例谈高考数学试题中比较大小问题的求解策略

邓善营

摘 要：以近几年高考全国卷中比较大小问题为例，通过结构分析、解析归纳，整理总结出比较大小的一些常用方法，提升学生解决问题的能力和核心素养.

关键词：比较大小；中间值；放缩；构造函数

中图分类号：G632   文献标识码：A   文章编号：1008-0333（2024）13-0068-03

近几年，高考数学全国卷选择题多次考查“利用函数性质比较大小”这方面的内容，这些题目有些较易但大部分较难，处于选择题的压轴或者次压轴的位置，学生不易掌握.比较大小题型解法灵活多变，通过研究近几年高考试题，笔者认为解决这类问题的方法除了常用的差值比较、商值比较外，还有利用中间值比较法、同倍放大比较法、常见不等式放缩比较法、构造辅助函数比较法等.

1 利用函数的单调性或者图象比较大小

例1 若a=log52，b=log83，c=12，则（  ）.

A.c

解析 因为c=12=log55>log52=a，c=12=log88

例2 已知a=243，b=425，c=2513，则（  ）.

A.b

解析 因为a=243=423>425=b，c=2513>1613=a，所以b

故选A.

点评 对于指数结构、对数结构的数的大小比较，一般优先考虑是否能化为同底数或者同指数（真数），若能则利用函数的单调性或者图象比较大小.

2 同倍放大比较大小

对于本文例2中a与c的大小比较也可以采用“同倍放大”的方法比较，把a与c同时3次放大，将无理数a与c大小转化为有理数24=16与25进行比较.对于本文例1中的a，b，c的大小比较，我们可以同时放大2倍转化为2a=log54<1，2b=log89>1，2c=1进行比较.

点评 一般比较大小问题中不同数值的差异都不大，为了发现其差异性可以采用同倍放大到有明显差异或把无理数转化为有理数进行比较大小.

3 利用中间值比较大小

3.1 利用常见中间值0与1比较大小

例3 （2019年高考全国Ⅰ卷数学理科第3题）已知a=log20.2，b=20.2，c=0.20.3，则（  ）.

A.a

解析 因为a=log20.220=1，0

3.2 利用12，14，34等中间值比较大小

例4 已知55<84，134<85，设a=log53，b=log85，c=log138，则（  ）.

A.a

解析 选择从已知条件55<84入手，两边取以8为底的对数，得log855

又因为b=log85，所以5b<4，可得b<45.

同理，由134<85，得log13134

即4<5log138.

又因为c=log138，所以4<5c，可得45

故b<45

接下来可以比较a与b或a与c的大小.

观察发现a，b都是0到1之间的数，类比二分法，尝试把这两个数与12比较.12=log55

尝试将这两个数与中间值34作比较，34=log5534与a=log53比较，结合函数的单调性转化为534与3的大小比较.采用同倍放大比较，同时取4次方得53=125>81=34，所以534>3.所以log5534>log53，即34>a.

同理34=log8834与b=log85作比较，结合函数的单调性转化为834与5的大小比较.采用同倍放大比较，同时取4次方得83=512<625=54，所以834<5，所以log8834

故选A.

点评 对于指数、对数等不同类型的数的大小比较，常用0，1，12，14，34等中间值比较大小.此题在运用中间值比较大小时采用了同倍放大的比较方法，将指数型无理数的比较大小转化为可计算的有理数比较大小.

4 利用常见不等式放缩比较大小

4.1 利用均值不等式放缩比较大小

对于本文例4中a=log53与b=log85大小比较也可以采用均值不等式进行放缩比较.

ab=log53log85=lg3lg5·lg8lg5<1（lg5）2·（lg3+lg82）2=（lg3+lg82lg5）2=（lg24lg25）2<1，所以a

点评 作差法、作商法属于比较大小问题的通法，但是本题作商后放缩变形用到了均值不等式，这需要较强的逻辑推理能力.

4.2 利用糖水不等式放缩比较大小

对于本文例4中a=log53与b=log85大小比较也可以用糖水不等式aba>0，m>0）进行放缩比较[1].

a=ln3ln5

=

ln5ln8log85=b.

所以a

4.3 利用切线放缩不等式比较大小

例5 （2022年新高考全国Ⅰ卷数学理科第7题）设a=0.1e0.1，b=19，c=-ln0.9，则（  ）.

A.a

解析 利用常用三个不等式①x+1

首先比较b与c的大小：因为c=-ln0.9=

ln109=ln（1+19）<19，所以c

其次比较a与b的大小：a=0.1e0.1<0.1×11-0.1=19，所以a

最后比较a与c的大小：a=0.1e0.1>0.1×（1+0.1）=0.11，c=ln109=12（109-910）=19180<0.11[2]，所以a>c.

综上所述，c

故选C.

点评 当条件中出现以e为底数的对数、指数，可通过切线放缩，化超越式为有理式进行比较大小，做题时要注意放缩的尺度，结合差比法、商比法综合分析.

5 构造函数比较大小

对于本文例5中比较a=0.1e0.1，b=19，c=-ln0.9的大小也可以通过构造函数，利用函数的性质比较大小.

解析 a=0.1e0.1，b=19=0.10.9=0.11-0.1，c=-ln0.9=-ln（1-0.1），从数值0.1寻找a，b，c之间的联系.

令x0=0.1，构造函数f（x）=xex，g（x）=-ln（1-x），m（x）=x1-x，将a=f（0.1），c=g（0.1），b=m（0.1）的比较大小问题转化为f（x），g（x），m（x）在x=0右侧的大小关系.

令h（x）=f（x）-g（x）=xex+ln（1-x），x∈（0，0.1］，则

h′（x）=（x+1）ex+1x-1=ex（x2-1）+1x-1.

令q（x）=ex（x2-1）+1，

q′（x）=ex（x2+2x-1）<0，x∈（0，0.1］，

即q（x）单调递减.

所以q（x）

所以h′（x）>0，h（x）单调递增，所以h（0.1）>h（0）=0，即f（0.1）>g（0.1），即a>c[2].

用类似的方法可以比较出a

点评 本题从0.1入手，找到三个数之间的联系，构造函数体现了数学抽象素养和数学建模能力.

例6 （2020年高考全国Ⅰ卷数学理科第12题）若2a+log2a=4b+2log4b，则（  ）.

A.a>2b B.a<2b C.a>b2 D.a

解析 将已知化为同底数的等式2a+log2a=22b+log2b，发现等式两边结构相似，同构函数f（x）=2x+log2x，则f（a）=2a+log2a=22b+log2b=f（2b）-1

点评 在遇到双变量的等式或者不等式时，利用同构思想将两边化为结构相同的两部分，再结合函数的性质处理，往往能达到意想不到的效果.

6 结束语

函数中比较大小问题的情境多变，综合性强，从近几年的高考试题中不难发现比较大小趋向精细化的比较.粗略的估算只能比较一组数的大小，相对较难的一组数的比较大小对学生的观察、抽象、推理、运算、数学建模等能力提出了更高的要求.在教学中教师要以学生的思维为起点，分析题目的结构特征，选择适合的方法，渗透函数思想、数形结合、转化与化归等数学思想，这是高中数学中的重要思想方法，也是高考考查的核心内容.

参考文献：

［1］

董逸婷.巧构巧用函数妙解比较大小：一堂高三讲评微课的实践与反思[J].高中数学教与学，2022（23）：5-7.

[2] 中国高考报告学术委员会.高考试题分析数学[M].北京：现代教育出版社，2021.

［责任编辑：李 璟］