运用错位相减法求和的步骤解析

错位相减法是一种重要的数列求和方法.若数列[an]为等比数列、数列[bn]为等差数列，则数列[anbn]较为复杂，很难采用常规方法进行求和，往往需灵活运用错位相减法来求数列的前n项和.

设数列[an]是首项为[a1]、公差为[d]的等差数列，数列[bn]是首项为[b1]，公比为[q（q≠1）]的等比数列.运用错位相减法求数列[anbn]的前[n]项和[Sn]的步骤为：

（1）列出数列的前[n]项和[Sn=a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn]①；

（2）在①式的两边同时乘以数列[bn]的公比[q]，得：[qSn=a1⋅qb1+a2⋅qb2+a3⋅qb3+…+an⋅qbn]，由[qbk=bk+1]得：[qSn=a1b2+a2b3+…+an-1bn+anbn+1]②；

（3）将①②两式错开一位，使指数相同的项对齐并相减，得：

[（1-q）Sn=a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn-（a1b2+a2b3+…+an-1bn+anbn+1）=a1b1+（a2-a1）b2+（a3-a2）b3+…+（an-an-1）bn-anbn+1]；

（4）因为数列[an]是公差为[d]的等差数列，故[ak-ak-1=d]，可得：

[1-qSn=a1b1+db2+db3+…+dbn-anbn+1]

[=a1b1+db2+b3+b4+…+bn-anbn+1]

[=a1b1+db1q+b1q2+b1q3+…+b1qn-1-anbn+1]；

（5）由等比数列的前n项和公式可得：

运用错位相减法求和的运算量较大，且运算过程较为繁琐，同学们在计算时需谨慎.

例题：设数列[an]的前[n]项和为[Sn]，且[a1=1，an+1=2Sn+1].

（1）求数列[an]的通项公式；

（2）设[cn=（2n-1）⋅an]，求数列[cn]的前[n]项和[Tn].

解：（1）因为数列[an]的前[n]项和为[Sn]，

由[an+1=2Sn+1]可得[an=2Sn-1+1n≥2]，

将上述两式相减得[an+1-an=2Sn+1-2Sn-1+1=2an]，

整理得[an+1=3ann≥2].

当[n=1]时，由[an+1=2Sn+1]可得[a2=2S1+1=2a1+1=3=3a1]，

所以[an+1=3ann≥1]，

所以数列[an]是以1为首项，3为公比的等比数列，

所以数列[an]的通项公式为[an=3n-1].

（2）由（1）可知[cn=（2n-1）⋅an=（2n-1）⋅3n-1]，

所以[Tn=1×30+3×3+…+（2n-1）×3n-1]①，

可得[3Tn=1×3+3×32+…+（2n-3）×3n-1+（2n-1）×3n]②，

将①式-②式，得：

可见，运用错位相减法求数列的前n项和，关键在于将[Sn]与[qSn]的表达式作差，以便根据等差数列的性质：[ak-ak-1=d]，以及等比数列的前n项公式来求和.同学们在求解复杂的数列求和问题时，要学会运用转化思想，将问题转化为常规数列问题，以直接运用等差和等比数列的性质、通项公式、前n项和公式来求得问题的答案.