不断进行逻辑推理，从而将几何直觉转化为几何直观素养.“造桥选址”问题要求学生通过逻辑推理和直观想象，通过数学抽象和数学建模将基本作图转化为实际问题的应用作图. 几何学是研究空间形式的科学，图形是其最主要的表征形式. 作图能力是学生几何直观素养的重要体现. 学生在探究“造桥选址”问题后，需要进一步增加应用知识的体验. 教师将“造桥选址”问题利用格点纸进行呈现，可以加深学生对平移转化的理解. 学生通过经历作图的数学实验过程，对几何直观素养进行“可视化”表达应用. 在作图中，学生将思维中对几何直观的理解转化为对数量关系和位置关系的理性思考. 变式作图则引导学生以原有认知和能力为基础，再次应用几何直观能力进行类比、迁移. 动手作图的数学实验中，学生运用几何直观能力进行数学抽象和数学建模，使智力活动潜能得到充分的启发、挖掘和释放，唤醒了学习的主体意识，促进几何直观素养的真正形成.

四、结束语

数学源于现实. 学生需要在“做中学”，以体会知识的内涵. 数学实验不仅适用于课题学习，也适用于诸如勾股定理、相似三角形、圆等知识的学习. 数学实验作为数学教学的内容与工具，能有效提升学生学习数学的兴趣，提高课堂教学效率. 作为教学内容，数学实验能引导学生发现学习数学的乐趣，使学生在课堂上进行实践操作、自主探索、合作交流. 作为教学工具，数学实验能促进教师的专业发展，自制教具或运用信息技术进行教学创新，改进课堂教学方式，丰富课堂教学形式.

高效的数学实验教学中，教师要遵循学生的认知发展规律，让学生动手实践、自主探索与合作交流，将多种恰当、合理、有序的直观形式相结合. 只有让学生经历动手操作与观察，并参与独立思考及合作探究的过程，方能显示数学实验的价值，从而培养学生的数学核心素养.

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部. 义务教育数学课程标准（2022年版）［M］. 北京：北京师范大学出版社，2022.

［2］史宁中，曹一鸣．《义务教育数学课程标准（2022年版）》解读［M］. 北京：北京师范大学出版社，2022．

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