综合训练（十六）

一、单选题

A. [{0，1，2，3，4}] B. [{0，1，3}] C. [{0，4}] D. [{1，3}]

2. 在复平面内，复数[z]满足[（1-i）z=1+i+（2i）2]，则复数[z]对应的点位于（ ）.

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

3.近[20]年来，黄金周给百姓的生活带来了巨大变化.不断增长的旅游需求，日益完善的旅游市场和四通八达的交通出行，让人们对黄金周热情不改.而随着社会老龄化程度的不断加深，老人出游人数也越来越多.据全国老龄办统计，国内游总人次中有两成是老年人.某旅行社在十一期间接待了大量的老年旅行团，旅行团人数的茎叶图（图1）和频率分布直方图（图2）都受到不同程度的破坏，可见部分如下（阴影部分为损坏数据），估算该旅行社团的平均人数和频率分布直方图中[[60，70）]的矩形的高分别为（ ）.

A. [75] [0.03] B. [75] [0.04]

C. [100] [0.03] D. [100] [0.04]

4. 从[10]名大学毕业生中选[3]人担任村长助理，则甲、乙至少有[1]人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为（ ）.

A. [28] B. [49] C. [56] D. [85]

7. 在棱长为[2]的正方体[ABCD-A1B1C1D1]中，[E]是[CD]的中点，[F]是[CC1]上的动点，则三棱锥[A-DEF]的外接球表面积的最小值为（ ）.

A. [10π] B. [11π] C. [12π] D. [13π]

二、多选题

9. 下列说法正确的是（ ）.

A. 甲乙两人独立的解题，已知各人能解出的概率分别是[0.5]和[0.25]，则题被解出的概率是[0.125]

B. 若[A]、[B]是互斥事件，则[P（A⋃B）=P（A）+P（B）]，[P（AB）=0]

C. 某校[200]名教师的职称分布情况如下：高级占比[20%]，中级占比[30%]，初级占比[30%]，现从中抽取[50]名教师作样本，若采用分层抽样方法，则高级教师应抽取[10]人

10. 已知函数[f（x）=2x+x]、[g（x）=log2x+x]、[h（x）=x2+log2x]的零点分别为[a]、[b]、[c]，下列各式错误的是（ ）.

A. [a<0<b<c] B. [a+b>0]

C. [2a+log2b>0] D. [2a>c2]

A. 当[n∈N+]时，[an<an+1]

B. 当[n∈N+]时，[bn>bn+1]

C. 当[n∈N+]且[n≥2]时，[an>b1]

D. 当[n∈N+]且[n≥2]时，[bn>a1]

三、填空题

16. 已知直三棱柱[ABC-A1B1C1]中，[A1B1=A1C1=2]，[BB1=3]，且[∠B1A1C1=90°]，若点[M]为[AB]中点，点[Q]为[A1C1]中点，且[B1N=2BN]，平面[MNQ]交底面棱[B1C1]于点[T]，且满足[TC1=2B1T]，则多面体[TNB1-MA1Q]的体积为 .

四、解答题

17. 已知[Sn]为等差数列[an]的前[n]项和，已知[a1+a2=-20]，[S2+S3=-47].

（1）求数列[an]的通项公式；

（2）求[Sn]，并求[Sn]的最小值.

（1）求证：平面[PAB⊥]平面[PBC]；

（2）求二面角[A-PC-B]的余弦值.

（1）求椭圆[C]的标准方程；

21. 已知[10]件不同的产品中共有[3]件次品，现对它们进行一一测试，直到找出所有[3]件次品为止.

（1）求恰好在第[5]次测试时[3]件次品全部被测出的概率；

（2）记恰好在第[k]次测试时[3]件次品全部被测出的概率为[f（k）]，求[f（k）]的最大值和最小值.

参考答案与解析

一、单选题

1．【答案】B

【解析】[U={x∈Z|0≤x≤4}={0，1，2，3，4}]，[A⋂B={2，4}]，

则[∁U（A⋂B）={0，1，3}]，故本题选B.

2．【答案】C

所以复数[z]对于的点为[（-2，-1）]，位于第三象限，故本题选C.

3．【答案】A

【解析】由茎叶图得，旅行团人数在[[50，60）]的频数为[2]，

由频率分布直方图可得，人数在[[50，60）]的频率为[0.1]，

在频率分布直方图中对应的高为[0.03]，可得频率分布表如下：

则平均人数为[55×0.1+65×0.3+75×0.25+85×0.2+95×0.15=75]，故本题选A.

4．【答案】B

【解析】依题意，丙没有入选，当甲、乙两人都入选的种数[C22⋅C17]，当甲、乙两人只有1人入选的种数[C12⋅C27]，

因此满足条件的不同选法的种数为[C22⋅C17+C12⋅C27=49]种，故本题选B.

5．【答案】B

6．【答案】A

7．【答案】D

【解析】作正方体[ABCD-A1B1C1D1]，以[D]为坐标原点，建立如图6所示的坐标系，

取[AF]中点[G]，则[G]为[ΔADE]的外接圆半径，过[G]作直线[l⊥]平面[ABCD]，

则三棱锥[A-DEF]的外接球球心[O]一定在[l]上，设其半径为[r]，

此时三棱锥[A-DEF]的外接球的表面积最小，最小值为[4πr2=13π]，故本题选D.

8．【答案】C

二、多选题

9．【答案】BCD

【解析】他们各自解出的概率分别是[0.5]和[0.25]，

若[A]、[B]是互斥事件，则[P（A⋃B）=P（A）+P（B）]，[P（AB）=0]，所以B选项对，

高级教师应抽取时[50×20%=10]人，则C选项对，

故本题选BCD.

10．【答案】BC

【解析】分别作函数[y=2x]、[y=log2x]、[y=-x]、[y=-x2]的图象如图7所示，

则[a]为[y=2x]与[y=-x]的图象交点的横坐标，

[b]为[y=log2x]与[y=-x]的图象交点的横坐标，

[c]为[y=log2x]与[y=-x2]的图象交点的横坐标，

由图象可知[a<0<b<c]，则A选项对，

又[y=2x]与[y=log2x]互为反函数，其图象关于[y=x]对称，

[y=-x]的图象也关于[y=x]对称，

则[a+b=0]，[2a+log2b=0]，所以B选项错，C选项错，

因为[2a+a=0]、[log2b+b=0]、[c2+log2c=0]，

则[2a=-a=b]、[c2=-log2c<-log2b=b]，

而[c2<2a]，则D选项对，

故本题选BC.

11．【答案】CD

故本题选CD.

12．【答案】ABD

三、填空题

13．【答案】[1]或[2]

得[C=60°]或[C=120°]，

当[C=60°]时，[A=90°]，[AB]边上的高为[AC=2]，

当[C=120°]时，[A=30°]，[AB]边上的高为[AC⋅sin30°=1].

14．【答案】[120]

【解析】 [f（m，n）=Cm6⋅Cn4]，

则[f（3，0）+f（2，1）+f（1，2）+f（0，3）=C36⋅C04+C26⋅C14+C16⋅C24+C06⋅C34=20+60+36+4=120].

【解析】延长[MN]、[A1B1]，设其交点为[P]，∵平面[MNQ]交底面棱[B1C1]于点[T]，

∴[M]、[N]、[T]、[Q]四点共面，连接[QP]，∴[QP]与棱[B1C1]相交于点[T]，

在[ΔA1B1C1]中，∵[∠B1A1C1=90∘]，[A1B1=A1C1=2]，

∴[∠A1B1C1=45°]，

∴[∠TB1P=135°]，∵[Q]为[A1C1]中点，∴[A1Q=1]，

四、解答题

17．【解析】（1）等差数列[an]中，设公差为[d]，

∵[a1+a2=-20]，[S2+S3=-47]，

∴当[n=6]时，[Sn]的最小值[-36].

18．【解析】如图9所示，建立平面直角坐标系，

则[A（200， 0）]、[B（0， 220）]、[C（0，300）]，

所以当此人距水平地面[60]米高时，观看铁塔的视角[∠BPC]最大.

19．【解析】（1）证明：∵点[P]在底面[ABC]上的投影为点[M]，∴[PM⊥]平面[ABC]，

∵[PM⋂BC=M]，[PM]、[BC⊂]平面[PBC]，

∴[AB⊥]平面[PBC]，

∴[AB⊥PB]，

∴[PB=BC]，∴[ΔPBC]为等腰三角形，

取[PC]的中点[Q]，连接[AQ]、[BQ]，得[AQ⊥PC]、[BQ⊥PC]，

∴[∠AQB]为二面角[A-PC-B]的平面角，

在[ΔABQ]中，由余弦定理得：

设[A（x1，y1）]、[B1（x2，y2）]，则[B（x2，-y2）]，

21．【解析】（1）若恰好在第[5]次测试时[3]件次品全部被测出，则第[5]次取出第[3]件次品，前[4]次中有[2]次是次品，[2]次是正品，则有[A13⋅C27⋅A44]种情况，

从[10]件产品中顺序取出[5]件，有[A510]种情况，

（2）根据题意可得[k]的范围是[3≤k≤9]，

当[3≤k≤6]时，若恰好在第[k]次测试时[3]件次品全部被测出，则第[k]次取出第[3]件次品，前[k-1]次中有[2]次是次品，[k-3]次是正品，

当[k=7]时，即恰好在第[7]次测试时[3]件次品全部被测出，有两种情况，

一是第[7]次取出第[3]件次品，前[6]次中有[2]次是次品，[4]次是正品，

二是前[7]次没有取出次品，此时也可以测出三件次品，

当[k=8]时，即恰好在第[8]次测试时[3]件次品全部被测出，有两种情况，

①第[8]次取出第[3]件次品，前[7]次中有[2]次是次品，[5]次是正品，

②前[7]次恰有[1]次次品，第[8]次取出为合格品，

当[k=9]时，即恰好在第[9]次测试时[3]件次品全部被测出，有两种情况，

③第[9]次取出第[3]件次品，前[8]次中有[2]次是次品，[6]次是正品，

④第[9]次取出第[3]件正品，前[8]次中有[2]次是次品，[6]次是正品，