椭圆的共轭半径、共轭三角形和共轭圆及其性质

唐宜钟

摘 要：文章定义了椭圆的共轭半径、共轭三角形和共轭圆，并利用椭圆的性质、向量、基本不等式、函数等方法，对相关坐标、面积、弦长平方和圆的半径等定值，相关曲线的轨迹及弦长、夹角的范围（最值）问题进行了证明.

关键词：椭圆；共轭半径；共轭三角形；共轭圆

中图分类号：G632   文献标识码：A   文章编号：1008-0333（2024）13-0052-05

《普通高中数学课程标准》中提到对圆锥曲线“重点提升直观想象、数学运算、数学建模、逻辑推理和数学抽象素养”.其中，椭圆中的弦作为圆锥曲线的重要载体，可以从坐标、夹角、斜率、弦长、面积、最值等多个角度对学生知识进行考查，能进一步加深学生对圆锥曲线定义的理解，训练学生解析几何的解答流程和思维习惯，提升学生的数学运算和逻辑推理能力.在此，我们经常遇到一类两条弦斜率积为-b2a2的有关问题，现就相关线段、三角形和圆及其性质进行探讨.

1 相关定义

定义1 椭圆上任意一点与椭圆中心的连线叫作椭圆的半径.

定义2 ①若椭圆Γ：x2a2+y2b2=1（a>b>0）两条半径的斜率之积为-b2a2，则称它们为椭圆的一对共轭半径；②当一条半径斜率为0，另一条半径斜率不存在时，也称它们为一组共轭半径.即椭圆的半长轴和半短轴也是椭圆的一对共轭半径.

定义3 已知O为原点，OA，OB为椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的两条共轭半径，则称ΔOAB为椭圆的共轭三角形.

2 相关性质

如图1，在椭圆Γ：x2a2+y2b2=1（a>b>0）中，OA，OB为一对共轭半径.当OA，OB不在坐标轴上时，设kOA=k，A（x1，y1），B（x2，y2）.由椭圆的对称性，为叙述方便，不妨设A在第一象限，B在第四象限，或A是上顶点，B是右顶点.

性质1 （1）x2=aby1，y2=-bax1或x2=-aby1，y1=bax1；

（2）x21+x22=a2，y21+y22=b2；

（3）x1y1+x2y2=0；

（4）|x1y2-x2y1|=ab；

（5）x1x2a2+y1y2b2=0.

证明 显然lOA：y=kx.联立x2a2+y2b2=1，y=kx，得

（b2+a2k2）x2=a2b2.

故xA=aba2k2+b2.

故A（aba2k2+b2，abka2k2+b2）.

由kOA·kOB=-b2a2，得kOB=-ba2k.

用-ba2k代替k，得

B（a2ka2k2+b2，-b2a2k2+b2），

显然（1）成立.

x21+x22=a2b2a2k2+b2+a4k2a2k2+b2=a2（a2k2+b2）a2k2+b2=a2，

同理y21+y22=b2，故（2）成立.

x1y1+x2y2=aba2k2+b2·abka2k2+b2+a2ka2k2+b2·-b2a2k2+b2=0，故（3）成立.

|x1y2-x2y1|=|aba2k2+b2·-b2a2k2+b2-a2ka2k2+b2·abka2k2+b2|=ab（a2k2+b2）a2k2+b2=ab，故（4）成立.

x1x2a2+y1y2b2=1a2·aba2k2+b2·a2ka2k2+b2+1b2·abka2k2+b2·-b2a2k2+b2=0，故（5）成立.

性质2 （1）cos∠AOB∈［0，a2-b2a2+b2］；

（2）AB∈［2b，a2+b2］；

（3）SΔAOB=12ab.

证明 （1）OA·OB=aba2k2+b2·a2ka2k2+b2+abka2k2+b2·-b2a2k2+b2=abk（a2-b2）a2k2+b2，|OA|=

（aba2k2+b2）2+（abka2k2+b2）2=a2b2（1+k2）a2k2+b2，

同理|OB|=a4k2+b4a2k2+b2.

故cos∠AOB=OA·OB|OA||OB|

=abk（a2-b2）/（a2k2+b2）ab1+k2·a4k2+b4/（a2k2+b2）

=k（a2-b2）1+k2·a4k2+b4.

令f（k）=k2（a2-b2）2（1+k2）（a4k2+b4），则

f（k）=（a2-b2）2k2a4k4+（a4+b4）k2+b4

=（a2-b2）2a4k2+（a4+b4）+b4/k2.

又a4k2+（a4+b4）+b4k2≥2a4k2·b4k2+a4+b4=（a2+b2）2，当且仅当a4k2=b4k2，即k=ba时取等.

结合对勾函数的单调性可知，f（k）∈（0，（a2-b2）2（a2+b2）2］.

又当OA，OB为椭圆的半短轴和半长轴时，cos∠AOB=0，故cos∠AOB∈［0，a2-b2a2+b2］.即当OA，OB关于x轴对称时，∠AOB最小.

当OA，OB为椭圆的半短轴和半长轴时，∠AOB最大，为π2.

（2）先证明OA2+OB2=a2+b2，由2（1）知

OA2+OB2=a2b2（1+k2）a2k2+b2+a4k2+b4a2k2+b2

=（a2+b2）（a2k2+b2）a2k2+b2

=a2+b2.

（3）又AB2=（x1-x2）2+（y1-y2）2=x21+x22+y21+y22-2（x1x2+y1y2）.

而x1x2+y1y2=abk（a2-b2）a2k2+b2，

令g（k）=abk（a2-b2）a2k2+b2，则

g（k）=ab（a2-b2）a2k+b2/k.

由a2k+b2k≥2a2k·b2k=2ab，当且仅当k=ba时取等号.结合对勾函数的性质可知g（k）∈（0，a2-b22］.

故AB2∈［a2+b2-（a2-b2），a2+b2）.

又OA，OB为椭圆的半短轴和半长轴时，AB2=a2+b2.故AB∈［2b，a2+b2］.

当OA，OB关于x轴对称时，AB最小，为2b.

当OA，OB为椭圆的半短轴和半长轴时，AB最大，为a2+b2.

（3）SΔAOB=12|OA||OB|sin∠AOB

=12|OA||OB|1-cos2∠AOB

=12x21+y21·x22+y22·1-（x1x2+y1y2）2（x21+y21）（x22+y22）

=12（x21+y21）（x22+y22）-（x1x2+y1y2）2

=12（x1y2-x2y1）2=12|x1y2-x2y1|=12ab.

性质3 （1）OA2+OB2=a2+b2；

（2）如图2，OA，OB为椭圆Γ的一对共轭半径，P为OA上一点，过点P作平行于AB的直线交椭圆Γ于C，D两点.当OA，OB确定时，PC2+PD2为定值.

（3）OA，OB为椭圆Γ的一对共轭半径，P为OB上一点，过点P作平行于AB的直线交椭圆Γ于C，D两点，当OA，OB确定时，PC2+PD2为定值[1].

证明 （2）当OA，AB斜率存在时，设P（x0，y0），则kAB=abk+b2ab-a2k=b（ak+b）a（b-ak）.

故lCD：y-kx0=b（b+ak）a（b-ak）（x-x0）.

整理，得y=b（b+ak）a（b-ak）x-a2k2+b2a（b-ak）x0.

令b+ak=s，b-ak=t，a2k2+b2=q，

则y=bsatx-qx0at.

代入椭圆方程并整理，得

b2（s2+t2）x2-2bsqx0x+q2x20-a2b2t2=0.

设C（x3，y3），D（x4，y4），于是

x3+x4=2sqx0b2（s2+t2），

x3x4=q2x20-a2b2t2b2（s2+t2）.

由s2+t2=（b+ak）2+（b-ak）2=2（a2k2+b2）=2q，化简，得

x3+x4=b+akbx0，

x3x4=a2k2+b22b2x20-a2（b-ak）22（a2k2+b2）.

故PC2+PD2=（x1-x0）2+（y1-y0）2+（x2-x0）2+（y2-y0）2=［1+b2（b+ak）2a2（b-ak）2］·［（x1-x0）2+（x2-x0）2］=［1+b2（b+ak）2a2（b-ak）2］·［（x1+x2）2-2x1x2-2x0（x1+x2）+2x20］=［1+b2（b+ak）2a2（b-ak）2］·a2（b-ak）2a2k2+b2=a2+b2-2abk（a2-b2）a2k2+b2.

当AB斜率不存在时，有k=ba，计算可得PC2+PD2=2b2，也符合上式.

当OA，OB为椭圆的半短轴和半长轴时，计算可得PC2+PD2=a2+b2.

综上，PC2+PD2为定值.

（3）当OB斜率存在时，在3（2）中，用-b2a2k代替k得：PC2+PD2=a2+b2+2abk（a2-b2）a2k2+b2.

当OA，OB为椭圆的半短轴和半长轴时，计算可得PC2+PD2=a2+b2.

性质4 （1）以OA，OB为邻边作AOBT，则点T在椭圆x2a2+y2b2=2上；

（2）ΔABT的重心为O，则点T在椭圆x2a2+y2b2=2上；

（3）OT=λOA+μOB，则点T在椭圆Γ上的充要条件是λ2+μ2=1；

（4）OT=λOA+μOB，则点T在椭圆x2a2+y2b2=λ2+μ2上.

证明 （1）设T（x，y），由平行四边形性质知

OT=OA+OB.

故x=x1+x2，y=y1+y2.

故x2a2+y2b2=x21+x22a2+y21+y22b2+2（x1x2a2+y1y2b2）=2.

（2）由重心性质知，OT=-（OA+OB），结合（1）得证.

（3）仅证必要性.设T（x0，y0），故

x0=λx1+μx2，y0=λy1+μy2.

点T在椭圆Γ上，则x20a2+y20b2=1.

又x21a2+y21b2=1，x22a2+y22b2=1，则

λ2x21+μ2x22a2+λ2y21+μ2y22b2+2λμ（x1x2a2+y1y2b2）=λ2（x21a2+y21b2）+μ2（x22a2+y22b2）=λ2+μ2.

故λ2+μ2=1.

（4）设T（x，y），故x=λx1+μx2，y=λy1+μy2.所以x2a2+y2b2=λ2x21+μ2x22a2+λ2y21+μ2y22b2+2λμ（x1x2a2+y1y2b2）=λ2（x21a2+y21b2）+μ2（x22a2+y22b2）=λ2+μ2.

性质5 （1）如图3，T（x0，y0）为椭圆Γ上任意一点，以T为圆心的圆与两条共轭半径都相切的充要条件是圆T的半径为定值a2b2a2+b2[2].我们称以椭圆上任意一点为圆心，a2b2a2+b2为半径的圆为椭圆共轭圆.

（2）ΔAOB对应共轭圆的圆心为∠AOB的角平分线与椭圆的交点.

（3）共轭圆的半径等于椭圆“基圆”的半径.

证明 （1）仅证必要性.当OA，OB为椭圆的半短轴和半长轴时，记圆T的半径为r，则x20=y20=r2.

又点T在椭圆上，故r2a2+r2b2=1，1r2=1a2+1b2.

故r=a2b2a2+b2.

当OA，OB斜率存在时，记kOA=k1，kOB=k2，

由圆T与OA相切，得|k1x0-y0|k21+1=r.

即（x20-r2）k21-2x0y0k1+（y20-r2）=0.

同理，（x20-r2）k22-2x0y0k2+（y20-r2）=0.

故k1，k2是方程（x20-r2）k2-2x0y0k+（y20-r2）=0的两个根.

由韦达定理，得k1k2=y20-r2x20-r2.

则y20-r2x20-r2=-b2a2.

即（a2+b2）r2=b2x20+a2y20=a2b2.

故r2=a2b2a2+b2.

即r=a2b2a2+b2.

（2）由角平分线的性质即证.

（3）椭圆的“基圆”为x2+y2=a2b2a2+b2[3]，故椭圆的共轭圆与椭圆“基圆”等半径，且它们有着类似的性质：从椭圆Γ上任意一点T（x0，y0）引基圆x2+y2=a2b2a2+b2的两条斜率存在的直线l1，l2，其斜率为k1，k2，则k1k2=-b2a2.其证明类似于5（1）的证明，此处略.

3 结束语

椭圆的共轭半径、共轭三角形等是常见的圆锥曲线构型.在平时学习中，要合理利用这些常见构型训练基本功.基本功不仅包括解析几何中基本量的计算和基本公式的运用，也包括与其相关的向量、函数、最值的计算，还包括整体代换、同构等计算技巧的使用.如在性质1中计算直线与椭圆的交点坐标，在性质3中计算弦长，都是圆锥曲线的基本计算.在性质2中利用向量计算夹角的余弦值，利用基本不等式和函数计算最值，则属于与解析几何相关的其他计算.在性质4中特殊定值的取得，性质5中利用同构法证明结论，则属于计算技巧的使用.

在熟练掌握这些基本运算的前提下，我们可以尝试用相同的方法将相关性质推广至其他圆锥曲线.在论证过程中，看看哪些计算技巧仍可使用，哪些计算技巧需要改造使用，哪些过程需要另辟蹊径.在结论上，看看哪些性质依旧成立，哪些性质有着“形似”或“神似”的改变，哪些性质不成立.再探究计算技巧及性质能够成立或者不成立的原因，尝试从其他角度去证明或者理解问题.

熟练掌握了相关构型，在处理相关题目时，能够从正反两方面快速识别模型，寻找解题路径，预知问题结果.

总之，椭圆的共轭半径、共轭三角形、共轭圆等构型，能够训练我们的基本功，使我们能够快速识别并解决相关问题，逐步加深对数学本质的理解.

参考文献：

［1］

李鸿昌.高考题的高数探源与初等解法[M].合肥：中国科学技术大学出版社，2022.

［2］ 张乃贵.椭圆共轭半径的三个新命题[J].中学数学研究（华南师范大学版），2015（21）：39-40.

［3］ 陈伟.椭圆的基圆及其性质[J].数学通报，2016，55（12）：46.

［责任编辑：李 璟］