求解立体几何最值问题的两种路径

常见的立体几何最值问题有求几何体的体积、面积、周长、边长的最值.这类问题对同学们的空间想象与逻辑推理能力的要求较高.本文主要介绍求解立体几何最值问题的两种路径.

一、运用向量法

有时，我们根据几何体的结构特征很容易找到或作出三条互相垂直且交于一点的直线，可将其作为坐标轴，构造出空间直角坐标系.再用向量表示出各点、线段、平面，即可通过向量的坐标运算求得目标式；然后利用三角函数的性质、基本不等式来求目标式的最值.

例1.如图1所示，四棱锥[P-ABCD]的底面[ABCD]是一个正方形，若[PD⊥ABCD]，点[Q]在平面[PAD]与平面[PBC]的交线[l]上，[PD=AD=1]，求直线[PB]和平面[QCD]所成角的正弦值的最大值.

解：因为底面[ABCD]是正方形，[PD⊥ABCD]，所以[PD⊥AD，PD⊥CD]，[AD⊥CD]，以D为原点建立如图1所示的空间直角坐标系，由题意可得点[P0，0，1]，[B1，1，0]，[C0，1，0]，[D0，0，0].

由题意可知直线[l⊥]平

根据题目中的直线、平面之间的关系，我们很容易找到三条互相垂直的直线AD、PD、DC，便可将其视为坐标轴来建立空间直角坐标系.然后通过向量运算求得直线[PB]的方向向量和平面[QCD]的法向量，即可根据夹角公式求得[sinθ]的表达式；再利用基本不等式求得[sinθ]的最大值.

二、将问题转化为平面几何最值问题

在解答立体几何最值问题时，我们通常可以运用转化法，将几何体平铺展开为平面几何图形，将立体几何最值问题转化为平面几何最值问题.还可以通过添加辅助线，将问题转化为求某个平面几何图形的面积、周长的最值，某条线段的最值，某个角的最值等.再利用正余弦定理、三角形的性质、平行四边形的性质等平面几何知识来求最值.这样就可以将复杂的问题变得简单、明了.

例2.如图2，在正三棱柱[ABC-A1B1C1]中，[AA1=AB=2]，[D]在线段[A1C]上，[E]为线段[A1B]的中点，求[（AD+DE）2]的最小值.

将[ΔA1BC]翻折到[ΔA1AC]所在的平面上，即可将立体几何最值问题转化为平面几何最值问题.再在平面[A1ACB]内，根据点、线之间的位置关系，利用勾股定理、正余弦定理建立关系式；然后根据公理：三角形的两边之和大于第三边来建立不等式，进而求得[（AD+DE）2]的最小值.

总而言之，解答立体几何最值问题，要根据几何体的特征，添加合适的辅助线，以将问题转化为平面几何最值问题，根据平面几何知识找寻目标式取得最值的情形，或构建空间直角坐标系，将问题转化为向量最值问题来求解.