突破思维定式，实现深度学习

通过学习人教版数学二年级下册教材第二单元“表内除法（一）”，学生对“平均分”已经具备一定认知经验和知识储备，并学会用表内除法解答“平均分”问题。第四单元“表内除法（二）”继续深化学生对“平均分”的认识，解决平均分若干个物体正好分完的情况。但是在现实生活中，并不是所有的情况都能通过“平均分”将物体正好分完，有时还会剩下一部分物体不够“正好分完”，剩下的这部分就是数学概念“余数”的生活化展现。为了帮助学生将数学学习与生活经验建立链接，人教版二年级下册第六单元第58页例题1呈现了生活中常见的“摆小棒”的真实情境，先引导学生摆一摆“正好分完”和“有剩余”的情况，所有的小棒正好摆完和有剩余，摆成若干个三角形。在本节课教学中，教师组织学生完成操作，既锻炼他们的小组合作能力，又有利于他们相互交流，同时，使学生切身感受经过“平均分”之后，有时“正好分完”，有时会有剩余。第59页例题2，通过改变被除数的方式，让学生感受余数不同的除法算式，根据有剩余的几种情况，列出除法算式。通过一系列操作活动和列式计算，突破“正好分完”的思维定式，深化对“余数”概念的认识，进而实现深度学习。

一、教学目标

1.完整经历平均分后有剩余的操作活动，并能抽象出有余数除法算式，主动将有余数除法和生活原型建立联系，理解有余数除法的内涵；并能准确读写有余数除法的算式。

2.在列出有余数除法的基础上，观察每道算式的除数和余数，总结余数小于除数的规律。

3.小组合作、完成“摆一摆”，讨论交流形成有余数除法的过程，实现深度学习。

二、教学准备

长度、粗细均匀的小木棒若干份，小正方形纸片若干份。

三、教学过程

（一）创设真实情境，引出新授知识

1．链接生活经验，调取已有知识

谈话导入：同学们，老师这里有9根小木棒，如果要将这些小棒摆成三角形，我们可以怎么摆？请先拿出准备好的小棒摆一摆，然后在小组内交流。

学生动手摆小棒，教师给予必要指导。

学生展示操作成果（见图1）。

摆一个三角形用3根小棒，9根小棒摆出三角形的个数就是9÷3=3（个）。

［设计意图：学生已经学习了本册教材的第二单元“表内乘法（一）”，对“平均分”已经有了初步认识。基于以上认知基础，教师调取了能够除尽的除法的知识经验，为引出有剩余的状况做好了铺垫。］

2.打破思维定式，引出新知学习

继续谈话引导：将9根小棒平均分，摆成三角形，每个图形用3根小棒，正好拼成3个三角形，但是老师这里有10根小棒，那么可以摆成几个三角形呢？

引导：10根小棒，摆1个三角形用3根，你会怎样摆呢？请同学们动手摆一摆，看看会出现什么结果。

摆完后，以小组为单位展示自己的摆法。在摆的过程中，学生可能会有疑惑，预设以下引导：

思路一：

提出问题：说出你摆小棒的过程。（10根小棒，摆1个三角形用3根，可以摆出3个三角形，还剩1根小棒。）

思路二：

提出问题：你是按上面的思路分的吗？

再追问：同学们如果遇到上面的情况，你还会取出其中的3根再摆出1个三角形吗？

3．辨析对比，体会差异

对比：请同学们对比以上两种思路，你从中有什么感悟？

教师总结：在第二单元“表内除法（一）”的学习中，我们明白了什么是“平均分”，也就是将一些物体分成若干份，每份都相等，而且是正好分完，没有剩余；但是今天我们学习的“平均分”，是分完以后还有剩余。我们怎样用算式来表示平均分以后有剩余的情况？这就是本节课要研究的问题。

（设计意图：在平时学习过程中，学生经常会因为认知水平的局限带来许多学习障碍，正常的思维活动也会“断层”。本节课新授知识出现了平均分后有剩余的情况，容易导致学生思维断层。因此，在创设问题情境时，要基于学生真实的认知水平，在思维断层的连接点提出问题，并分两种情况讨论，也是为后续的“余数要比除数小”的学习做好铺垫。）

（二）动手实践，探究有余数除法

1.初步感知“平均分”的不同情况

提出问题：10根小棒，用小棒摆出三角形，同学们展示了两种思路，请大家重新回顾自己的思路，并拿出准备好的小棒动手摆一摆，并填写记录单上的内容。

记录单：10根小棒，用小棒摆出三角形，可以摆成（ ）个三角形，剩余（ ）根小棒。

学生汇报操作结论，并利用投屏动态展示摆小棒的过程，同时填写表1。

2．练习书写有余数的除法算式

教师引导：如表1所示，当摆完3个三角形后，仍然有剩余，但不能再继续摆，我们可以用除法算式来表示。请同学们尝试列出除法算式，学生列算式。

学生汇报列出的算式。

10÷3=3（个）……1（根）。

理解算式含义：同学们观察算式，3个指的是什么？1根指的是什么？

强调：当我们平均分若干物体时，会出现有剩余的情况，而且也能够用除法算式表示，列出的除法算式就是有余数的除法。以上面的例题为例，“1”根中的“1”就是余数，表示摆完三角形后，还剩下1根小棒。

布置任务：读出上面的除法算式，同桌相互提问，说出除法算式每部分的名称。

（设计意图：通过放手让学生亲自摆一摆，切身感受平均分后有剩余的情况，并尝试列出除法算式，为学生创造了自由发挥的空间，引导学生用自己的方式创造，有利于突破“凡是除法就是平均正好分完”的思维定式，具身认识有余数除法的意义。）

3．进一步深化对有余数除法的认识

引导学生思考：根据你列出的除法算式，能不能完整地说一说算式的含义？（10表示10根小棒，除数3表示摆1个三角形需要3根小棒，商3表示摆出了3个三角形，余数1表示剩下1根小棒。）

进一步深化认识：我们手中有10根小棒，如果换成正方形，也会有剩余，那么应该怎样列出除法算式呢？请同学们尝试列出算式，并说出各部分的含义。

（三）依托实例，理解余数小于除数

1．圈出分组，填写结果

有11个菠萝，每5个装一篮，能够装 篮，还剩下 个。

列出算式：11÷5=2（篮）……1（个）

学生先按照题目要求分组，并圈出来，再在横线上填空，并列出算式。

2.拓展实例，列出列式

引导思考：在上面的例题中，同学们通过圈一圈得出11个菠萝，每5个装一篮，能够装2篮，还剩1个。如果菠萝总数是12个，还可以像上面这样装吗？根据你的理解列出算式。

指名让学生圈出装法，再独立列出算式，小组交流平均分的思考过程。

深化提问：如果将菠萝数增加到13个，还是5个装一篮，该怎样列式？

学生独立列出算式，讨论交流。

继续深入探讨：依次增加菠萝的数量，当菠萝数是15个时，还是5个装一篮，又该怎样列式呢？

预设学生列出的算式可能有两种：

第一种：15÷5=3（篮）

第二种：15÷5=2（篮）……5（个）

引导思考：两种算式哪一种才是正确的呢？说说你的理由。

根据学生的汇报结果，出示图5。

教师强调：一共有15个菠萝，每5个装一篮，装满2篮以后，还剩下5个菠萝，正好可以装1篮，因此，根据圈出的结果可以用算式“15÷5=3（篮）”来表示，也就是说，第二种列式是错误的。

讨论交流：如果按照上面的规律依次增加菠萝个数，还是按每5个装一篮，菠萝的个数变成16、17、18的时候，应当怎样列出相应的除法算式？

学生思考，并口头回答思考结果。

3.总结余数比除数小的规律

多媒体展示算式：

10÷5=2（篮）

11÷5=2（篮）……1（个）

12÷5=2（篮）……2（个）

13÷5=2（篮）……3（个）

14÷5=2（篮）……4（个）

15÷5=3（篮）

16÷5=3（篮）……1（个）

17÷5=3（篮）……2（个）

18÷5=3（篮）……3（个）

对比辨析：对比辨析上面的算式，观察算式中的除数和余数，你能从中发现什么规律？

学生总结规律，汇报交流。根据讨论结果在圆圈内填写大于或小于号。

余数○除数。

（设计意图：余数小于除数，是一系列数学算式总结的知识规律，也是最终探讨的结果。学生动手实践，持续深入操作每一个环节，是一个完整的过程。在总结余数小于除数的环节，教师引导学生动手实践，用动态化方式思考问题，助力学生深度学习。）

4.巩固拓展，运用新知

师：同学们，你们已经掌握“有余数的除法”的相关知识了吗？接下来我想考考大家。

出示题目：假如在一道有余数的除法算式中，如果除数是8，余数会有多少个，它们分别是几。

学生将解题思路面向全班阐述，教师聆听后进行点评。

（四）趣味游戏，合理划分

假如在小组比赛中，你所在的小组获得了第一名，老师拿出一把铅笔作为奖励，要求组长为每个人分得相同数量的铅笔，如果你是组长该怎样分呢？（教师提示：将小棒假想为铅笔。）

学生先清点手中“铅笔”的数量，发现总共有19支，本组共有6位成员，如何做才能确保每个人所分的数量一样呢？他们做了以下测算。

19÷6=3（支）……1（支）

14÷6=2（支）……2（支）

15÷6=2（支）……3（支）

16÷6=2（支）……4（支）

17÷6=2（支）……5（支）

所以，最合理的分配方法应该是每位成员分得3支铅笔，然后将剩下的一支铅笔还给老师。

教师总结：如果能学会合理分配，那么小组中的所有成员都没有怨言，还会尽可能减少退还的数量，所以我们必须学好“有余数的除法”。

（五）关联生活，启发思考

教师导入视频：同学们都来参加小明的生日会，爸爸拿出蛋糕招待大家，请问：要怎样分配这块蛋糕才能确保每个人都能吃到，而且不会产生浪费？

学生清点视频中的人数，发现：此次总共有12人参加生日会，但是这12个人中有不喜欢吃甜食的，也有特别喜欢的。这该怎样操作呢？学生积极地与伙伴展开讨论。

经过认真分析，大家认为可以按照这种方法分蛋糕。总人数为12，那么可以先将蛋糕切成12个等份，喜欢吃甜食的先统一领取相同的等份，不喜欢吃甜食的则可以自行选择少吃或不吃，最后将剩下来的蛋糕再平均分成若干等份，由喜欢吃甜食的人自行挑选，这块大蛋糕就能得到合理分配了。

学生在完整阐述自己的思路后，用手中的小棒作为“蛋糕”开展游戏，教师认真观察、指导。

（设计意图：本环节通过实例分析、操作环节，让学生将所学内容与生活相互关联。另外，以游戏的方式进行操作有助于提升学习趣味性，让学生全身心参与其中，有助于知识的迁移与灵活运用。）

（六）总结收获

通过本节课学习，你有什么收获？

学生1：在有余数的除法中，余数必须比除数小，最小的余数是1。

学生2：有余数的除法的计算可以分四步走：一商，二乘，三减，四比。

学生认真总结的同时教师聆听，并及时进行点拨：

有余数的除法：

意义：平均分一些物体时会有剩余。

余数的特点：①最小的余数是1。

②余数应小于除数，大于0，否则等式不成立。

四、教学总结

深度学习是一个主动探索、发现的过程。在本节课教学中，教师创设了用小棒摆三角形的生活情境，使学生用外显方式展示思维过程，在借助直观手段的基础上，列出算式“10÷3=3（个）……1（根）”，突破正好分完的定式，重现聚焦“平均分”，引导学生小组合作，讨论交流，结合解决实际问题认识平均分后有剩余的情况，进一步拓展平均分的含义。

在此基础上，教师将学生讨论的两种思路展示出来，加深他们对平均分后有剩余情况的理解，使学生主动建构有余数除法。教师借助丰富的表征手段，将动手操作、语言表达、数学思考有机结合，助力他们体悟算理，独立思考解决问题，进而促进学生深度学习。

在总结余数小于除数知识点环节，教师既让学生认识被除数、除数、商、余数的内涵，又让学生用外显化方式体验主动思考的过程，总结实际问题中蕴含的数学规律，发展理性精神。结合“圈菠萝”实际问题，感悟“每5个菠萝装一篮，当遇到有余数的情况时，余数一定比除数小”，通过一系列算式，建构数学模型；当学生圈出每一组菠萝，剩下的菠萝数也会发生相应变化，在这个过程中引导学生观察、总结，寻找规律，经历完整的数学思考。

在整节课教学中，学生操作活动是系统化的，能够将直观经验转化为理性认识，突破旧知识的思维局限，促进深度学习自然发生。

（作者单位：山东省郓城县随官屯镇元庙集小学）

编辑：张俐丽