洛伦兹力教学中的深度思维问题分析

摘    要：在磁场对运动电荷作用力的教学过程中，教材利用安培力表达式推导洛伦兹力表达式，指出导体中载流子受到的力等于洛伦兹力，这种简单的推理过程在一定程度上可以降低洛伦兹力教学的难度，但容易忽略学生对已掌握的物理规律在新课教学中的深度理解，不利于学生形成正确的物理观念和发展学生的科学思维能力。从2023年北京市高考物理第13题出发，进一步论述洛伦兹力教学中的深度思维问题。

关键词：自由电子；晶格；霍尔电场力；洛伦兹力；安培力

中图分类号：G633.7 文献标识码：A     文章编号：1003-6148（2024）5-0066-4

1    问题提出

原题（2023年北京市高考物理第13题） 如图1所示，在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场中，固定一内部真空且内壁光滑的圆柱形薄壁绝缘管道，其轴线与磁场垂直。管道横截面半径为a，长度为l（l>>a）。带电粒子束持续以某一速度v沿轴线进入管道，粒子在磁场力作用下经过一段圆弧垂直打到管壁上，与管壁发生弹性碰撞，多次碰撞后从另一端射出。单位时间进入管道的粒子数为n，粒子电荷量为+q，不计粒子的重力、粒子间的相互作用，下列说法不正确的是（     ）

A.粒子在磁场中运动的圆弧半径为a

B.粒子质量为

C.管道内的等效电流为nqπa2v

D.粒子束对管道的平均作用力大小为Bnql

分析 由于粒子源源不断注入，每个粒子均沿半圆周运动，多次与筒壁碰撞，其运动轨迹如图2所示。

长为l（l>>a）的筒，其四分圆个数为，粒子在筒内运动的总路程为·=，因此筒内粒子数为N=·n。一个粒子的碰撞频率为f=，则一个粒子在Δt时间内碰撞筒壁fΔt次。设一个粒子的撞击力为F0，由动量定理得F0Δt=2mv·fΔt，则有F0=2mvf。考虑筒内总共有N个粒子，结合每个粒子的撞击力F0，N个粒子的总撞击力为F=NF0=·n·2mv·=Bnql。

根据电流定义式I==nq，则总撞击力为F=Bnql=BIl。因此，大部分学生都是直接利用安培力公式进行等效计算。但是，一些善于深度思考的学生不禁会想：通电导线受到的安培力是不是类似上面的情况，是载流子侧移撞击晶格造成的？

2    碰撞观点的问题所在

答案显然是否定的。一般来说，金属导体原子密度较高，电子在金属中运动的平均自由程较短，因此碰到晶格的概率较大。按照碰撞观点，首先，如果自由电子侧向移动撞击晶格的力宏观表现为安培力，那么在无外磁场存在时，自由电子沿导体定向运动与晶格碰撞的力，在宏观上肯定也表现为导体受力，但迄今为止未在实验上测量到这个力的存在。其次，电子沿导体定向运动与晶格碰撞产生电阻，同时产生焦耳热。在外磁场存在时，如果存在电子侧向运动也会与晶格碰撞产生焦耳热，则在相同电流情况下，有外磁场存在时导体电阻的焦耳热比没有磁场时大，但是这种增大未在实验上测量到。最后，在外磁场存在时，定向运动的自由电子受洛伦兹力偏移，会产生一个霍尔电场，直到自由电子受到霍尔电场力和洛伦兹力平衡，达到稳定状态，后续电子不再做侧向运动，就不存在侧移碰撞情况。综上所述，不能用类似上述撞击筒壁的方法解释。

人教版高中物理教材在处理磁场对运动电荷的作用力时，预设了定向运动的载流子受到洛伦兹力的宏观合力就是通电导线受到的安培力，从而从安培力出发导出洛伦兹力公式。安培力是载流子受到的洛伦兹力的宏观合力吗？有一个事实显然存疑，那就是安培力可以做功而洛伦兹力不能做功。

3    从经典微观机制看洛伦兹力和安培力的本质关系

如图3所示，通电金属导体单位体积中的自由电子数为n，自由电子定向运动速度为v，电流强度为I，磁感应强度为B。为分析方便，做如下约定：形成霍尔电场的晶格正离子和电子称为霍场电荷；除形成霍尔电场的晶格正离子外的所有晶格正离子称为有效晶格；除形成霍尔电场的电子外的所有定向运动的电子称为自由电子（定向运动形成电流）。因金属导体呈电中性，故有效晶格数等于自由电子数。为了理解洛伦兹力和安培力的内在关系，从具体问题入手，分三种情况展开分析，如表1—表3所示。

综合上面的分析，从经典电磁学角度看，首先，安培力并不是载流子受到的洛伦兹力的宏观合力，而是导体中晶格受力的宏观表现。其次，当导体相对观察者不存在电流方向分运动时，安培力是导体中晶格受到的霍尔电场力的宏观合力；当导体相对观察者存在电流方向分运动时，安培力是导体中晶格受到的霍尔电场力和洛伦兹力（平行电流方向分运动导致）两者的宏观合力。但是，晶格平行于电流方向的分运动产生的洛伦兹力Bqu恰与霍尔电场力-Bqu相抵消。所以，通电导体在磁场中受到的安培力，只决定于自由电子相对于导体的定向运动速度v所产生的霍尔电场力。

4    洛伦兹力不做功和安培力做功的统一

安培力是作用在通电导体晶格正离子上的霍尔电场力。当导体沿安培力方向运动时，产生（电子偏移产生霍尔电场）安培力的洛伦兹力不做功，但安培力又在做功，这两者如何统一呢？功是能量转换的桥梁和量度，从能的转化角度有助于对功的理解。这里引入一个简单的情境：接恒流源I，长为l的通电直导线在垂直于自身的匀强磁场B中沿安培力方向以速度u运动，导线中自由电子定向运动速度为v，如图4所示。

首先，分析自由电子受到的洛伦兹力的做功情况。稳定后，自由电子定向运动速度v对应的洛伦兹力fly=Bev，与u同向，对电子做的元功为BevuΔt；自由电子随导体棒移动速度u对应的洛伦兹力flx=Beu，与I同向，对电子做的元功为-BevuΔt，故总功为零。电子受到的洛伦兹力是flx和fly的合力，其方向与电子的合速度（u和v的合成）方向垂直，显然洛伦兹力对自由电子不做功。

接着，分析安培力Fa的做功情况。安培力做功本质上是导体中晶格正离子受到的霍尔电场力做功。设研究的导体微元Δl中晶格正离子总电量为Δq，则霍尔电场力对晶格做的元功为Δwa=BΔqvuΔt，即为安培力做的元功。电子随导体棒运动产生向右的洛伦兹力flx=Beu，为维持电流不变，即电子定向运动速度v不变，须增加导体中的场强，满足eEx=flx，得Ex=Bu，对应电动势为Δε=BuΔl。从导体棒切割磁场产生电动势角度看，恒流源增加电压Δε用来克服反电动势以维持电流I不变，因此恒流源需向电路多注入IΔεΔt的电能，结合I=nesv和Δq=nesΔl得恒流源增加的电能IΔεΔt=BΔqvuΔt=Δwa。由于电流强度不变，电路中焦耳热不变，因此恒流源增加的电能全部用于安培力对导线棒做的功。

自由电子受到的洛伦兹力两个分力做了等值异号的功，这对正、负功把电源注入电路的电能转化为安培力对通电导线做的功。其具体机制是：恒流源注入导线中的电能，除转化为焦耳热外，另一部分用于克服作用于电子沿导线的洛伦兹力做功，以保持电子定向运动速度不变；由电子定向运动速度决定的垂直于导线的洛伦兹力则克服霍尔电场力对电子做功，从而维持霍尔电场强度不变，霍尔电场力则驱动导体中的晶格正离子随导体运动，对导体做功，即安培力对导体做功。

5    教学改进建议

基于发展学生的科学思维能力、形成正确物理观念及提升学生科学质疑精神的理念，从安培力出发推导洛伦兹力时，有必要引导学生进一步思考安培力背后的科学本质。虽然安培力由洛伦兹力引起，但不能像教材上那样直接认定安培力是载流子受到的洛伦兹力的宏观合力。考虑到普通高中课程标准的限定和学生认知发展水平，教学中可以只分析磁场中通电导体相对观察者静止的情况，分析中涉及的霍尔电场和受力平衡等知识均是高考考查的热点，这对提高学生的科学思维能力大有裨益。

（栏目编辑    蒋小平）

收稿日期：2024-02-06

作者简介：许文龙（1977-），男，中学正高级教师，主要从事物理（竞赛）教学工作。