创设开放性问题，体会不同模型的建立

《义务教育数学课程标准（2022年版）》对第四学段数与代数领域的学业水平描述为：

能从生活情境、数学情境中抽象概括出数与式、方程与不等式、函数的概念和规则，掌握相关的运算求解方法，合理解释运算结果，形成一定的运算能力、推理能力和抽象能力。

能从具体的生活与科技情境中抽象出函数、方程、不等式等数学表达形式，用数学的眼光发现问题并提出（或转化为）数学问题，用数学的思维探索、分析和解决具体情境中的现实生活问题，给出数学描述和解释，运用数学的语言与思想方法，综合运用多个领域的知识，提出设计思路，制定解决方案。能够在解决问题的过程中选择合适的方法进行评估，并对结果的意义作出解释。能够知道解决问题的方法的多样性，具备一定的应用意识和模型意识，初步会用数学语言表达与交流。

这两段描述不仅以结构化数学知识主题为统领，把“四基”主要与抽象能力、推理能力、运算能力有机结合，还以问题解决为依托，把“四能”主要与模型观念、数据观念、应用意识和创新意识有机结合。

【案例】

【起因】在太原市2023～2024学年第二学期八年级期中学业诊断中，有两个关于用方程、不等式、函数模型解决实际问题的题目。原题如下：

【19题】从2025年起，山西中考体育测试分值提高为60分，增加了专项运动技能测试，分值为10分，学生可选择足球、篮球、排球中的一项专项运动技能进行测试。学校为加强专项运动技能的训练，计划用9500元从体育用品商店一次性购买篮球和足球共100个。已知每个篮球120元，每个足球80元，求该校最多可以购买多少个篮球？

【21题】1987年6月18日“国槐”被定为太原市的市树。今年春季，小区为绿化环境分别购买了两种规格的国槐树苗，其中A种国槐树苗的价格为75元／株，B种国槐树苗的价格为100元/株。若购买这两种国槐树苗共45株，其中A种国槐树苗的数量不超过B种国槐树苗数量的2倍，请你通过计算设计最省钱的购买方案，并求出此方案的总费用。

经过试卷分析发现，19题的得分率较高，21题的得分率较低，并且学生在21题这样的实际背景下，不知道该选择用函数模型、方程模型还是不等式模型来解决这个问题，只会用方程模型求解、二元方程和二元不等式结合求解、小学的枚举法求解等方法。那如何能在试卷讲评的时候让学生更好体会到：根据不同的实际问题，我们可以抽象出函数、方程、不等式等不同的数学表达形式，建立函数、方程、不等式等不同的模型，用不同的模型去分析和解决实际问题，给出数学的描述和解释，并会用数学的语言进行表达呢？

【对策】经过分析发现，这两个实际问题背景基本类似，都涉及加法模型和乘法模型。所以对于19题的生活情境，经过设置不同的问题，完全可以变成21题的问题背景。于是我决定设计开放性的设问环节，让学生经历自己发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，在这个过程中逐步让学生体会到根据不同的实际问题背景是如何抽象出不同的模型的，不同的问题背景又是如何选择恰当的模型去分析解决问题，并给出数学的描述和解释，对结果的意义作出解释的。

【开端】在让学生提出问题之前，我将两个题目的得分率给学生进行了展示，让他们观察数据，说说自己的感想。学生都能看到19题得分高，21题得分低，有学生就说因为19题简单，21题难。我立马抓住时机，引导学生对这两个题目的背景进行分析，并让学生说说他们的感想。有学生就发现这两个问题背景描述的数量和数量间的关系有些是一样的。此时我就提出了一个问题：我们能否添加一些问题，将19题的问题背景变成21题的问题背景呢？

【发展】学生仔细对比了19题和21题，去掉19题的问题，留下的生活情境：为了加强专项运动训练，我们计划从体育用品商店一次性购买篮球和足球共100个，已知每个篮球120元，每个足球80元。这样的生活情境不仅贴近学生的生活，还可以衍生出很多生活中的实际问题，而这些问题能让学生在不同的实际问题背景下抽象出不同的数学模型。

【高潮】面对这样开放性的问题，学生提出的就是要买几个篮球和几个足球的问题；提出没有钱怎么去买？提出那我最少需要多少钱？最多又需要多少钱？提出是不是两种球都必须买的问题；提出如果钱全部用完，那可以买多少个篮球和足球，如果钱不是全部用完的情况下，最多买几个篮球的问题；提出如果钱不是全部用完，那我怎么样购买才能花费最少的问题；有学生就发现了这样的问题得有条件限制才可以解决等等。随着学生问题的提出，问题的类型也越来越多，这时引导学生将问题归类，由简到繁，逐个解决。

首先得到了最少需要花费8000元，最多需要花费12000元的结论，但这个范围是只买足球或只买篮球的情况下得到的。如果两个球都需要买又该花多少钱呢？学生在这个范围内经过思考交流得到这样的一个数9400元，提出若计划用9400元购买并且全部用完，可以买多少个篮球和多少个足球的问题。在解决这个问题的过程中，学生感知到在这种情况下（要求钱恰好全部用完的情况下），我们建立的是方程模型，可以列一元一次方程，也可以列二元一次方程组解决问题。学生又想到了另一个数9300元，那么若计划用9300元购买呢？在这个背景下钱不可能全部用完，那就提出了最多可以买多少个篮球的问题。在解决这个问题的过程中，学生感知到，在钱不一定全部用完的情况下，我们抽象出来的是不等式模型，利用不等式模型进行求解，并且要对求出来的解集进行数学解释，对结果的实际意义要进行描述。

接下来，学生开始讨论怎样购买才能使花费最少的问题。经过学生的分析发现（可以借助表格分析），在物品单价为已知量，求物品总价最少问题的时候，需要对物品的数量进行限制，需要物品的数量之间满足一定的不等关系才能去讨论物品总价花费最少的问题。因为如果物品数量之间满足的是等量关系，如购买的足球数量是篮球数量的3倍，我们将会抽象出方程模型利用方程模型求解，此时我们将会得到关于数量的唯一值，进而将得到物品总价为定值，不需要讨论花费最少的问题。只有当物品数量之间满足的是不等关系时，即物品的数量是一个取值范围时，我们才可能在这个范围内讨论花费最少的问题。从而借鉴21题的经验给出数量的限制条件并提出了如下的问题：若购买的足球数量不超过篮球数量的2倍，那么请你设计出最省钱的购买方案，并求出此方案的总费用。在解决这个问题的过程中，学生感知到：足球数量和篮球数量间的不等关系，抽象出来的是不等式模型，利用不等式模型进行求解，可以得到篮球数量（或足球数量）的取值范围，在这个范围内购买篮球和足球的总费用会随着篮球数量（或足球数量）的改变而改变，它们之间是变化对应的关系，而这样的关系抽象出来的模型是函数模型。进一步可以根据题目中所给出的单价、数量和总价之间的关系，抽象出购买总费用的函数表达式，利用函数模型进行求解，根据函数的增减性和篮球数量（或足球数量）的取值范围，以及实际问题的意义，我们可以求出当篮球数量（或足球数量）为何值时，购买总费用最少，并设计出此时的购买方案。

为了更直观地了解这个实际问题的解的情况，我们还可以借助什么来分析问题解决问题呢？学生想到了可以画出购买总费用关于篮球数量（或足球数量）的函数图象，它能非常直观地帮助我们解决实际问题，解释实际问题的解。

【结局】在讨论了上面的各种情况后，学生发现当实际去购买的时候，还会面临选择体育用品商店的问题，所以可以再提出下面的问题，请学生利用今天所学的知识去解决：若在A商店购买，篮球每个按原价的九折、足球每个按原价的七折出售，若在B商店购买，则篮球、足球都按原价的八折出售，请你通过计算分析去哪个商店购买更合算？学生通过对题目当中数量及其关系的分析发现：在每个商店的购买总费用都会随着篮球数量（或足球数量）改变而改变，它们之间是函数关系，需要建立函数模型；由于要比较去哪个商店购买更合算，分三种情况讨论，所以又需要建立方程模型和不等式模型，从而我们需要抽象出三种模型，共同使用这三种模型才能将此问题解决，并要对求出的解和解集进行数学解释，对结果的实际意义要进行描述。

【反馈】为了了解学生是否能根据不同的实际问题背景，抽象出函数、方程、不等式这三种数学模型，并用它们解决问题，特设置了如下的开放性的作业：在下述21题的问题情境下，自己设计三个问题，用函数、方程、不等式这三种模型或者它们的组合去解决问题。

21题的问题情境：今年春季，小区为绿化环境分别购买了两种规格的国槐树苗，其中A种国槐树苗的价格为75元/株，B种国槐树苗的价格为100元/株。若购买这两种国槐树苗共45株。……

在作业反馈中，我看到了可喜的成果：大部分学生都可以模仿上课的情形设计出用方程、不等式和函数模型解决问题并进行了求解，并且有学生在用函数模型求最值解决实际问题的问题设计中，想到了可以用购买A种国槐费用和B种国槐费用之间的不等关系，来得到A种国槐数量（或B种国槐数量）的取值范围，从而设计出最省钱的购买方案，并求出此方案的总费用，还有学生设计了A商店打折销售，而B商店直接减少费用的方案，由此提出在哪个商店购买更合算的问题。由此说明学生对如何根据实际问题的条件，抽象出三种不同的模型，利用模型解决实际问题，有了更进一步的深刻认识。

【评价】

陶行知先生认为：生活即教育，教育来源于生活，主张教育要依靠生活，改造生活；教学做合一，认定在生活中教法、学法、做法是不可分割的。主张事情是怎样做的，学生就应该怎样学；学生是怎样学的，教师就应该怎样教。教法和学法都来源于做法，统一于做法。但在学生解决实际问题的过程中，有些教师就题论题，没有让学生经历真正问题解决的过程，泛泛地讲解此问题的答案，没有针对学生的问题提出解决的办法，学生也就无法从这个题目的学习过程中学到知识和技能。这次的教学设计，将学生置身于真实的问题情境中，选择与学生息息相关的生活实际背景，让学生根据实际经验，亲自感受在实际做的过程当中将会出现怎样的问题，面对各种各样的问题，要会用数学的眼光去发现问题并提出问题，利用数学的思维去思考问题、分析问题和解决问题，并会用数学的语言去表达问题、解释问题。这个过程培养了学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力，提升了学生的抽象能力、模型观念、运算能力，提高了他们的应用意识。

《义务教育数学课程标准（2022年版）》的教学提示中指出：方程与不等式的教学：应当让学生经历对现实问题中量的分析，借助用字母表达的未知数，建立两个量之间关系的过程，知道方程或不等式是现实问题中含有未知数的等量关系或不等关系的数学表达；函数的教学：要通过对现实问题中变量的分析，建立两个变量之间变化的依赖关系，让学生理解用函数表达变化关系的实际意义；要引导学生借助平面直角坐标系中的描点，理解函数图像与表达式的对应关系，理解函数与对应的方程、不等式的关系，增强几何直观；会用函数表达现实世界事物的简单规律，经历用数学的语言表达现实世界的过程，提升学习数学的兴趣，进一步发展应用意识。所以，教师在教学过程中要选择恰当的实际问题，让学生在解决实际问题的过程中，逐步经历对量和变量的分析，利用数和符号表达实际问题中的数量关系和变化规律，将实际问题转化成数学问题，建立函数、方程、不等式等数学模型，对建立的模型进行求解，对求出的解给出数学描述和解释，并对结果的实际意义作出解释，从而解决实际问题。

（作者单位：山西大学附属中学）

编辑：张国仁