单摆及旋轮线模型等时性特征的对比研究

摘   要：单摆模型在整个下落过程中不具有严格的等时性，其振动周期与摆角有关；而竖直面内的旋轮线模型则具有严密的等时性。分析发现，单摆只有在小角度条件下才能近似看成等时摆，从而与旋轮线模型等效。

关键词：单摆；旋轮线；等时性；数学推理

中图分类号：G633.7 文献标识码：A     文章编号：1003-6148（2024）5-0069-4

单摆，又名圆周摆，其往复摆动过程中具有“等时性”特征。但其前提条件往往容易被学生忽略；亦或学生虽知道小角度摆动条件下单摆可以近似看作简谐运动，具有等时性的特点，但学生对该知识点的理解往往仅停留在表面，对其没有深入研究。造成此类现象的原因可能是一线教师在进行单摆具有“等时性”（仅与摆长和当地重力加速度有关，与振幅无关）特点的内容教学时，部分学生数学知识相对薄弱，故没有深度剖析小角度问题；或是在进行深入研究时，苦于高等数学知识的遗忘，造成自身对其理解并不充分等。鉴于此，本文将从单摆模型出发，借助高等数学工具进行深入研究，剖析单摆及旋轮线模型“等时性”问题。希望能给一线教师带来一些启示与参考。

1    单摆等时性的历史渊源

伽利略在教堂里观察到挂灯的摆动，他通过自己的脉搏发现其每做一次完整的摆动所需时间是一样的。之后他得出这样的结论：挂灯每做一次全摆动所需时间是一定的，即摆的等时性原理。1629年出生于荷兰的物理学家惠更斯，在伽利略的基础上对摆进行了进一步研究，发现单摆具有等时性的特点只是近似的，真正的等时摆动轨迹并不是圆弧，而是摆弧［1］。根据这一发现，惠更斯于1657年制作出世界上第一台摆钟，并在1673年发表《摆钟论》一书，详细介绍了摆钟的结构及相关的数理问题，并在1675年尝试在摆钟上采用摆轮游丝装置等。这些发明都极大地促进了精确计时技术的发展［2］。

2    单摆等时性的数学证明

如图1所示，悬线系着一质量为m的小球静止在A处，此时悬线与竖直方向的夹角为φA。现释放小球，其向下摆动过程中与竖直方向的夹角为θ，不计一切阻力，求小球从A运动到最低点B所用时间tAB。

证明  建立图1所示的直角坐标系，并设经过A与B之间的某点C时小球的速度为v，则由动能定理可知

可见，从A到B运动的时间跟k有关（k=sin），即与振幅摆角φA有关，随φA的增大而增大。而单摆的周期T=4tAB，可见其与振幅呈正相关，不具有严格的等时性。

那什么条件下单摆可以近似看成等时摆呢？我们对（6）式进行分析。其中，k∈（0，1），k2n?0，此时级数是收敛的，在φA→0时，k→0，所以可以略去后面的高阶无穷小量。此时T=2π，即实际应用中，在摆角足够小的情况下，可用该单摆周期公式进行计算。

对摆角足够小的认识：T'保留（6）式中的一、二项，T保留第一项，进行误差计算

η==k=sin2

表1为φA取不同值时单摆的周期误差。

从表1中数据可以看出，当最大摆角为15°时，误差在0.5%以内；当最大摆角为5°时，误差在0.05%以内。由于实验还涉及绳长的测量及计时误差等，因此中学阶段单摆实验的最大摆角应控制在5°内较为适宜。

3    旋轮线等时性的数学证明

在如图2所示的直角坐标系中，一个半径为R的圆沿着x轴正向滚动，圆边界上一定点O形成的轨迹如曲线OPB所示，该曲线数学上称为圆滚线、旋轮线或摆线。假设旋圆滚动的夹角为θ时旋圆上定点O运动到图中P点，此时线段OQ的长度等于弧长，等于Rθ，所以P点的坐标为

所以，小球沿着旋轮线从任意位置下滑到最低点的时间均相等，即在理想条件下小球沿旋轮线自由运动具有等时性，与其初始位置（振幅）无关。小球运动的周期为

T=4π

其中，R为旋圆半径。

4    惠更斯的摆线摆模型

单摆虽具有简洁性，但不能严格地用于计时，为了解决这个问题，惠更斯根据摆线（旋轮线）的等时性特征，制造了一种新型的摆叫作摆线摆，如图4所示。用木板制作一个凸型板（图中阴影部分），每一块都做成摆线的半个拱形弧形状，在O点处相接。其中，摆线的旋圆半径为R，摆线长为L，在绳的自由端系上一个质量大、体积很小的钢球（看成质点）。

小球初始时，细线紧贴着凸型板的弧边，小球运动时形成的弧线为一条摆线［7］。若小球做小摆角运动，摆角小于5°，则凸型板的影响几乎没有，即与普通单摆类似，其周期也可用普通单摆周期公式进行计算。

惠更斯设计的摆线摆模型，巧妙地融合了单摆及摆线（旋轮线）的特点，具有严格的等时性。他根据这一原理设计了世界上第一台摆钟。

5    结论及反思

综上，小球在任意位置沿着竖直面内的旋轮线下滑到最低点，所用时间均相等；而单摆仅在小角度内摆动时对不同振幅所用时间才近似相等，二者才能等效。本文通过梳理单摆及旋轮线“等时性”部分的内容，主要有两点考虑：其一，加深对单摆周期公式的理解，并在教学相长、教研相长的过程中不断提升教师的学科素养；其二，在课堂教学中，渗透惠更斯这样一段艰辛的探索历程，激发他们对科学家的崇敬之情。

参考文献：

［1］马来平.趣味科技发展简史［M］.济南：山东科学技术出版社，2013：65-66.

［2］杨舰，戴吾三.历史上的科学名著［M］.武汉：湖北教育出版社，2003：225-228.

［3］王河，张宪魁.中学物理教学文选 第2册［M］.济南：山东教育出版社，1986：715-719.

［4］郭大钧.大学数学手册［M］.济南：山东科学技术出版社，1985：566-567.

［5］左铨如.解析几何研究［M］.哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2015：251-254.

［6］王宝富，钮海.大学数学基础教程（二）多元函数微积分［M］.北京：高等教育出版社，2004：122-123.

［7］张家瑞，李兴春.摆线族［M］.哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2015：42-47，182.

（栏目编辑    蒋小平）

收稿日期：2024-03-30

作者简介：谢禄桥（1993-），男，主要从事中学物理教学工作。