2024年普通高等学校招生全国统一考试数学新模式模拟卷

李昌成

中图分类号：G632   文献标识码：A   文章编号：1008-0333（2024）13-0100-08

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间［0，10］内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高.现随机抽取10位北京市民，他们的幸福感指数为3，4，5，5，6，7，7，8，9，10，则这组数据的75%分位数是（  ）.A.7  B.7.5  C.8  D.8.52.设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，若|AB|是实轴长的2倍，则C的离心率为（  ）.

A.2  B.3  C.2  D.3

3.已知an是等比数列，a2=2，a5=14，则a1a3+a2a4+…+anan+2=（  ）.

A.16（1-4-n）    B.16（1-2-n）

C.163（1-2-n）D.163（1-4-n）

4.如图1所示，AB是⊙O的直径，VA垂直于⊙O所在的平面，点C是圆周上不同于A，B的任意一点，M，N分别为VA，VC的中点，则下列结论正确的是（  ）.

A.MN∥AB    B.MN与BC所成的角为45°

C.OC⊥平面VACD.平面VAC⊥平面VBC

5.某学校邀请高二年级6个班级的部分家长开座谈会，高二（1）班有2名家长到会，其余5个班级各有1名家长到会.会上任选3名家长发言，则发言的3名家长来自3个不同班级的可能情况的种数为（  ）.

A.15  B.30  C.35  D.42

6.已知点P（x，y）在圆x2+y2-10x-10y+45=0上，则2x2-xy-yx的最小值为（  ）.

A.-2  B.-1  C.0  D.1

7.2cos48°-23sin36°cos36°cos27°-sin27°=（  ）.

A.22  B.1  C.-1  D.-22

8.过抛物线y2=2px（p>0）的焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，且AF=2FB，抛物线的准线l与x轴交于C，△ACF的面积为82，则|AB|=（  ）.

A.6  B.9  C.92  D.62

二、多选题（本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求）

9.若z1，z2是关于x的方程x2-2x+2=0的两个虚根，则（  ）.

A.z1=z-2     B.z21+z22>0

C.（z1+z2）2>0D.z21·z22>0

10.已知定义在R上的函数f（x）满足：2f（x）f（y）=f（x+y）+f（x-y），某同学由此前提条件出发，然后又补充一个附加条件，再经过推理，他得出下列四个选项结论，其中可能正确的有（  ）.

A.若f（0）=0时，f（x）是奇函数且一定是单调增函数;B.若f（0）=1，f（x）是偶函数且有最大值为1;

C.若f（π3）=12，则f（π4）=22;

D.若f（1）=12，则f（100）=-12.

11.已知函数f（x）=tan（ωx+φ）（ω>0，0<φ<π2）的图象关于点（π6，0）成中心对称，且与直线y=a的两个相邻交点间的距离为π2，则下列叙述正确的是（  ）.

A.函数f（x）的最小正周期为π

B.函数f（x）的图象的对称中心为（kπ4+π6，0）（k∈Z）

C.函数f（x）的图象可由y=tan2x的图象向左平移π6个单位得到

D.函数f（x）的单调递增区间为（kπ2-π3，kπ2+π6）（k∈Z）

三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）

12.设集合P={x|x=3k+1，k∈Z}，Q={x|x=3k-1，k∈Z}，则c

Z（P∪Q）=.

13.如图2，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，DB⊥AB，AB=DB=BP=PC=2.记四面体P-BCD的外接球的球心为O，M为球O表面上的一个动点，当∠MAO取最大值时，四面体M-ABD体积的最大值为.

14.已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在［0，+∞）上单调递增，若对任意x∈R，不等式f（a+x-b）≥f（x-2x-1）（a，b∈R）恒成立，则2a2+b2的最小值是.

四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.已知函数f（x）=ax2-lnx-axx，a∈R.

（1）若x=1是f（x）的极值点，求函数f（x）的单调性；

（2）若1

16.一盒中有9个正品零件和3个次品零件，安装机器时从这批零件中随机抽取，若取出的是次品则不放回，求在第一次取到正品之前已取出的次品数X的分布列和均值.

17.如图3，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，AD=2且PA=AB=BC=1，PA⊥平面ABCD.

（1）求PA与平面PCD所成角的正弦值；

（2）棱PD上是否存在一点E，满足∠AEC=90°？若存在，求AE的长；若不存在，说明理由.

18.已知双曲线C与双曲线x212-y23=1有相同的渐近线，且过点A（22，-1）.

（1）求双曲线C的标准方程;

（2）已知D（2，0），E，F是双曲线C上不同于D的两点，且DE·DF=0，DG⊥EF于点G，证明：存在定点H，使|GH|为定值.

19.已知数列an的前n项和为Sn，满足Sn=1-an，数列bn满足b1=1，bn+1=bn+n-2.

（1）求数列an，bn的通项公式；

（2）cn=an，n为奇数，log2an，n为偶数（n∈N*），求数列cn的前n项和Tn；

（3）对任意的正整数m，是否存在正整数k，使得am>bk恒成立？若存在，请求出k的所有值；若不存在，请说明理由.

参考答案

1.数据3，4，5，5，6，7，7，8，9，10共10个，且10×75%=7.5，所以分位数是第8个数，为8.

故选C.

2.不妨设双曲线C：x2a2-y2b2=1，焦点F（-c，0），对称轴y=0.

由题设知c2a2-y2b2=1，y=±b2a.

所以2b2a=4a.

即b2=2a2，c2=3a2.

所以e=ca=3.

故选B.

3.设等比数列{an}的公比为q，因为a2=2，a5=14，所以q3=a5a2=18，q=12.

所以an+1an+3anan+2=q2=14.

所以数列{anan+2}为等比数列，公比为14，首项为a1a3=a22=4.所以a1a3+a2a4+…+an+an+2=4［1-（1/4）n］1-1/4=163（1-4-n）.

故选D.

4.因为M，N分别为VA，VC的中点，

所以MN∥AC.

又因为AC∩AB=A，所以MN和AB不可能平行，排除A;

因为MN∥AC，BC⊥AC，所以BC⊥MN，排除B;

因为∠OCA≠90°，所以OC和平面VAC不垂直，排除C；

因为VA⊥平面ABC，BC平面ABC，

所以VA⊥BC.

又因为BC⊥AC，VA∩AC=A，VA，AC平面VAC，所以BC⊥平面VAC.

因为BC平面VBC，所以平面VBC⊥平面VAC，故D正确.故选D.

5.若高二（1）班有家长发言，共有C12C25种；若高二（1）班没有家长发言，共有C35种，所以发言的3名家长来自3个不同班级的可能情况的种数共有C12C25+C35=30种.

故选B.

6.圆的方程可化为（x-5）2+（y-5）2=5，所以圆心为（5，5），半径为5.易得直线y=2x与圆（x-5）2+（y-5）2=5相切，且切点为（3，6），此时2x-y的值最小，yx的值最大，如图4.

此时2x2-xy-yx=2x-y-yx=-2.

即2x2-xy-yx的最小值为-2.

故选A.

7.2cos48°-23sin36°cos36°cos27°-sin27°

=2cos（90°-42°）-3sin72°2［（2

/2）cos27°-（2

/2）sin27°］

=2sin42°-3sin72°2cos（27°+45°）

=2sin（72°-30°）-3sin72°2cos72°

=2［（3/2）sin72°-（1/2）cos72°］-3sin72°2cos72°

=-cos72°2cos72°=-22.

故选D.

8.设直线AB的方程为x=ty+p2（t≠0），代入抛物线方程y2=2px中，得

y2-2pty-p2=0.

设A（x1，y1），B（x2，y2），不妨假设y1>0，y2<0，则有y1+y2=2pt，y1y2=-p2（*）.

由AF=2FB，得

（p2-x1，-y1）=2（x2-p2，y2）.

于是有y1=-2y2.

代入（*）式中，整理得到y1=2p.

因为△ACF的面积为82，

所以12py1=82.

即py1=162.

结合上式解得p=4，y1=42，y2=-22.

由y1+y2=2pt，解得t=24.

由抛物线的定义可得

|AB|=x1+x2+p

=t（y1+y2）+2p

=24×22+2×4=9.

故选B.

9.因为Δ=（-2）2-4×1×2=-4，所以方程x2-2x+2=0的两个虚根为x=2±2i2=1±i.不妨设z1=1+i，z2=1-i，则z1=z-2，故A正确；

z21+z22=（1+i）2+（1-i）2=2i+（-2i）=0，故B错误；

（z1+z2）2=22=4>0，故C正确；

z21·z22=2i·（-2i）=-4i2=4>0，故D正确.

故选ACD.

10.由已知关系式2f（x）f（y）=f（x+y）+f（x-y）（x，y∈R），对于A，因为f（0）=0，故令x=0，得2f（0）f（y）=f（y）+f（-y）.

则f（-y）=-f（y）.

所以f（x）是奇函数.

令x=1，y=0，得

2f（1）f（0）=f（1+0）+f（1-0）.

则f（1）=0.

又f（0）=0，故一定是单调增函数是错误的，故A错误;

对于B，因为f（0）=1时，令x=0，则

2f（0）f（y）=f（y）+f（-y）.

进而有f（-y）=f（y）.

所以f（x）是偶函数.

此时不妨取f（x）=cosx，显然有

cos（x+y）+cos（x-y）=2cosxcosy.

即满足2f（x）f（y）=f（x+y）+f（x-y）（x，y∈R），且f（x）=cosx有最大值1.

故B能成立.

对于C来说，f（x）=cosx显然满足题意，则f（π4）=22，故C能成立.

对于D，因为f（1）=12，特取y=1，则2f（x）f（1）=f（x+1）+f（x-1）（x，y∈R）.进而有f（x）=f（x+1）+f（x-1）.

整理，得f（x+1）=f（x）-f（x-1），①

且有f（x+2）=f（x+1）-f（x），②

由①②，得f（x+2）=-f（x-1）.

推得f（x+3）=-f（x）.

又得f（x+6）=f（x）.

因为f（x）是最小正周期为6的周期函数，根据f（1）=12，特取x=1，y=0，则

2f（1）f（0）=f（1）+f（1）.

得f（0）=1.

再取x=0，y=1，即

2f（0）f（1）=f（1）+f（-1）.

解得f（-1）=f（1）=12.

令x=-1，y=1，于是

2f（-1）f（1）=f（0）+f（-2），

解得f（-2）=2×12×12-2=-12.

所以f（100）=f（6×17-2）=f（-2）=-12.故D成立.

故选BCD.

11.因为直线y=a的两个相邻交点间的距离为π2，所以函数f（x）的最小正周期为π2.

所以ω=ππ/2=2.

所以函数f（x）的最小正周期为π2，故A错；

因为图象关于点（π6，0）成中心对称，所以2×π6+φ=kπ2，k∈Z.

因为0<φ<π2，所以φ=π6.所以函数f（x）的解析式为

f（x）=tan（2x+π6）.

令2x+π6=π2+kπ2（k∈Z），解得x=kπ4+π6（k∈Z）.即函数f（x）的图象的对称中心为（kπ4+π6，0）（k∈Z），故B正确；

因为f（x）=tan（2x+π6）=tan［2（x+π12）］，所以函数f（x）的图象可由y=tan2x的图象向左平移π12得到，故C错；

因为-π2+kπ<2x+π6<π2+kπ，k∈Z，解得kπ2-π3

故选BD.

12.P={x|x=3k+1，k∈Z}，表示被3除余数为1的整数构成的集合，Q={x|x=3k-1，k∈Z}={x|x=3n+2，n∈Z}，表示被3除余数为2的整数构成的集合.故P∪Q表示被3除余数为1或余数为2的整数构成的集合.

所以c

Z（P∪Q）={x|x=3k，k∈Z}.

13.依题可得，四面体P-BCD的外接球的球心O为BC中点，外接球半径r=2，要使∠MAO取到最大值，则∠AMO=90°.

即AM与球O相切时，sin∠MAO=rAO.

在△ABO中，AO2=AB2+BO2-2AB·BO·

cos∠ABO=4+2-2×2×2×cos135°=10，

所以AO=10.

所以sin∠MAO=rAO=210=55.

所以AM=AO2-r2=10-2=22.

如图5，过点M作MH⊥AO，垂足为点H，所以点M在以H为圆心MH为半径的圆上.

又MH=AM·sin∠MAO=22×55=2105，

所以四面体M-ABD体积的最大值为

13·S△ABD·MH=13×12×2×2×2105

=41015.

14.因为f（x）是偶函数，且在［0，+∞）上单调递增，所以a+x-b≥x-2x-1.

令g（x）=a+x-b，h（x）=x-2x-1，则g（x）图象恒在h（x）图象上方或重合.

易知当a<0时，g（x）图象不可能恒在h（x）图象上方或重合，所以a≥0.

则g（x）=a+x-b=a+x-b，最低点为（b，a），h（x），g（x）的图象如图6所示.

由图象可知：点（b，a）在y=|x-2|的图象上或图象上方，则a≥b-2，即a2≥b-22.所以2a2+b2≥2b-22+b2=3b2-8b+8=3（b-43）2+83≥83.

则2a2+b2的最小值是83.

15.（1）f ′（x）=a-1-lnxx2=ax2+lnx-1x2，x>0.

因为x=1是f（x）的极值点，所以f ′（1）=0，可得a=1.

所以f（x）=x-lnxx-1，

f ′（x）=x2+lnx-1x2.

因为y=x2+lnx-1在（0，+∞）上单调递增，且x=1时，y=0，所以01时，x2+lnx-1>0，

f ′（x）>0，f（x）单调递增.

故f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增.

（2）由f（x）≤0得a（x-1）-lnxx≤0.

因为1

所以a≤lnxx（x-1）.

设g（x）=lnxx（x-1），则

g′（x）=x-1-（2x-1）lnxx2（x-1）2.

令h（x）=x-1-（2x-1）lnx，则

h′（x）=1-（2x-1）·1x-2lnx

=1x-2lnx-1.

显然h′（x）在（0，+∞）内单调递减，且h′（1）=0.所以1

则h（x）

即g′（x）<0.

所以g（x）在（1，e）内单调递减.

从而g（x）>g（e）=1e（e-1）.

所以a≤1e（e-1）.

16.随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3.

X=0表示第一次取到正品，则

P（X=0）=A19A112=34，

X=1表示第一次取到次品，第二次取到正品，则

P（X=1）=A13A19A212=944.

同理，可求得P（X=2）=A23A19A312=9220，

P（X=3）=A33A19A412=1220.

因此随机变量X的分布列为

X0123

P349449220

1220

所以随机变量X的均值E（X）=0×34+1×944+2×9220+3×1220=66220=310.

17.（1）因为∠BAD=90°，PA⊥平面ABCD，

所以以A为坐标原点，以AB，AD，AP所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图7所示的空间直角坐标系A-xyz.

则P（0，0，1），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0）.从而PA=（0，0，-1），PC=（1，1，-1），PD=（0，2，-1）.

设平面PCD的法向量为n=（a，b，c），

则n·PC=0，n·PD=0.

所以a+b-c=0，2b-c=0.

取a=1，得b=1，c=2.

所以平面PCD的一个法向量n=（1，1，2）.

设直线PA与平面PCD的夹角为θ，则PA与平面PCD所成角的正弦值为

sinθ=|cos|=-21×6=63.

（2）设PE=λPD（0≤λ≤1），

则E（0，2λ，1-λ）.

所以CE=（-1，2λ-1，1-λ），

AE=（0，2λ，1-λ）.

若∠AEC=90°，则

AE·CE=2λ（2λ-1）+（1-λ）2=0，

此方程无解，故在棱PD上不存在一点E，满足∠AEC=90°.

18.（1）因为双曲线C与已知双曲线有相同的渐近线，设双曲线C的标准方程为x2-4y2=λ（λ≠0），代入点A坐标，解得λ=4.

所以双曲线C的标准方程为x24-y2=1.

（2）（ⅰ）当直线EF斜率存在时，设EF：y=kx+m，设E（x1，y1）F（x2，y2），联立y=kx+m与双曲线x24-y2=1，化简得

（4k2-1）x2+8kmx+4（m2+1）=0，

△=（8km）2-4（4m2+4）（4k2-1）>0，

即4k2-m2-1<0.

则有x1+x2=-8km4k2-1，x1x2=4m2+44k2-1.

又y1y2=（kx1+m）（kx2+m）

=k2x1x2+km（x1+x2）+m2，

因为DE·DF=（x1-2）（x2-2）+y1y2=0，

所以（k2+1）·x1x2+（km-2）·（x1+x2）+m2+4=0.

所以（k2+1）·4m2+44k2-1+（km-2）·-8km4k2-1+m2+4=0.

化简，得3m2+16km+20k2=0.

即（3m+10k）（m+2k）=0.

所以m1=-2k，m2=-103k，且均满足4k2-m2-1<0.

当m1=-2k时，直线l的方程为y=k（x-2），直线过定点（2，0），与已知矛盾，当m2=-103k时，直线l的方程为y=k（x-103），过定点（103，0）.

（ⅱ）当直线EF斜率不存在时，由对称性不妨设直线DE：y=x-2，与双曲线C方程联立解得xE=xF=103，此时EF也过点M（103，0）.

综上，直线EF过定点M（103，0）.

由于DG⊥EF，所以点G在以DM为直径的圆上，故当H为该圆圆心，即点H为DM的中点时，|GH|为该圆半径，即

|GH|=12DM.

所以存在定点H（83，0），使|GH|为定值23.

19.（1）在数列an中，当n=1时，a1=12，当n≥2时，由Sn=1-an，Sn-1=1-an-1，得an=12an-1.

所以数列an是以12为首项，12为公比的等比数列.

即an=12n（n∈N*）.

在数列bn中，当n≥2时，有

b2-b1=-1，b3-b2=0，……bn-bn-1=n-3.

叠加，得

bn-b1=-1+0+…+n-3.

所以bn=b1+（n-1）（n-4）2=n2-5n+62.

当n=1时，b1=1也符合上式.

所以bn=n2-5n+62（n∈N*）.

（2）由题意，得cn=12n，n为奇数，-n，n为偶数，

当n为偶数时，Tn=（c1+c3+…+cn-1）+（c2+c4+…+cn）=（12+18+…+12n-1）+（-2-4-…-n）

=23（1-12n）-n（n+2）4.

当n为奇数时，Tn=（c1+c3+…+cn）+（c2+c4+…+cn-1）=（12+18+…+12n）+（-2-4-…-n+1）=23（1-12n+1）-n2-14.

（3）对任意的正整数m，有0

假设存在正整数k，使得am>bk，则bk≤0.

令bk=k2-5k+62≤0，

解得2≤k≤3.

又k为正整数，所以k=2或3满足题意.

［责任编辑：李 璟］