小学数学是什么

［摘 要］弄清楚“小学数学是什么”对小学数学教学有着十分重要的意义。基于数学哲学视角，强调小学数学是关系的科学，是符号的科学，是抽象的科学，是充满人文精神的科学，是发现的科学，是应用的科学，是意义的科学，同时不否认还存在其他对小学数学的认识。可见，对于“小学数学是什么”这一问题，应该以多元化的后现代主义哲学观来审视。从数学教学活动是一种认识论的角度来说，只有对“小学数学是什么”进行深刻的思考，才能更好地理解数学和开展数学教学。

［关键词］小学数学；数学哲学视角；关系；符号

［中图分类号］ G623.5 ［文献标识码］ A ［文章编号］ 1007-9068（2024）17-0030-05

一、问题提出

本文基于数学哲学视角，审视“小学数学是什么”这一问题，并试图做出回答。一些读者看到这个标题可能会说，“小学数学是什么”本身就是一个数学哲学问题，是需要数学哲学家来回答的一个问题，数学哲学视角是可以去掉的。但是笔者强调这样一个视角的原因在于，小学数学与数学哲学研究对象的联系似乎不大，数学哲学强调的是纯粹数学，但是小学数学并不是数学哲学研究的对象，因此加上“数学哲学视角”是很有必要的。有一些文章强调“数学是什么”，但是“数学是什么”和“小学数学是什么”是两个不同的概念。这并不否认“数学是什么”对“小学数学是什么”的回答具有的参考意义与价值，但是“数学是什么”这个问题较为抽象，而“小学数学是什么”更具体。因此，非常有必要对“小学数学是什么”这一问题进行有针对性的探讨。与此同时，一些教师可能会被小学数学教材中丰富多样的素材内容所迷惑，忘了数学的本质，较少从数学哲学的视角分析小学数学教材和实施教学。只有对“小学数学是什么”这个数学的本质问题进行不断的追问，教师对数学的理解才会更深刻，才能更好地从事小学数学教学和研究。

就像人民教育出版社中学数学室主任章建跃所说，理解数学是教好数学的前提。华东师范大学教育科学学院教授、博士生导师孔企平也持同样的观点。这种观点几乎已经成为数学教育界的共识。但是一个重要的问题是：小学数学有没有数学哲学思想？笔者认为答案是肯定的。就像中国社会科学院哲学研究所研究员林夏水所强调的，有数学就有数学哲学，小学数学是存在数学哲学思想的。一些学者可能认为，小学数学是生活的大综合，生活是具体的，是形象的，是可见的，但是数学哲学是抽象的，是看不到的，是无形的，是理论化的，是远离儿童的经验世界的，生活与哲学的距离是比较遥远的。然而笔者却认为，虽然生活与哲学是两个不同的方面，一个偏向于世俗，是生活化的，另一个偏向于理论，是抽象的。表面上看二者几乎是风马牛不相及的，但总会有办法将二者紧密地联系起来。马克思主义哲学基本原理告诉我们，事物是普遍联系的。从这个哲学原理出发，小学数学也是有哲学思想的。另外，我们常说数学来源于现实生活，现实生活是数学的源泉，从这个意义上讲，数学哲学与现实生活也是有着密切联系的，小学数学哲学思想就应该是从小学数学内容中抽象出来，形成理论化、系统化的知识体系。

总之，小学数学是有数学哲学思想的。下面笔者将探讨小学数学中究竟有哪些数学哲学思想，换句话说，有哪些数学哲学思想在小学数学中得到了充分体现。郑毓信强调数学是一个多元化的复合体，笔者非常赞同这种后现代主义哲学观点。按照郑毓信的观点，小学数学中数学哲学思想也是一个多元化的复合体，看待小学数学不仅要有高观点，还应有不同的数学哲学视角，这样得到的结论才可能更为客观真实。

二、对“小学数学是什么”的回答

数学不是自然科学的一个重要原因是自然科学的研究对象仅存在自然界中，而数学的研究对象遍布在自然界、人类社会和思维领域。那么，数学究竟是什么？钱学森先生在《科学学、科学技术体系学、马克思主义哲学》一文中提出，基础科学包括自然科学、数学、社会科学三个科学部类。我国一些高校的数学系或数学院更名为“数学科学学院”，其实就是秉承了钱学森先生的观点，强调了数学与自然科学的并列性。因此，笔者下面的观点也强调数学观的科学性，每一种观点的宾语都是“科学”。

在数学哲学中，有“实在论”和“反实在论”之争。柏拉图主义秉承的就是数学的实在论的观点，强调数学是独立地存在于另一个客观世界的绝对真理。数学的“反实在论”又称“唯名论”。按照“唯名论”的观点，柏拉图的理念世界是不存在的，数学不过是符号，是名称。数是不存在于客观世界的，只存在于纸上、黑板上或思考它的人的头脑之中。从这种观点来看，数学就不再是柏拉图主义强调的理念世界的绝对真理。数学是观念之物，是人创造之物，是精神之物。小学数学与小学生的现实生活密切联系，从这一点来说，数学不是柏拉图理念中永恒不变的绝对真理。

（一）小学数学是以符号为工具的科学

上文说过，数学哲学史上有“实在论”与“反实在论”之争，“反实在论”认为客观存在的事物只有具体的、个别的东西，例如这个人、那个人，这把椅子、那把椅子等等，这些都是客观存在的。但是一般的、抽象的人或椅子仅仅是一个记号、一个名词而已，谈不上像柏拉图强调的那样是理念世界的绝对真理。强调小学数学是以符号为工具的科学，从大处来讲就是“唯名论”。小学数学不像中国古代数学那样以算筹或算盘为计算工具，也不像毕达哥拉斯学派那样用石子或砂子在沙滩上进行计算，这些计算都是有具体的计算工具，但是没有引进更为抽象的数学符号。小学数学中有很多阿拉伯数字，阿拉伯数字也是抽象的数学符号。从这个意义上讲，小学数学其实是有抽象性的。当然，小学数学中的数学符号还有很多，包括加、减、乘、除、大于号、小于号、等于号、百分数符号、三角形符号等。作为小学数学教师，我们应该着重培养学生的符号意识，让学生认识到数学符号的重要性，并有意识地运用数学符号。数学符号是抽象、客观、冰冷的，培养学生的数学符号意识能激发学生对数学符号产生兴趣，进而激发学生学习数学的兴趣。数学是符号的科学，教师要向学生渗透符号的重要性。可以这样讲，要让学生爱上数学，培养学生的抽象思维，就要让学生从喜欢数学符号开始。另外，数学符号虽然是冰冷的，但是数学家赋予符号的内涵却是火热的。当说“小学数学是以符号为工具的科学”的时候，其实人类的整个数学都是以抽象的数学符号为工具的。小学数学中的符号虽然较少，但是对培养学生以符号意识为代表的抽象思维至关重要。

（二）小学数学是关系的科学

文章强调数学是关系的科学，这里的“关系”是指数学的概念之间、定理之间、概念与定理之间等关系。小学数学中的关系多种多样，例如数的大小关系、线段的长短关系、面积的大小关系、倍数关系、正比例关系、反比例关系、相乘关系、相除关系、整除关系、不等式关系、全等关系、相似关系、包含关系等。可以这样讲，小学数学乃至数学都是关系的科学。解数学题，尤其是解应用题时，弄清数量之间的关系是解题的关键，找到了已知量与未知量之间的关系，问题就能迎刃而解了。提到数量关系，就不得不提方程，方程对厘清数量之间的关系有着十分重要的作用。其实，不仅应用题需要厘清数量之间的关系，证明题也需要厘清已知条件与要证明的结论之间的关系。因此，教师在课堂教学中要向学生讲清楚重要的数量关系。说“小学数学是关系的科学”，强调的是数学内部的各个元素之间并不是孤立的、静止的和毫无关系的，而是有着密切联系。这种数学哲学观点与布尔巴基学派的“数学是结构的科学”是有着密切联系的，数学内部的关系也是与它的内部结构密切相关的。数学知识之间是讲究逻辑关系的，虽然小学数学的逻辑关系性不强，但是作为数学教师，仍然要强调数学逻辑关系的重要性。

（三）小学数学是抽象的科学

人类的现实生活是具体的、形象的。数学来源于现实生活，但是它是从现实生活中抽象出来的，抽象的过程就是化具体有形为抽象无形的过程。抽象的东西在现实生活世界中是不存在的，是观念之物、想象之物，也就是脱离现实生活的东西，或者说从现实生活中抽象出来的数学就成了理论，纯粹数学从本质上讲就是一种理论。这个观点与哲学是一致的，哲学也是一种理论。数学与哲学的理论都比较抽象，数学的本质在于抽象，在于脱离现实生活。小学数学是现实生活中的数学，它所反映的数学与数学的本质是有差距的。从这个意义上讲，数学不能过度生活化，否则就远离了数学的本质，以远离数学本质的方式学习数学是不容易理解数学知识本质的。数学虽然还具有严谨性和应用性，但是两者都是建立在数学抽象本质的基础上的。没有抽象的本质，严谨性就无法在生活数学中建立；没有数学本质的抽象性，数学的广泛应用性就要大打折扣，甚至无法实现。从某种程度上讲，抽象是数学的本质，而严谨性和应用的广泛性是从数学的抽象性中派生出来的性质。以上说明了虽然小学数学有形象性、具体性的一方面，但是它还有抽象性的另一个方面，这一方面反映了数学的本质，数学生活化不应该把这个数学的本质给“化”掉。

（四）小学数学是充满人文精神的科学

小学数学教材有很多卡通插图，这些插图的主人公多数是小朋友，看着这样的插图，学生会有较强的主人公感。另外，插图还包括许多可爱的小动物，给学生以亲切感，让学生忍不住想亲近数学。小学数学很像中国古代的《九章算术》《数书九章》等数学著作，充满了生活的乐趣和人文主义精神。中国古代数学就是为人们生活服务的数学，例如《九章算术》中的“五家共井”问题，张邱建在《算经》中提出“百钱买百鸡”问题，《孙子算经》中的“鸡兔同笼”问题，等等，都充满了生活的乐趣，反映了数学是为人们的现实生活服务的事实。与中国古代数学相似，小学数学着重突出或反映数学的实用价值，反映数学是有用的，是为人类的现实生活服务的。由此可见，小学数学是具有很强的人文性的。当今的小学数学教学内容更是强调数学的人文性，突显了学生学习数学一方面是为将来美好生活做准备，另一方面是为了满足当下现实生活需要。儿童所学习的数学知识是从他们自己的现实生活出发的，小学数学内容也是为他们的现实生活服务的。小学数学是一个生活的大综合，充满了人文性。小学数学内容的人文性说明了小学数学不是纯粹的数学，而是应用数学，是小学生现实生活中的数学。当说“小学数学是充满人文精神的科学”的时候，其实强调的是小学数学与小学生的生活是密切联系的，强调学习数学的价值与意义。强调小学数学充满人文精神的同时并不否认小学数学的科学精神的存在，但是相比较而言，人文精神占的比重可能大一些。另外，科学性其实是从人文性派生出来的。强调小学数学的人文性，并不排斥小学数学的科学性。

（五）小学数学是发现的科学

一般来讲，数学既是发现的科学也是发明的科学，但是对小学数学而言，主要是发现的科学。说小学数学主要是发现的科学，并不否认极少数的数学概念是人类发明或创造的，但是大多数数学概念都是小学生身边的数学概念，总体上来讲发现的数学成分居多。人类的实践活动都是有局限性的，儿童的实践活动局限性更大。儿童认识到的数学是生活中的数学，小学数学与生活是密切联系在一起的。但现实生活中很难遇到蕴含无限性质的数学概念，例如直线的概念、无穷的概念等。这些概念是远离儿童现实生活的，是从现实生活中抽象出来的或通过想象得到的，但儿童的抽象思维不够发达，这就决定了这些数学概念对儿童来说是比较难理解的。现实生活中存在的具有数学原型的基本概念学生是容易理解的，例如线段、正方形、圆、三角形等，因为这些几何图形在现实生活中有具体的模型，但是像直线、射线等现实生活中不存在的数学概念，只能依靠发明或创造出来，只有现实生活中没有的东西被人创造出来才能称得上是发明。另外，之所以说数学是发明的科学，这与数学约定主义思想有着密切的联系。小学生刚刚开始学习数学，不可能达到约定或发明数学概念的水平。因此，小学数学基本上是发现的科学。当说“小学数学是发现的科学”的时候，强调的是数学概念或定理在现实生活中的存在性，揭示的是数学与现实生活世界的密切联系。强调小学数学是发现的科学的同时，并不否定小学数学含有发明或约定论的成分。所谓约定论，就是数学规则不过是像游戏规则一样是人为的约定，如0.9的无穷次循环等于1，就是一种约定论的观点。小学数学中其实也有约定论的数学思想的例子。例如，教材认为正方形是长方形的特殊情况，但是平行四边形一般不认为是梯形的特殊情况，这从逻辑上很难解释，只能当作人为规定。这也是张景中、彭翕成在《数学哲学》中所认同的。

（六）小学数学是应用的科学

强调小学数学是应用的科学，主要是指小学数学在学生现实生活中的应用。学生可以用所学的数学知识来解决现实生活中的数学问题，也就是说学生可以把所学习的数学知识应用到他们的现实生活中。这不仅体现了数学学习的价值与意义，还可以让学生树立学好数学的信心，养成良好的数学学习习惯，形成正确的数学学习观。小学数学是应用数学并非坏事，数学只有在应用中才能更好地被理解，应用也彰显了数学的价值与意义，而且与我们学以致用的民族文化是一脉相承的，也与哲学诠释学强调应用的重要性一致。

小学数学为什么要强调数学的应用性呢？这是因为，如果不强调数学的应用性，那么数学就是纯粹的数学，纯粹的数学是脱离现实生活的数学，是抽象的数学，是枯燥无味的数学，是小学生不容易理解的数学，是小学生不喜欢的数学。小学生的形象具体思维发达，但是抽象思维发展程度有限，纯粹的数学是抽象的，可能会造成学生在学习上的困难。学生学习数学必须与自己的生活背景紧密地结合起来，才能收到较好的学习效果。从这个意义上讲，无论是小学数学教材还是小学数学教学，都必须密切联系学生的现实生活。强调小学数学是应用的数学，并不否认小学数学也有作为纯粹数学的一方面。

（七）小学数学是意义的科学

在小学数学课程标准或教材中，一些数学概念强调意义的重要性要远远超过计算的重要性。例如，小学数学教材强调平均数意义的重要性，强调分数意义的重要性，强调小数意义的重要性，强调负数意义的重要性，等等。强调这些意义的重要性，其实就是强调理解数学的重要性。在数学教材中强调意义的重要性是正确的，而且是很有必要的。

从数学史的角度来讲，古希腊人不承认无理数是“数”，就是因为他们找不到无理数存在的意义。而古巴比伦人敢于承认无理数是数，就是因为无理数在他们的现实生活中有着广泛的应用并且经过生活实践验证是正确的。对于负数的认识，古巴比伦不用负数，故在他们的代数中二次方程的负根是忽略不提的。负数是通过阿拉伯人的著作传入欧洲的，15世纪的一些欧洲数学家都把负数当作荒谬的数。卡丹把负数作为方程的根，但认为它们是不可能的解，仅仅是一些记号，他把负数称作虚有的，正根才算是实的根。法国数学家、代数学之父韦达完全不要负数；笛卡尔仅部分接受负数，他把方程的负根称作假根，因为它们代表比无还少的数；帕斯卡认为0减去4纯粹是胡说八道。负数的产生有它的时代文化背景。欧洲数学家在寻找负数这个概念的意义，如果寻找到了负数的意义他们就接受了，否则他们就不接受负数的概念。小学生在学习数学时也是如此，他们会像欧洲数学家那样可能不愿意接受某个数学概念，认为某个数学概念是没有意义的，他们接受或理解某个数学概念的过程就是寻找其意义的过程。因此，小学数学教材或课堂教学一定要强调数学概念或数学理论意义的重要性，帮助学生找到接受数学概念的意义。只有正确理解数学概念或理论意义，才可能正确地解决数学问题。小学数学是意义的科学，这本身也说明了数学具有人文性的一面。当说“小学数学是意义的科学”的时候，强调的是学习者在接受某个数学概念或定理的时候总是需要一个寻找意义的过程，这一方面揭示了数学的人文性，另一方面强调了人是意义的动物，也强调了数学理解的重要性。

三、结语

以上对“小学数学是什么”这个问题从数学哲学的视角给予了不同的回答，每一种回答都从某个侧面反映了小学数学某一方面的性质，这可能就是郑毓信强调的数学是一个多元化的复合体的思想。在哲学上有两个重要的概念，一个是“实然”的概念，一个是“应然”的概念。在这两个概念中，“实然”是比较基本的一个概念，因为它是对事物的客观属性的揭示，回答的是“是什么”。只有知道了“是什么”，才能更好地、正确地实现“应然”或知道应该怎么做。从这个意义上讲，本文对小学数学乃至中学数学的教学和学习都有一定的参考价值和意义。当然，从哲学诠释学的视角来讲，“小学数学是什么”的文本解释意义是无穷无尽的。笔者只强调了以上几种观点对小学数学本质的解释，也许还有其他方面的解释，但是受限于篇幅，此处不再进行深入探讨。

小学数学不仅研究确定性的问题或现象，还研究不确定性或随机的现象。小学数学也可以说主要是研究数与形的科学（即使是统计与概率部分，仍然离不开数与形）。本文虽然强调小学数学的以上性质，但是没有否认小学数学也有历史、文化、经济、社会、艺术等方面的性质。南京师范大学数学与计算机科学学院教授涂荣豹认为，数学教学是一种认识论。从这个角度来讲，只有认识或理解了数学，对数学进行了哲学上的审视，才能更好地从事数学教学活动。

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（责编 吴美玲）