始于“结构化”,终于“一致性”

[摘  要] 《义务教育数学课程标准（2022年版）》重视数学知识的内在结构，强调学习内容的整合。在“结构化”视阈下，如何让教师依据核心概念设计课例？文章从内容结构梳理、教学前沿探索、关键课例实践三个方面进行研究。

[关键词] 结构化;数与运算;计数单位;一致性

“结构”是《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《2022年版课标》）的一大特色。不管是课程内容、数学思想方法，还是核心素养方面，“结构”都发挥着举足轻重的作用。结构是按一定的系统和规则构成的整体，是具有逻辑的整体优化后的呈现。“结构化”是将一个复杂的数学对象或概念分解为更简单、更有组织的部分，让学生更容易理解、分析和处理。

《2022年版课标》非常重视数学知识的内在结构，强调学习内容的整合。在数与代数领域“数的认识”和“数的运算”被整合成为“数与运算”，原先被割裂的知识重新整合，形成了有结构的知识体系。基于此，笔者谈谈“结构化”视阈下对“数与运算”一致性的探索与实践。

一、“数与运算”一致性的内容结构梳理

小学数与代数领域，数的认识包括整数、分数、小数的认识，每种数都有基于它们各自特点的认识方法;数的运算包括整数、分数、小数的运算，也有各自的算法。从外层面来看，这些知识是不成体系的独立存在。但是从数的组成进行仔细分析，整数、分数、小数都是基于“计数单位”建构的，即“计数单位计数单位个数”。从数的运算算法来看，所有运算都能还原成计数单位与计数单位的运算，加减法运算是相同计数单位的累加或累减;整数、小数、分数乘除法运算是计数单位的累加、创生和细分，由此发现“数与运算”的核心概念都聚焦于“计数单位”。

笔者对2022年版人教版小学数学十二册教材进行了梳理，共有106个单元（含总复习单元），新授单元有94个，其中“数与运算”有36个单元，占小学新授单元的38.96%，在四大领域中占比最高（见表1）。

从表1可以发现：“数与运算”单元出现频次高但是缺少系统性。教师要深入领会《2022年版课标》提出的“结构化”理念，打通“数与运算”之间的“隔断墙”，构建“数与运算”主题学习的“承重墙”，引导学生经历知识结构化的发生、发展过程，让学生有序建立知识间的联系和体会知识的本源性、一致性与整体性。

二、“数与运算”一致性的教学前沿探索

1. 强化“计数单位”，促进“数与运算”一致性的结构融通

《2022年版课标》关于数的概念和数的运算的要求：“初步体会数是对数量的抽象，感悟数的概念本质上的一致性，形成数感和符号意识;感悟数的运算以及运算之间的关系，体会数的运算本质上的一致性，形成运算能力和推理意识。”为了实现以上要求，《2022年版课标》引入了计数单位的概念。计数单位是数的概念和数的运算的核心，它是关联整数、分数和小数以及相关数运算之间的“钥匙”。因此，教师要引导学生感悟数的概念的一致性，让学生经历从整数到分数再到小数发展的全过程，在结构化学习过程中理解数是计数单位个数的不同表征，将对整数的认识迁移到对分数、小数的认识中，构建数的概念一致性。

在让学生体会数的运算的一致性过程中，教师既要引导学生理解数的概念，又要做好“数与运算”之间的沟通，让学生体会计数单位在数的表征与运算中的一致性;同时，让学生感受四则运算之间的联系，认识加法是一切运算的基础，减法、乘法、除法都是加法的变式;感受算理和算法间的联系，算法的提炼是经验的累积归纳，能明白算法都是基于计数单位个数的运算;懂得算理是算法的“因”，算法是算理的“果”。

2. 关注“核心概念”，助推“数与运算”一致性的结构实施

无论是数的概念的一致性还是数的运算的一致性，教师在教学前要依据核心概念进行教学设计：设计前，教师要深入了解知识点之间核心概念的进阶，明晰核心知识点在各册教材中的呈现方式，找到并依据核心概念组织学生学习知识点;设计中，教师要勇于突破原先“知识点+课时”常规的单一课时教学，努力构建“核心概念+单元”的整体化教学。同时，鉴于核心概念在“单元与单元”不同时间跨度的出现，导致核心概念在不同学段有不同的表现形式，教师要敢于打破自然单元去实施“跨单元”的创造性教学。只有教师形成关于“数与运算”一致性的结构体系，才能有的放矢地引导学生感受“数与运算”的本质，实现不同数的运算之间的算理贯通和算法统整，体会数学思想方法的一致性、迁移性和发展性。

三、“数与运算”一致性的教学实践

教师要基于对“数与运算”内容结构的梳理和教学前沿的探索，让学生感悟“数与运算”的一致性。当前，部分教师的课堂仍存在两个问题：一是教师缺乏对内容的整体把握，知识点零散，局限于单课时的经验教学;二是教师对知识的连续性不明晰，在教学中忽视前后关联，这不利于学生核心素养的培养。基于此，笔者以“分数的加法和减法”单元为例，开展始于“结构化”终于“一致性”研究，进行“数与运算”的全面实践。

1. “结构化”视角下单元教科书的整体梳理

在学习“分数的加法和减法”单元之前，学生系统学习了“10以内的加减法”到多位数计算的所有整数加减法，在三年级上册初步接触了分母小于10的同分母分数加减法，在四年级下册学习了简单的小数加减法，在五年级下册学习了“分数的加法和减法”（见图1）。教材将本单元内容分成三个层次：分数加减法基本计算、分数加减法混合运算以及用分数解决问题。这样的学习序列充分体现了“由简到繁，由易到难”的呈现原则，这三个层次的学习路径符合学生的认知规律。但在实际教学中，这样的例题安排和课时划分存在三个不足：一是例题设计梯度小，与学生经验不匹配;二是知识内容重复多，降低学生的探索欲;三是知识关联不密切，缺少结构性。为了实现学习的“高通路迁移”，笔者对本单元内容进行了结构化整合，具体见表2。

2. “学生立场”视角下学生情况的整体分析

对本单元内容进行结构化整合后，教师要对学生的认知水平做一个整体评估：学生在学习该内容之前已经具备了怎样的学习基础？学习能力如何？关键课“分数加减法”的学习难点和困惑是什么？教师只有清晰准确地把握学生的学习起点，才能“教”得对，“教”得好。

（1）学情前测

前测题目：直接写出得数，并用画图或文字的方式说明计算过程。

①+=（    ）;

②+=（    ）。

（2）学情评估

参与前测的学生班级有6个，其中城镇2个班、城郊2个班、农村2个班，共238人，前测结果见表3。第1题+，计算结果正确率为97.1%，图像表征占88.7%，文字表征占11.3%。图像表征前测情况如图2所示，学生只是根据题目将分数表示为部分与部分之间的组合，没有分数单位个数累加的意识，对表征分数单位的知识掌握不扎实。

图2  分数加法图像表征

第2题+，学生计算结果正确率为 89.1%，88.2%学生用图像表征，11.8%学生用文字表征。图像表征的情况见表4。从前测结果来看，学生的主要问题在于图像或文字表征中更多是算法的体现，很少从分数单位的统一及累加角度思考。

表4  异分母分数加法图像表征具体情况

[

正确数

（人） 正确率    简洁规范       30    16.1%     基本正确不简洁

（未合并） 67    35.8%     照式画图       58    31.0%     单位1不统一（）     25    13.4%     其他       7     3.7%       ][表征类型][数据]

（3）学情诊断

①关于算法：有所感知

同分母分数加法计算中，大多数学生记住了分母不变、分子相加的程序性计算。学生没有从分数单位的统一及累加角度来理解分数加减法的计算。

②关于算理：粗浅了解

学生虽然能用画图或文字来解释分数的计算过程，但是只有30名学生用简洁的一幅图来表征算式，由此说明他们不明白分数单位是一个特殊的计数单位，没能统整和迁移整数、小数的算理，对知识的理解存在碎片化和浅表化的现象，并缺乏加减法运算一致性的理念。

③关于联系：不大明白

在学生眼里分数外形与整数、小数相差甚远，因此很少有学生会用整数和小数加减法的算法来迁移分数加减法的算法。

3. “一致性”理念下“分数加减法”关键课例的实践

（1）第一环节：口算寻同，初步感悟“一致”

基于以上对教材的全面分析和学情的了解与诊断，本节课不是采用情境导入，而是设计一组简单但有关联的算式，请学生快速口答。学生在口算中感受算式之间的联系，在教师引导下初步感悟整数、小数、分数加减法在计算中的一致性（图3）。

教学片段：

师：观察5道加法算式，你们有什么发现？

生1：算式中都有1和3。

师（评价）：观察力不错，这只是第一层次的发现。你们还能看出算式中更多的联系吗？

生2：都是1+3。

师：为什么1和3能直接相加？

生3：因为他们的计数单位（分数单位）相同。

师（评价）：同学们既会观察又会思考，发现了这些算式的共同特点。老师把这个特点写在黑板上，1个（    ）+3个（    ）=4个（    ），谁来填一填、说一说？

学生发言（略）。

师：填单位的时候，大家有什么发现？

生（小结）：不管是计数单位、分数单位还是数量单位，只要满足单位相同就能直接相加。

（2）第二环节：以图释式，深入理解“一致”

画图是算理的表达。课中教师选择学生的前测作品来进行算式的分析和理解，让学生既感觉亲切，又能清晰地看到同伴对于分数加法的不同表达，在观察和互评中理解同伴的表达，并在讨论中逐渐理解算理的一致性。

教学片段：

师：课前同学们用不同的方式表示了+的计算过程，老师选了几幅，我们一起来看一看吧！（课件出示学生前测作品，如图4）

师：3位同学都用画圆的方式表示了+的计算过程，你们看懂了哪幅图？

生4：我看懂了第①幅，他是把1个圆看作一个整体，1个加3个等于4个，也就是。

生5：我看懂了第③幅，他是把8个小圆看作单位1，表示1个加3个等于4个。

生6：我看明白了第②幅，他是把1个圆看作单位1，先取其中的1份表示，再取这样的3份表示，意思是1个加3个等于4个;我觉得这幅图比第①幅和第③幅更高级，因为他把算式画在一个图里了，既简洁又明白。

师（评价）：老师特别欣赏生6的评价，他更全面地对第②幅作品做出了点评，你们还有补充吗？

生7：虽然第①幅和第③幅图的计算过程都很清晰，但是我觉得第②幅图更直观，不仅画得简单，还表达得清楚，我要向生6同学学习！

生8：如图5，我是用线段图来表示的，大家看看对不对？

生生互评，觉得很好！

生9：我是用文字来表示的（如图6）。

[在同分母加法中，得出的和分母不变，分子则由加数的分子相加而得，故+=。]

生10：生9总结得很好，我提炼为“在同分母加法中，分母不变，分子相加”。

全班认同，自发鼓掌。

师：大家都很会学习。对+这道加法计算，老师选了3位同学课前的作品（图7），请大家来评价。

生11：③号图明显不对，用图表示第一个加数时，他把“2个圆”看作整体“1”;表示第二个加数时，他把“8个圆”看作整体“1”，两个加数的单位“1”不统一，肯定不正确。

生12：分母不同，不能直接相加，要先转化成同分母分数。

师：为什么要转化成同分母呢？

生13：为了让两个加数的单位统一，第一个加数是1个，第二个加数是3个，两个加数的单位不一样不能直接相加，转化成4个就能相加了。

师：还有补充吗？

生14：我看①号把转化成，变成同分母就容易计算了，画图也是对的。

生15：异分母分数相加要先通分，变成相同的分母后再把分子相加，比同分母加法多了一步转化的过程。

生16：只要统一分数单位就能计算了。

以上教学片段呈现了有序的结构化学习。在“分数加减法”算理理解和算法提炼的教学中，教师用学生的作品唤醒新旧知识的联结，让学生去点评同伴的作品，在评价中发现运算的本质，掌握运算方法，理解运算的一致性。

（3）第三环节：创编算式，迁移贯通“一致”

在分数减法教学时，教师不是采用新知教学的方式，而是让学生用、、和四个分数来编减法算式。学生在教师引导下编写同分母及异分母减法，利用学法迁移，理解分数减法的方法和分数加减法通分的原理。这样，学生从本质上理解在数的运算中单位不同不能直接相加减，化成相同单位才能相加减，形成了整体性和一致性的数学思维。

（4）第四环节：拓展提升，转化明晰“一致”

教师出示挑战题：

①-0.2=

②=

③+=

通过三道题，能让学生打开分数运算的思维，与小数融通，与分数乘法呼应，用字母建模，在挑战练习中深入感悟“数与运算”一致性的精髓，深刻体会“数与运算”一致性的本质。

四、结语

教师要充分认识“数与运算”一致性的价值，重视知识、方法、思想之间的结构化联系，彻底改变“数与运算”教学相互孤立的教学模式。教师要转变理念，从思考“教什么”转变为“有结构地教”，让“数与运算”教学结构更清晰，使学生享受有质量的数学教育。

作者简介：周珊珊（1977—），本科学历，高级教师，从事小学数学教学与研究工作，曾获部级优课、浙江省教改之星金奖、浙江省优质课二等奖、舟山市名师等荣誉。