谈谈解答椭圆最值问题的两种途径

椭圆最值问题常涉及线段、角度、参数、直线的斜率等.我们往往需灵活运用数形结合思想、转化思想、函数思想、方程思想来辅助解题.本文将结合几道典型例题，谈一谈解答椭圆最值问题的两种途径.

一、运用基本不等式

基本不等式是解答最值问题的常用工具.在解答椭圆最值问题时，我们可以先根据题意建立变量之间的关系式；然后通过等量代换，将目标式用某一个或两个变量表示出来；再通过凑系数、添项、去项等方式配凑出两式的和或积，只要确保“一正、二定、三相等”的三个条件成立，就能根据基本不等式求得最值.

解：过点[C]作[CE⊥x]轴，垂足为[E]，则[ΔOBF]∽[ΔECF].

解答本题，需先根据题目中的几何关系建立关系式，求得[|AC|]以及点[P]到直线[AC]的距离；然后根据三角形的面积公式求得[ΔAPC]与[ΔABC]的面积，进而求得四边形[APCB]面积的表达式；接着将含有变量的式子[x0+2y0]平方，根据基本不等式[a2+b2≥2ab]求得[x0+2y0]的最大值，即可求得四边形[APCB]面积的最大值.

二、利用三角函数的性质

在求解椭圆最值问题时，我们可以先根据椭圆的参数方程、直线的参数方程，用某个角去表示出椭圆的方程、直线的方程、椭圆上的点、直线上的点；然后根据两点间的距离公式、点到直线的距离公式等求得目标式；再将目标式视为三角函数式；接着通过三角恒等变换化简函数式，便可直接根据正弦、余弦、正切函数的单调性和有界性求得最值.

我们先根据椭圆的参数方程设出M的坐标，即可用角[θ]表示出[|BM|2]；然后将其化简为关于[sinθ]的平方式，便可根据[sinθ]的取值范围，直接利用正弦函数的有界性和二次函数的性质求得最值.

可见，解答椭圆最值问题，需先灵活运用解析几何知识求得目标式；然后将目标式视为函数式，将问题转化为函数最值问题，再利用基本不等式、三角函数的性质来求得最值.