巧用构造函数法证明不等式

不等式证明问题的命题形式多种多样，解法也很多.在解题时，我们要善于从不同的角度对不等式进行变形、构造，采用不同的技巧来将已知关系式与目标式关联起来，以达到证明不等式的目的.

对于较为复杂的不等式，如含有指数式、对数式、幂函数式、根式的不等式，通常可以先将不等式进行适当的变形；然后将其一侧或两侧的式子构造成函数；再根据导函数与函数单调性之间的关系，复合函数单调性的判断法则：同增异减，来判断出函数的单调性；接着根据函数的单调性来比较不等式左右两侧式子的大小，或证明函数的最值小于或大于0，就能证明不等式.

例1.已知函数[f（x）=aex+2x-1]，求证：对于任意[a≥1]，当[x>0]时， [f（x）≥（x+ae）x].

当[a≥1]时，[aex-x-1≥ex-x-1].

令[h（x）=ex-x-1]，则当[x>0]时，[h（x）=ex-1>0]，

所以当[x>0]时，[h（x）]单调递增，则[h（x）>h（0）=0]，所以[aex-x-1>0].

所以当[0<x<1]时，[g（x）<0]；当[x=1]时，[g（x）=0]，当[x>1]时，[g（x）>0].

则[g（x）]在[（0，1）]上单调递减，在[（1，+∞）]上单调递增.

例2.求证：[xelnx-ex≤ex-2ex].

则[f（x）]在[（0，1）]上单调递增，在[（1，+∞）]上单调递减，则[f（x）max=f（1）=-e].

当[0<x<1]时，[g（x）<0]，则[g（x）]单调递减；当[x>1]时，[g（x）>0]，则[g（x）]单调递增，所以[g（x）min=g（1）=-e].

所以当[x>0]时， [f（x）≤g（x）]，故[xelnx-ex≤ex-2ex].

例3.求证：当[x∈（0，+∞）]时，[ex-2>lnx].

证明：由[ex-2>x-1]可得[ex-x-1>0（x>0）].

设[g（x）=ex-x-1（x>0）]，则[g（x）=ex-1]，

所以[g（x）]在[（0，+∞）]上单调递增，

故[g（x）>g（0）=0]，即[ex-2>x-1]①.

令[ϕ（x）=x-1-lnx]，

所以[ϕ（x）]在[（0，1）]上是减函数，在[（1，+∞）]上是增函数，

则[ϕ（x）min=ϕ（1）=0]，即[x-1-lnx≥0]，则[x-1≥lnx]②.

由①②可得[ex-2>lnx]，

则当[x∈（0，+∞）]时，[ex-2>lnx].

解答本题，需根据重要函数不等式[x-1≥lnx]，[ex≥x+1]来放缩不等式；然后构造函数[g（x）=ex-x-1（x>0）]、[ϕ（x）=x-1-lnx]，进而利用导数法求得两个函数的最值，从而证明不等式.

运用构造函数法证明不等式，往往需根据不等式的性质对不等式进行合理的变形，以构造出合适的函数模型.一般地，将便于求得最值的式子放在不等式的一侧，并构造成函数模型.在构造出函数后，往往要将问题转化为函数最值问题来求解.（1）若要使[f（x）>0]，只需使[f（x）min>0]；（2）若要使[f（x）<0]，只需使[f（x）max<0]；（3）若要使[f（x）<g（x）]，只需使[f（x）max<g（x）min]；（4）若要使[f（x）>g（x）]，只需使[f（x）min>g（x）max]，即可确保不等式成立.