培养学生的逻辑思维能力，促进深度学习

《义务教育数学课程标准（2022年版）》提出：在数学教学中，问题是教学的出发点，也是驱动学生积极思考、推动课堂教学的有效载体。数学教学中有逻辑问题的提出有助于学生的深度学习，可让学生通过问题构建一般的数学逻辑。这里的逻辑既是知识的逻辑，也是思维的逻辑。而建立清晰的有逻辑的知识体系，需要教师按“构建前后一致、逻辑连贯的学习过程，使学生在掌握数学知识的过程中学会思考”的要求引导学生，让学生充分感受数学知识发展的逻辑性，形成数学研究的基本思路，面对未知事物能够有逻辑地思考，培养学生的核心素养。

下面以“平行四边形的性质”进行说明。

一、教材、学情及重难点分析

从课程来看：平行四边形既是平行线、三角形等知识和研究方法的延续和深化，也是后续学习矩形、菱形、正方形等知识和研究方法的坚实基础。从学情来看：学生具有几何研究的基础经验，初步掌握了几何研究的方法，也初步感受了前后一致的研究思路。那么，本节课的地位毋庸置疑是承上启下的。作为章节起始课，教师除了教学基础知识，还应构建几何研究思路，促进学生对知识内在逻辑联系的理解，同时培养学生“学会学习”这一核心素养。

本节课的教学重点是：（1）构建几何研究一般思路方法。（2）理解和掌握平行四边形的性质。本节课的教学难点是探究和证明平行四边形的性质。

二、教学过程

▲第一环节：学法回顾，建立体系

师：我们学习几何是从简单图形的研究一步步上升到复杂图形的研究。今天，我们将一起梳理几何研究的一般思路，并用该方法研究新的基本图形。（板书：研究思路）

师：初中研究几何从一个点到多个点组成一条线再到有公共端点的两条线组成角，我们之前研究了哪个平面图形呢？

生：三角形。

师：学习了哪些三角形？

生1：直角三角形、钝角三角形、锐角三角形。

生2：等腰三角形、等边三角形。

师：三角形和等腰三角形有什么关系呢？

生：等腰三角形是三角形的一种。

师：既然等腰三角形是三角形的一种，那么它就拥有三角形的所有性质，那我们还要研究等腰三角形的什么？

生：不同于一般三角形的地方。

教师引导：等腰三角形的特殊性就是区别于一般三角形之处。（板书：一般到特殊）

师：那么等腰三角形最特殊的地方在哪里呢？

生：两边相等。

师：所以我们将最突出等腰三角形的本质属性作为它的定义，即两边相等的三角形叫作等腰三角形。（板书：定义）

师：这是从哪一方面研究了等腰三角形？

生1：边。

生2：边的数量关系。（板书：边）

师：除了研究边的数量关系，我们还可以从哪几方面研究等腰三角形呢？

生：角的数量关系、三线合一性质。

教师引导：三线合一其实是对三角形中重要线段的研究。（板书：角、重要线段）

教师总结：我们研究边之间、角之间、重要线段之间的关系，实际上就是在研究元素之间的关系，也就是我们所说的几何性质。（板书：性质）

师：研究完性质，我们又研究了什么呢？

生：判定。（板书：判定）

师：研究性质判定的作用，是为了能够应用。（板书：应用）

师：总结研究思路，我们今天就使用这些思路来研究新的基本图形——四边形。我们学习过四边形的哪些知识？

生1：角：内角和360°，外角和360°。

生2：重要线段：有两条对角线。

师：在研究完四边形的基础上，我们接下来要研究特殊的四边形。

在建立几何研究的一般思路体系中，教师需要帮助学生理顺三大研究思路。首先，类比三角形与等腰三角形的关系，建立几何概念的研究是从一般到特殊，明确特殊图形要研究什么的问题。其次，类比等腰三角形的研究方法：知道什么样的三角形是等腰三角形（定义），到等腰三角形有什么特殊性质，再研究如何判定一个图形为等腰三角形（判定），得到研究的主线：研究特殊几何图形按定义—性质—判定的基本思路来进行。最后，类比等腰三角形的性质研究：从边、角、重要线段三方面对几何要素之间的关系进行研究，解决怎么研究的问题。基于此，教师采用了整体化的教学策略，引导学生从三角形研究中建立研究思路，进而让知识逻辑结构化，对方法进行迁移运用，归纳总结学习方法，增强学生学习的主动性，从学会上升到乐学、善学。

▲第二环节：画图识别，理解概念

本环节采用辨析性教学策略。学生在小学已初步学习平行四边形的概念：但未明确其本质属性是对边平行，因此教学时，在四边形概念的基础上，教师要引导学生发现其本质特征，让学生在识别和画出平行四边形中发现定义的判定性，进而结合定义中蕴含的性质，理解定义。

▲第三环节：大胆猜想，小心求证

1.建构平行四边形性质的研究方向

师：研究完平行四边形的定义，我们接下来应该研究什么？

生：性质。

师：从哪几方面进行研究呢？

生：边、角、重要线段。（板书：边、角、重要线段）

师：平行四边形的重要线段中，哪一条是最重要的呢？为什么呢？

生1：对角线，三角形没有，四边形有，所以最重要。

生2：对角线在解决求四边形内角和时起到了转化的作用，所以很重要。（板书：对角线）

学生通过类比三角形的研究方法，对平行四边形的性质研究有了大致的方向。教师进一步引导学生认识平行四边形的重要线段，让学生体会对角线作为平行四边形最重要线段的合理性，同时在此过程中体会到有逻辑的研究思维过程。

2.建构平行四边形性质的研究逻辑

师：那么我们先从哪方面研究性质？

生：边。

师：观察平行四边形图片，它的边除了平行的位置关系，还存在哪些特殊关系？

生1：从数量关系上，我发现对边相等。

生2：我觉得要强调对边是两组，并且它们分别相等。

（板书：平行四边形两组对边分别相等）

师：请你利用手上的工具：三角板、直尺、量角器、圆规，选择最快的方式验证一下你的猜想，请组长收集小组同学的结论并进行汇报。

师：你们小组的结论是什么？通过什么来验证？

生1：我们小组通过测量发现对边长度的数据显示相等，刚刚的猜测可能是成立的。

生2：我们小组通过测量发现大部分同学的对边长度数据也显示相等，一位同学的数据虽然不相等，但是长度相差很小。

生3：我们小组通过用圆规定长来比较，对边是相等的。

师：大家认为怎样比较边的大小更快呢？

生：用圆规定长比较线段长短速度快。

师：现在我们能够说猜想成立了吗？

生：不行，还需要推理验证。

师：请结合图形写出我们猜想的已知和求证。

生：如图1，已知四边形ABCD为平行四边形，求证AB=CD，AD=BC。

师：请论证我们的猜想成立。

学生活动：在探究报告中完成推理，并展示自己的推理过程。

师：你们为什么会想到添加辅助线呢？

生：连完对角线，可以得到两个三角形，证明两个三角形全等。

师：为什么要证明三角形全等呢？

生：因为要证明边相等，可以转化为证明边所在的两个三角形全等。

（板书：通过连接对角线，将四边形问题转化为三角形问题）

师：很好，现在我们能够说明猜想成立了吗？

生：可以了。

师：请用符号语言表示性质1。

教师总结：研究几何性质，我们一般要经历观察、猜想、验证、证明的过程。

（板书：观察、猜想、验证、证明）

师生活动：类比平行四边形边的研究方法，各小组开展研究平行四边形的角并展示交流。

师：现在我们已经知道了关于平行四边形边、角的性质。我们下一步应该研究什么？

生：对角线。

师：请同学们在手中的平行四边形中画出对角线，并观察它们具有什么关系。

生：从位置上来看，它们相交。

师：还有其他的关系吗？

生1：相等。

生2：不正确，通过测量，BD比AC长。

生3：对角线互相平分。

师：你能结合图形解释下对角线互相平分吗？

生：如图2，AO=CO=1/2AC，BO=DO=1/2BD。

师：你是怎么猜想到对角线互相平分的呢？

生：我是先看到点O，它是AC和BD的交点，在位置上感觉它很特殊，可能是中点的位置，所以进行猜测。

师：很好，在几何关系探索中，我们不妨借助点的特殊性来研究线段的特殊性。

师生活动：通过逻辑推理验证平行四边形对角线互相平分的性质，并用规范的数学语言进行表述。

三、教学反思

在一般教学中，教师对该节课的设计拘泥于创设一般问题情境，给予学生生活中涉及的平行四边形，抽象出平行四边形的基本图形，让学生通过测量、比较、归纳、验证的方式研究基本元素边、角、对角线，最后得出性质。这样的教学设计无法让学生体会到知识发展的逻辑性，一切探究都是由教师设置好的，不能发挥学生的主观能动性。在性质的探究中，学生由于在小学已经接触了平行四边形，所以采用测量边、角的方式进行探究就稍显多余。学生通过几何直观可以观察猜测，对角的研究可以从边性质的证明中进行逻辑推理得出。

在本次教学中，基于学生理性思维的发展水平，教师挖掘几何研究的一般思路方法，侧重建构知识逻辑的前后一致，思维逻辑的一以贯之，让学生根据知识间的逻辑（一般研究思路）以及知识本身内在的逻辑（性质）掌握研究方法与方向，主动思考，发现、归纳与验证思路，掌握数学的本质。学生能在后续平行四边形的判定和特殊平行四边形的研究中迁移与应用已梳理的知识逻辑体系，自发根据研究体系探求思路，发现和验证性质与判定，解决问题。

（作者单位：厦门外国语学校湖里分校）

编辑：张俐丽