聚焦“计数单位”，感悟运算一致性

“整十数乘整十数”属于数与代数领域中的数与运算主题。《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“新课标”）对“整十数乘整十数”的内容要求是：感悟数的运算以及运算之间的关系，体会数的运算本质上的一致性，培养运算能力和推理意识。那么，如何通过设计有效的课堂教学活动让学生体会数的运算本质上的一致性呢？朱国荣老师在教学“整十数乘整十数”时，以“计数单位”为核心，帮助学生理解整十数乘整十数的算理，掌握整十数乘整十数的计算方法，并在迁移类推中让学生感悟到乘、除法运算具有一致性。

【片段一】在复习巩固中引出核心概念

师：学习数数的时候，我们会一个一个地数。我们知道了“十个一是十”，这句话可以用哪道乘法算式表示？

生：1×10＝10。

师：随着数量的增加，我们会十个十个地数，知道了“十个十是一百”。这句话可以用哪道乘法算式表示？

生：10×10＝100。

师：一百一百地数，我们知道了“十个一百是一千”。这句话又可以用哪道乘法算式表示？

生：100×10＝1000。

师：数数的时候，当数量比较少时，我们一个一个地数；数量多了，我们十个十个地数；数量更多了，我们一百一百地数。个、十、百、千都是计数单位。我们继续复习。

教师出示练习：

1.580里有（ ）个十，24个十是（ ）。

2.2500里有（ ）个百，36个百是（ ）。

3.6000里有（ ）个百，40个百是（ ）。

【赏析】“新课标”强调数与运算的一致性。本教学环节通过数数复习了个、十、百、千四个计数单位，为新知识的学习做好了铺垫。乘法运算的一致性具体表现为：计数单位与计数单位相乘得到新的计数单位，计数单位的个数与计数单位的个数相乘得到新的计数单位的个数。在整十数乘整十数和整百数乘整十数的运算中，首先要解决的就是10×10和100×10的得数问题，因为这是保证运算得以顺利进行的前提条件。填空练习，让学生从计数单位个数的角度认识数，为接下来从计数单位个数的角度得出计算结果做好铺垫。

【片段二】基于计数单位理解乘法算理

师：国庆阅兵的时候，会有各种方阵。有一个鲜花表演方阵是这样的（如图1），请你数一数，一共有多少人？

生：600人。

师：老师看到一个同学是这样数的，他先横着数，数到了30，他又竖着数，数到了20。这样数了之后，600是怎么得到的？

生：用“30×20”算出来的。先用3×2＝6，再把两个乘数末尾的0添在6的后面。

师：为什么要把两个0添在6的后面？老师请大家算一道加法算式“30＋20”，这道题是不是还是先算3＋2＝5，再在5的后面添两个0？

生：不是。

师：“30×20”为什么要添两个0？

生：可以把30写成3×10，20写成2×10，先算3×2＝6，再算10×10＝100，因为100有两个0，所以要添两个0。

师：这个6表示什么意思？

生：6表示6个百。

师：百是怎么来的？

生：是用10×10得到的。

师：看来做乘法的时候，计数单位要相乘。在刚才这张纸上，你能把10×10圈出来吗？（学生圈画）

师：这个同学更厉害，他把6个一百都圈出来了（如图2）。这个时候我们再数数，是以什么为单位数的？

生：一百。

师：现在你明白“30×20”为什么要在6的后面添两个0吗？

生：因为乘出的这个6表示6个一百。

师：“30＋20”为什么不能添两个0呢？

生：30可以写成3个十，20可以写成2个十，3个十加2个十是5个十，5个十是50，所以添一个0。

师：计算乘法的时候，计数单位要相乘，计算加法的时候，计数单位不变。你能用这样的方法，写一写50×40和300×20的思考过程吗？

（学生的思考过程如图3所示）

【赏析】在运算教学中，教师既要让学生掌握算法，还要理解算理。在本教学环节中，大部分学生能掌握30×20的计算方法，即先用两个乘数十位上的数字相乘，再在积的末尾添两个0。至于为什么要添两个0，有些学生不理解，也就是算理不明。朱国荣老师以计数单位为抓手，让学生说出两个乘数的意义，并通过乘法交换律和乘法结合律的应用，让学生理解整十数乘整十数的算理。运算的本质是数数，朱老师通过让学生圈一圈的方式数出结果中有几个百，再次加深了学生对算理的理解。

【片段三】在迁移类推中掌握除法算理

师：接下来看除法，600÷30应该怎么想？

生：30×20＝600，600÷30＝20。

生：6÷3＝2，100÷10＝10，2×10＝10。

师：先把600写成6个百，30写成3个十，接下来用100÷10＝10，6÷3＝2，这个2表示2个十，结果就是20（如图4）。

师：如果是800÷40和9000÷30，你又会怎么想？先独立写一写，写完后和同桌交流。

师：做乘法的时候，计数单位要相乘；做除法的时候，计数单位要相除。除法是乘法的逆运算，所以正好相反。如果是做减法的话，计数单位会怎么样？

生：计数单位的个数要相减，计数单位不变。

师：大家有没有看到一个有趣的规律，乘法和除法是一家，加法和减法是一家，它们都有共同的特点。

【赏析】除法是乘法的逆运算，在学生掌握了整十数乘整十数和整百数乘整十数的计算方法后，朱国荣老师并没有就此止步，而是将整十数、整百数乘整十数的算法迁移到整百数、整千数除以整十数的计算中来。通过整百数、整千数除以整十数的计算，让学生明白：除法的算理和乘法的算理具有一致性，也是用计数单位除以计数单位得到新的计数单位，计数单位的个数除以计数单位的个数得到新的计数单位的个数。无论是加法和减法，还是乘法和除法，都是基于计数单位的运算。

【片段四】在拓展延伸中打好竖式计算基础

师：我们以前学习了3×2＝6，用到了口诀二三得六；我们今天又学习了30×20＝600，还是用到了口诀二三得六，只是要在6的后面添两个0。我把3和30相加，结果是33；2和20相加，结果是22。33×22等于多少？

生：66。

师：可能等于66吗？谁能说说理由？

生：33×22是22个33，2个33是66，22个33不可能是66，要比66大得多。

师：33×22到底等于多少？

生：606。30×20＝600，3×2＝6，600＋6＝606。

师：606对不对？看看图5，你就知道了。

师：这是30×20＝600，如果再加6个，加在这儿。你觉得这个图有没有到33×22？

生：没有。

师：还缺了哪里？

生：6个的上面和左面。

师：我把它们给补上，就是33×22了。谁知道6个的上面缺了几个？

生：一行还要添3个，需要添20行，3×20＝60，所以这里缺了60个。

师：6个的左面缺了几个？

生：一行还要添30个，需要添2行，30×2＝60，6个的左面也缺了60个。

师：老师把刚才思考的过程搬到如下这个表格里，你能看懂吗？

[× 30 3 20 600 60 2 60 6 ]

33×22＝600＋60＋60＋6＝726。

……

【赏析】在两位数乘两位数的计算中，口算是基础，是算理；竖式计算是口算的另一种记录方式，是算法。厘清两位数乘两位数的口算方法是学生掌握两位数乘两位数竖式计算方法的基础。在本教学环节中，朱国荣老师通过画图、列表等方式，一步步追问，让学生明确非整十数的两位数乘两位数的计算方法，培养了学生的运算能力和推理意识，为接下来探究两位数乘两位数的竖式计算打好基础。

（作者单位：江苏省丰县教师发展中心）