一道抽象函数题的破解：直接赋值推理，特殊函数构建

摘要：以抽象函数为场景的多选题，是近年新高考数学试题中比较常见的一类基本考题.结合一道典型的数学模拟题，以多选题的形式，就抽象函数问题的直接法与特殊法等常见技巧方法来切入与应用，剖析解决问题的技巧与策略，发散数学思维，培养思维品质，合理变式拓展，有效指导数学教学与复习备考.

关键词：抽象函数；多选题；直接；特殊函数；变式

抽象函数是一类不给出具体函数解析式，只给出函数的特殊条件或特征的函数模型.抽象函数问题，自身具有较强的抽象性，问题创设新颖，形式构思巧妙，考查条件隐蔽.而近年新高考涉及抽象函数的考题以多选题的形式出现，可以更加全面地考查相关函数的概念和性质，集函数的图象与基本性质（涉及定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性等）于一身，实现多个不同知识点之间的交汇与融合，是考查函数及其相关知识的良好载体.

1 问题呈现

此题以抽象函数为问题背景，借助抽象函数所满足的关系式以及特殊函数值的加持来创设条件，进而判断相应的函数值、函数的奇偶性、函数值之和以及关系式的确定等，考查函数的综合知识与能力.

此类以多选题形式设置的抽象函数应用问题，整体难度不大，借助函数的基本模型，综合函数的奇偶性、对称性、函数求值等来切入与应用.常见的技巧方法往往包括两大类：一类是直接法推理，通过赋值法来分析与判断；二是特殊法构建，通过选取满足条件的特殊函数（特殊的三角函数——余弦型函数）来具体化处理，利用特殊函数的构建，结合各选项的信息来分析与处理.

2 问题破解

点评：根据题设条件中抽象函数的递推关系，合理通过赋值思维加以处理，直接根据题目提供的条件进行合理推导与判断，利用相应的逻辑推理与数学运算逐一来确定各选项的真假情况，也这是解决此类问题的方法.直接法赋值与推理应用时，往往过程比较繁杂，要抓住题设条件与结论之间的联系，合理构建并加以链接，综合相应的逻辑推理与应用来处理.

点评：依托题设条件中抽象函数的结构特征，从特殊函数入手直接构建相应的三角函数模型——余弦型函数，结合条件的加持合理配凑对应的参数，实现函数的吻合性，进而处理就更加方便快捷.相比于赋值归纳法，特殊三角函数的构建与应用更加有效，更加具体化，由具体函数直接验证选项，可以“一招破敌”.特别在考试中可以大胆尝试.当然最好能严格证明一下，确保“严谨性”.

3 变式拓展

3.1 条件变换

3.2 结构变换

此问题也可以通过赋值归纳法来分析与应用，但处理起来比较繁杂，不过推理过程更加严谨科学，这里不多加以展开与叙述.

4 教学启示

抽象函数是函数模块知识中的一个重点与难点，涉及抽象函数及其应用问题在近三四年的新高考中都得以有效考查.而涉及抽象函数及其综合应用问题，可以很好地区分学生的数学思维与数学知识.整体来说，此类问题对学生的代数变形能力，以及数学抽象、逻辑推理等方面的素养要求比较高.

此类问题的解决策略之一就是正确掌握科学赋值法，这是解决问题的一种通法；而借助特殊思维，将函数具体化这种方法是解决问题的一种“巧技妙法”，关键是要看关系式的结构和一些条件的加持，进而加以合理选取与特殊构建.