两道物体脱离轨道试题研究

张蓓 周家本 姜付锦

摘 要：本文对《物理教师》中两篇论文进行深入分析与理论计算，发现：文献［1］中滑块不可能在脱离轨道后，在轨道最低点与轨道发生弹性碰撞反弹到轨道的左边，继续在轨道上运动；文献［2］中结果存在错误，通过分析与对比给出了正确的答案，完善了小球脱离椭圆面的分析结果.

关键词：光滑轨道；脱离；椭圆面；卡尔丹公式

中图分类号：G632   文献标识码：A   文章编号：1008-0333（2024）13-0114-03

《物理教师》中有两篇关于物体运动过程中脱离轨道试题的论文，但是笔者通过严格的推导与分析，发现这两篇论文结论有待商榷，以下为分析过程，请各位同仁批评指正.

1 问题一[1]

如图1所示，装置由一理想弹簧发射器及两个轨道组成.其中轨道Ⅰ由光滑轨道AB与粗糙直轨道BC平滑连接，高度差分别是h1=0.2 m、h2=0.10 m，BC水平距离L=1.00 m.轨道Ⅱ由AE、螺旋圆形EFG和GB三段光滑轨道平滑连接而成，且A点与F点等高.当弹簧压缩量为d时，恰能使质量m=0.05 kg的滑块沿轨道Ⅰ上升到B点；当弹簧压缩量为2d时，恰能使滑块沿轨道Ⅰ上升到C点.（已知弹簧弹性势能与压缩量的平方成正比）

（1）当弹簧压缩量为d时，求弹簧的弹性势能及滑块离开弹簧瞬间的速度大小；

（2）求滑块与轨道BC间的动摩擦因数；

（3）当弹簧压缩量为d时，若沿轨道Ⅱ运动，滑块能否上升到B点？请通过计算说明理由

参考文献［1］中对第（3）问提出疑问，认为滑块可能与轨道最低点发生弹性碰撞，最后通过反弹到达轨道的左边，继续进行圆周运动，具体情况如下图2、3、4所示：

若只从定性角度来分析，图2中滑块在P点脱离圆轨道做斜抛运动，可能落在轨道最低点O，同理图3、图4中均有可能，但是真实情况到底是怎样的？笔者以为只能通过定量计算来证明.

1.1 理论依据（以图2为例）

设轨道半径为r，脱离点为P，P点的速度为v，连接O′P与水平面的夹角为θ，由机械能守恒定律得

E弹+mgr1-sinθ=12mv①

脱离点恰好无弹力，由向心力公式得

mgsinθ=mvr②

从脱离时开始计时，经过时间t，滑块的坐标为

x=rcosθ-vtsinθ③

y=r+rsinθ+vtcosθ-12gt④

因为抛物线经过原点，所以有

x=y=0⑤

E弹=mgh1⑥

联立①-⑥式整理成以下四个方程

由?式求得

sinθ=-1或sinθ=12?

若sinθ=-1，则r=-25h1，v=±g，t=0?若sinθ=12，

则r=-4h1，v=±-2g，t=±-24h1g?

由??两式可知，这些解没有物理意义，故滑块不会落在圆轨道低点.

1.2 数值模拟计算

笔者尝试用MathCAD来分析，设sinθ=x，则解方程组如图5所示.

gh1+gr-rsinθ=v2⑦

grsinθ=v⑧

rcosθ=vt·sinθ⑨

r+rsinθ+vtcosθ=g2t⑩

联立⑦⑧两式得

h1+r=32rsinθ?

联立⑧⑨⑩三式得

r1+sinθ=gt（12-sinθ）?联立⑧⑨两式得

t=r（1-sinθ）gsin3θ?

联立??两式得

sinθ+12sinθ-12=0?

上行右边每一行为一组解，共6组解，每一行从左向右依次为v，sinθ，r，t的解，可以发现没有一组有物理意义的解，这与??两式的解吻合，所以参考文献［1］中假设2不成立，即小球不可能斜抛后落在最轨道的最低点.

2 问题二

如下图6所示，已知椭圆的方程为x2a2+y2b2=1，设小球在A点脱离光滑椭圆面，求小球脱离光滑椭圆面时位置？

2.1 参考文献［2］中的分析

椭圆的参数方程为

x=acosθ，y=bsinθ?分别对x与y关于θ求一阶、二阶导数，得

x′θ=-asinθ，x″θ=-acosθ?

y′θ=bcosθ，y″θ=-bsinθ?

那么，y关于x的一阶导数为

图6 小球在椭圆上运动

y′x=y′θx′θ=-bcosθasinθ?

A点的曲率半径为

ρ=［x′θ+y′θ］3/y″θx′θ-x″θy′θ

=［asinθ+bcosθ］3/ab?

又tanα=y′x=-bcosθasinθ，则?

cosα=asinθ［asinθ+bcosθ］/?

从最高点到A点机械能守恒，有

mgb-y=12mv?

在A点脱离的条件为

mgcosα=mvρ?

联立B22B24B25?四式得

sinθ3+3b2a2-b2sinθ-2b2a2-b2=0?原文给出的解析解为

sinθ=3b2a2-b2［31+a2-2b2a2-b2+31-a2-2b2a2-b2］?

即初速度为零的小球不可能一直沿光滑椭圆面运动下去，且将在以上确定位置脱离椭圆面［2］.

2.2笔者的分析

若曲面是光滑椭圆面，则参考文献［1］中的一元三次方程如下：

sinθ3+3b2a2-b2sinθ-2b2a2-b2=0?

其判别式

Δ=q2+p33=b2a2-b2+b2a2-b3?所以有一个实根和两个复根，由卡尔丹公式得此实根为

sinθ=3-q2+Δ+3-q2-Δ?

进一步化简后得

sinθ=3b2a2-b2［31+a2a2-b２

+31-a2a2-b2］?

参考文献［1］中的分析错在判别式应该是Δ=q2+p33=b2a2-b2+b2a2-b3，而不是Δ=q2+p33=b2a2-b2-b2a2-b3，故参考文献［1］中的解析有错误.

若椭圆长短轴互换，即a、b互换，式B32形式不变. 2.3 另一种分析方法

如下图7所示，设小球从最高点y0=b静止出发，求得[2]

图7 小球在椭圆上运动位置图

y′=-b2xa2y，fx=b-y1+b2xa2y=ay（b-y）b4+（a2-b2）y2（40）

由于f′（x）=0，得到

ky=a2-b2y3+3b4y-2b5=0（41）

由于k0=-2b5<0，kb=a2b3>0，所以在［0，b］上y必然有实解，即存在脱离点.

因为k0=0，所以其可化为三次方程标准形式：

y3+3b4a2-b2y-2b5a2-b2=0（42）

其判别式

Δ=q2+p33=b5a2-b2+b4a2-b3（43）

有一个实根和两个复根，由卡尔丹公式得此实根为：

y=3-q2+Δ+3-q2-Δ（44）

进一步化简后得，

y=3b5a2-b2+b5a2-b2+b4a2-b3+3b5a2-b2-b5a2-b2+b4a2-b3（45）

因为y=bsinθ，求得

sinθ=3b2a2-b2［31++31-］（46）

与式（39）是吻合，故参考文献［1］中的解析解有错误.

3 结束语

综上所述，可以发现参考文献［1］中的方程组没有实数解，所以原文中假设2不成立，滑块不可能斜抛后落在最轨道的最低点O；高考题所给的解析没有问题，若R≤0.4 m，滑块可以通过最高点达到B点，若R>0.4 m，滑块不能通过最高点达到B点，高考题参考答案正确！通过以上分析不难发现：牛顿运动定律是一种因果律，受力是原因，运动是结果.一个物体受什么样的力就有什么样的运动，反过来物体有什么样的运动，就需要受什么样的力，这二者之间紧密联系在一起.当我们对某个分析产生疑问时，可以从正反两个方向去推理认证，若正反两个方面吻合，则说明分析没有问题，否则分析就有问题；参考文献［2］小球在光滑椭圆面由静止开始下滑，当小球运动椭圆面上某一位置会脱离椭圆面，这个位置的解要用到一元三次方程的根——卡尔丹公式，原文中的参考答案有误.

参考文献：

［1］ 王金聚.对2016年浙江省小高考物理选考卷第20题的商榷[J].物理教师，2016（8）：88-89.

［2］ 陈科.小球能一直沿光滑曲面运动下去吗？[J].物理教师 2015（7）：62，64.

［责任编辑：李 璟］