微积分建模与Origin软件模拟在中学物理试题命制中的研究

摘" 要：本文通过微积分建模和Origin软件模拟对中学物理试题情境的合理性进行了研究，包括判断题干信息是否恰当以及探讨理想化处理的前提条件。将以微积分建模与Origin软件模拟为代表的数学物理方法运用在试题命制中，能够提升试题的科学性、答案的引导性与情境的合理性。

关键词：微积分；模型建立；Origin；计算机模拟；数学物理方法

基金项目：本文系南京市教育科学“十四五”规划项目“AI技术用于初中物理实验教学的实践研究”（课题编号：L/2022/018）的阶段性研究成果。

物理学习是一个由浅入深、由特殊到一般的攀登过程。由于中学生的知识储备、理解能力、逻辑思维仍处在成长阶段，教师在试题命制时就需要以学生的认知水平为依据。［1］在实际过程中，参数的不当设置会导致物理意义丢失，理想情境下得到的答案可能会和生活实际存在一定偏差……这些问题都会潜移默化地误导学生的认知。［2］为解决该问题，教师应掌握相应的数学物理方法以还原真实情境。在本文中，笔者以未浸没球体浮力的计算、空气阻力对运动的影响两个问题为例，运用微积分建模并辅以Origin软件模拟展开讨论。

1" 对一道浮力图像题的分析与思考

1.1" 原题情境呈现

如图甲所示，水平面上有个质量为2.5 kg、底面积为0.25 m2的正方体水槽，水槽内有一个实心球。逐渐往水槽内加水，球对水槽底部的压力F与水深h的关系如图乙所示，水深h＝7 cm时，球刚好有一半体积浸入水中（不考虑水槽厚度，水的密度ρ水＝1.0×103 kg/m3，g取10 N/kg）。

1.2" 题目分析

当水槽中水的深度h＝0cm时，球对水槽底部的压力恰好等于球的重力，有F|h＝0＝G＝12.92 N，即球的质量m球＝1.292 kg。

根据题意，当水深h1＝7 cm时，球有一半体积浸入水中。由于球对水槽仍有压力，说明此时球与容器底部直接接触。由题可知球的半径r＝7 cm，体积与密度分别为

V球＝43πr3≈1.437×10－3 m3；①

ρ球＝m球V球＝1.292 kg1.437×10－3 m3≈0.9×103 kg/m3。②

由ρ球＜ρ水可知，球最终会处于漂浮状态。末状态确定后，根据二力平衡F浮＝G，将数据代入，解得漂浮时排开水的体积为

V排＝1.292×10－3 m3。③

V排是实心球在水下的体积，它对应的深度h2又是多少？从图乙可知，h2＝10 cm，但这是问题的真相吗？笔者尝试用微积分计算此时球浸没在水中的实际深度。

以球心O为原点建立空间直角坐标系，在距球心h处作一半径为l、厚度为dh的圆柱体（见图1），其几何关系满足

h2＋l2＝r2（－r≤

h≤h0），④

其中r为球的半径，h0为球心O到水面的距离。

∫h0－r

作为体积元的圆柱体满足

dV＝πl2·dh。⑤

下面对dV从－r～h0进行定积分，可得球在水面下的体积

V＝∫h0－rdV＝∫h0－rπl2·dh＝∫h0－rπ（r2－h2）·dh＝πr2h0＋23πr3－13πh30。⑥

将r＝7 cm、V＝V排＝1.292×10－3 m3＝1292 cm3代入⑥式，得到关于h0的一元三次方程

1.047 h30－153.86 h0＋574＝0（π取3.14）。⑦

这样的方程不易求出根的解析表达式，可以借助Origin软件进行模拟。

1.3" 模拟与分析

首先在［－7，7］的区间内绘制关于h0的一元三次函数（见图2），即

f（h0）＝1.047h30－153.86h0＋574。⑧

作出y＝0（直线），二者相交于h0＝4.25 cm处，说明h0＝4.25 cm是该一元三次方程在［－7，7］区间内的解（见图2）。

由此得出结论：球心O到水面的距离为4.25 cm，即球浸没在水中的实际深度为

h＝r＋h0＝7 cm＋4.25 cm＝11.25 cm。⑨

由于11.25 cm＞10 cm，即当球正好漂浮时，其浸没在水中的深度超过了水槽中水的深度，这显然是矛盾的，因此教师有必要对题目进行修改。从简洁性出发，上述原题图乙中F-h图像中的两个特殊点（0 cm，12.92 N）和（7 cm，5.74 N）用于计算球的质量、体积与密度，并进一步分析球的受力情况与运动状态，将最后一个特殊点对应的h＝10 cm改为h＝11.25 cm无疑是最合适的。

2" 空气阻力理想化处理的条件探讨

当研究力对物体运动状态的影响时，题目中无论是对物体进行受力分析还是求解速度或路程的变化，往往都不考虑空气阻力。但这一理想化处理是对任何情境都适用，还是需要满足某些前提条件呢？为了解决该问题，本文首先假设物体所受的空气阻力fA与速度平方v2成正比，并且物体以初速度v0分别在光滑水平面和动摩擦因数为μ的粗糙水平面上运动。笔者运用微分方程推导出相应的表达式、借助Origin软件模拟，最终得出结论。

2.1" 光滑水平面

将空气阻力fA＝－kv2代入牛顿第二定律，并化为微分方程形式，即

mdvdt＝－kv2，B10

将初始条件t＝0时v1＝v0，代入并求解，可获得任意时刻速度

v1＝mv0kv0t＋m，B11

再对时间进行积分，并代入初始条件t＝0时s1＝0，可得路程

s1＝mklnkv0t＋mm。B12

2.2" 粗糙水平面

根据牛顿第二定律有相应的微分方程

mdvdt＝－μmg－kv2，B13

将初始条件t＝0时v2＝v0代入，解得

v2＝μmgktan－μgkmt＋arctankμmgv0，B14

对时间积分并将初始条件t＝0时s2＝0代入，可得

s2＝mklncosμgkmt＋kμmgv0sinμgkmt。B15

2.3" 模拟与分析

当物体仅受空气阻力时，根据B12式可知其总路程是发散的，所以本文选择v-t图像进行研究。为了让结果更具有实际意义，笔者分别模拟了空气阻力系数k＝0.3的条件下，质量为0.1 kg、1 kg、10 kg且初速度分别为0.1 m/s、1 m/s、5 m/s的物体的运动情况，根据模拟结果（见图3），可以得出如下结论：①对于质量相同的物体，初速度越大，速度的衰减越明显；②对于初速度相同的物体，质量越小，速度的衰减也越明显。

模拟的物理意义在于，无论是实验室教学还是试题编写，如果想将某一段运动近似看作匀速直线运动，可以让质量较大的物体以较小的初速度运动，这样可以使得在较短的时间内的结果更理想化；或者让质量大的物体以较大的初速度运动，一段时间后也可近似为匀速直线运动。

当物体同时受摩擦力与空气阻力时，可以直接研究其运动路程与初速度的关系。笔者依然选择质量为0.1 kg、1 kg和10 kg的物体作为研究对象，动摩擦因数μ＝0.3，空气阻力系数k＝0.3，重力加速度g取10 m/s2。本文分别模拟了不考虑空气阻力和考虑空气阻力时

运动路程s与初速度

v0的关系（见图4）。

由图可知：①当初速度小于2 m/s时，多条曲线重合度较高，说明此时物体的运动可近似视作只受摩擦力作用的匀变速直线运动；②当初速度大于5 m/s时，不考虑空气阻力的曲线与其他三条曲线间出现明显的差值，且物体质量越小、差值越大，说明此时空气阻力对物体运动的影响不可忽略，且对质量较小物体的影响更明显。［3］

模拟的物理意义在于，无论是“探究阻力对物体运动的影响”，还是对匀变速直线运动的研究，由于研究对象的质量不会很大，这就要求初速度一定要小，这样才可以有效减小空气阻力的影响，进而观察到较为理想的现象。

3" 结语

研究物理问题时，教师除了要关注题目内部核心考点的渗透性与参考答案的引导性以外，还要关注题目本身情境设置的物理性与科学性。这就需要教师掌握以科学建模和软件模拟为代表的一类数学物理方法，并将其运用到实际中，使试题变得更加严谨，从而在潜移默化中培养学生严谨务实的科学思维。

参考文献

［1］胡道成.问渠那得清如许" 为有源头活水来——谈编写物理原创试题的一些取材途径及关键问题［J］.教学考试，2018（13）：71-74．

［2］任少铎.2021年中考物理试题中的几种典型错误分析［J］.物理通报，2022（11）：137-139，161．

［3］王振鑫，苏文斌，时彦朋.探究空气阻力对球体斜抛运动的影响［J］.科技风，2023（8）：163-165．