渗透数学思想 提升核心素养

《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出：数学课程要培养学生会用数学的眼光观察现实世界、会用数学的思维思考现实世界、会用数学的语言表达现实世界。可见，数学眼光、数学思维和数学语言是构成学生数学核心素养的三大方面。史宁中教授将数学基本思想归结为抽象、推理、模型三个要素，正好对应核心素养的三大方面：抽象即通过观察客观世界中数量关系和空间形式进行概括从而发现本质规律，推理就是对观察到的现象与规律进行合乎逻辑的分析与理解，模型则是建立在抽象与推理基础之上的应用形式和方法。下面笔者以执教“平行四边形的面积”的课堂教学为例来谈对数学思想渗透与核心素养培养的一些思考。

一、问题驱动，在观察中渗透抽象

“问题”是数学的心脏，不断促进学生深入思考。数学问题是促使学生萌发学习动机、激发学习兴趣的肥沃土壤。例如，教学“平行四边形的面积”时的导入环节，教师可从比较两个不同形状图形的大小问题（如图1所示）开始导入。

学生发现平行四边形的面积无法求出。回溯面积的概念，联想到用数方格的方法求面积，在数方格的过程中，学生用到了两种不同的观察方法：

生1：我是先数完整的方格，然后再把不完整的两个拼起来，拼成一个方格。完整的有12个，面积就是12平方厘米；半格的有6个，面积就是3平方厘米；面积一共是15平方厘米。

生2：把左边的三角形搬到右边，就变成一个长方形，根据长方形面积的求法，这个长方形的面积是6×3=18（平方厘米）。

这时候教师用课件演示后指出像第二个同学所说的这样先剪后拼的过程叫做平移，同时提出新的数学问题：还有一个平行四边形（如图2所示），用哪一种方法最方便求出它的面积？

学生通过观察，发现这个平行四边形中除了整格之外还有半格的，直接数格子的方法很麻烦；用平移的方法求面积更方便。教师在学生运用平移得出长方形面积后，引导学生观察这个长方形的面积也就是原来平行四边形的面积，并适时指出：像刚才这样把不好数的平行四边形转变成方便数格子的长方形来研究的方法在数学里叫做转化。

转化思想是数学学习中的一个重要思想，学生在教师精心设计的问题驱使下，把不易解决的“数”平行四边形方格问题转化成已经学过的长方形面积来计算，问题的解决自然水到渠成。学生在观察、思考、交流中发现平行四边形和长方形之间的等积关系，抽象意识和转化思想正悄然生长，为后续探究平行四边形面积的计算方法做好铺垫。

二、亲历体验，在思考中助力推理

多元智能理论要求学生不再盲目接受和被动记忆所学知识，只有经过自己动手操作、亲身体验之后所获取的知识才是终生难忘的。但是基于小学生的年龄特点，那些没有引导和目标不清的操作与体验都是低效的。

例如，在“平行四边形的面积”教学中的探究环节，推导平行四边形的面积计算公式是关键，教师在学生初识“转化”的基础上，质疑：“是不是所有的平行四边形都能转化成长方形呢？”学生在肯定与不确定之间困惑时引发思考，议论纷纷并用手比画着；教师继续引导：剪完之后要能拼成一个长方形，那么长方形跟平行四边形最大不同又是什么呢？有学生脱口而出“长方形有四个直角，而平行四边形只有锐角和钝角”“沿高剪开可以制造长和宽”“可以直接制造直角”……怎样剪开？为什么这样剪？这些有针对性的数学问题最能激发学生思维的火花，课堂教学中的层层追问，让学生能够更加胸有成竹地动手画一画、剪一剪、拼一拼，有效促进学生的推理和探究。

下面是学生在动手操作之后的汇报展示环节。

生1：先画出平行四边形的高，然后沿着高这条虚线把它剪下来，将一边三角形移到另一边，刚好拼成一个长方形。

生2：先画出平行四边形的高，然后沿着高这条虚线剪开，然后就会变成一个三角形和一个梯形，再把这个直角三角形放到这里，就变成一个长方形。

师：有没有不同的剪法？

生3：先画出平行四边形的高，再沿着虚线剪下来，就变成两个相同的直角梯形，然后再把其中一个直角梯形拼到这就成了一个长方形。

师：他刚才和前面那个同学最大的不同是什么？

生4：画高的地方不同。前两个同学都是从顶点画高，而他是从边的中间开始画高。

师：那这样画高可以吗？只能从顶点或者中点剪开吗？

生（七嘴八舌）：随便哪个点都行。

师：从顶点或边上随便哪个点都可以，在数学上用一个词……

生（齐）：任意。

师：对，从任意一点沿高剪开，平移后可以转化成一个长方形。

师：请你认真观察，仔细思考，同桌互相交流。

（1）想一想，转化后什么变了？什么不变？

（2）在拼成的长方形上找一找原来平行四边形的底和高。

转化思想的掌握与运用仅仅停留在知道“转化”的名称或“转化就是把新知识变成旧知识”是不够的，只有让学生经历转化的思维过程并循序渐进地形成比较固定的思维模式，才能在今后的学习过程中自觉地运用到其他数学推理中去。充分的观察思考与合作交流是引导学生主动体验转化思想的重要途径，同伴间的互动交流特别有利于学生用数学的思考进行质疑、推理、反思，从而顺利推导出平行四边形的面积公式。学生在动手做、动脑想、动口说的体验过程中获得推理的实践与思维的成长。

三、拓展应用，在表达中巩固模型

数学模型是对数量关系和空间形式进行抽象概括的产物，建立模型是用形式化的数学语言来描述数学现象的过程。例如，教学“平行四边形的面积”时的练习环节，学生已经初步建立了平行四边形面积公式模型，这时教师精心设计一些课堂练习，有意识地培养学生用数学的语言去进一步构建和巩固模型，并从中获得成功的喜悦，提升数学应用能力。

在基础练习环节中，教师要求学生口算下面（如图3所示）每个平行四边形的面积。

教师逐一出示题目，学生完成前面两题时，都能应用公式快速口算出图形的面积。但在完成第3小题时（已知条件为不对应的底和高），部分学生在思维定式的影响下脱口而出“5×4=20（dm2）”，这时引发了争议，学生的表达是这样的：

生1：不能用5×4=20（dm2）求面积，因为4 dm不是5 dm这条底边上的高，所以求这个图形的面积不能用5×4来计算。

师：5 dm是不是平行四边形的一条底边？4 dm是高吗？

生2：4 dm是高，但不是5 dm这条底边上的高，它是4.5 dm这条底边上的高。

生3：4 dm这条高与5 dm这条底边，不是相对应的高和底。

师：太棒了！那为什么一定要用到相对应的底和高呢？

（学生沉默。）

师：能不能从公式推导的过程想起呢？

生4：因为刚才把平行四边形转化成长方形后，长方形的长就是原来的底，宽就b6xx29AtlBYxIC7wgSu8KQ==是原来的高，长方形的面积等于长乘宽，所以平行四边形的面积等于底乘高。

师追问：对啊，底乘高，所以用5乘4就可以了呀？

（安静下来，教师在黑板上用手势比画引导。）

生5：那长和宽会垂直，这里的底和高不垂直。

生6：要“对应”才会互相垂直。

教师的质疑、同伴的争论、独立自主的思考和有理有据的表达，抽丝剥茧、层层递进，从懵懂到清晰，知识模型的构建在不断破与立的思辨中得到巩固与深化。

练习环节中，教师还呈现了一道题：明明家想购买一个汽车停车位，小区里有以下两种不同形状的车位（如图4所示），你建议他们家买哪一种？说说你的理由。

基于生活情境的数学问题，使原本枯燥抽象的数学更加贴近学生的实际生活，更能激发学生用数学语言表达问题、用数学方法解决问题。学生在解决这个问题时都能从生活实际出发，有的建议“买长方形的车位，直直的好停车”，有的建议“买平行四边形的车位，它的面积会小一点儿，总价应该会低”。这时就需要结合本节所学的数学知识，用数学语言表达现实世界中的“购买车位”问题。学生运用公式模型比较两个图形面积时发现“底边都是2.8 m，长方形的高是6 m，平行四边形的高不到6 m……”，教师追问：“你怎么知道它的高不到6 m？”有思维敏捷的学生回答“它的斜边是6 m，那高一定比6 m短呀。”教师为让全体学生都能感悟到准确的数学结论，安排同桌间交流和运用长方形框架演示环节，让学生直观地发现：从长方形到平行四边形，底不变，高变小，面积也随着变小。

数学学习的目的在于应用，增强数学应用意识，培养学生数学应用能力，是素质教育的重要内容，也是数学教学的任务之一。因此，教师在教学中要培养学生把实际问题转化为数学问题、从实际问题中抽象出数学问题的能力，增强学生的应用意识，使学生善于用数学的语言表达和解决现实生活当中的问题，进一步建构和巩固大脑中的数学模型，不断提升自己的数学素养。

四、总结

数学源于对现实世界的抽象，通过对数量关系和空间图形的抽象、推理、构建模型，形成数学的结论和方法，帮助人们观察、思考和表达现实世界的本质、关系和规律。数学素养是学生未来生活必须具备的基本素养，是综合运用各种数学思想创造性地解决实际问题的一种能力。数学教学要培养学生从数学角度观察世界的习惯与意识，学会合乎逻辑地探究现实中的数学规律、欣赏数学语言的简洁与优美，养成用数学语言进行表达与交流的习惯，提升数学核心素养。

（作者单位：1.福州市钱塘小学屏北分校；2.福州市温泉小学）

编辑：孙守春