弹簧双振子模型在高考物理中的应用

周毅慧　武维

摘   要：从质心的概念出发，系统阐述如何在质心参考系中运用质心运动定理推导得出弹簧双振子速度、加速度变化规律，并探讨如何在相关高考题目中应用有关结论解题。

关键词：质心参考系；质心运动定理；弹簧双振子模型；高考物理；中学物理

中图分类号：G633.7 文献标识码：A     文章编号：1003-6148（2024）5-0052-6

两物体通过轻质弹簧连接的运动模型称为“弹簧双振子模型”，该模型涉及到的动力学和能量问题，是高中物理力学常见的问题，也是近几年高考的考查热点。这类问题中物体的运动情况复杂，涉及位移、速度、加速度等多个物理量变化，需要综合运用牛顿运动定律、能量守恒定律和动量守恒定律来解决。弹簧双振子模型是一个典型的一维二体运动模型，如果选取系统的质心作为参考系会使解题过程大大简化。这里质心是一个重要的力学概念，虽然高中物理教学中没有涉及，但对学优生而言，掌握质心和质心参考系，可以更清晰地分析两物体的相互作用过程，从而快速、准确地解决问题。

1    弹簧双振子模型的动力学特征

如图1所示，质量分别为mA和mB的两个物体A和B（均可视为质点），用一根劲度系数为k的轻质弹簧连接起来，静止放置在光滑水平面上。初始时刻弹簧处于原长，长度为l0。现给A物体一个水平向右的初速度v0，或对A施加水平向右的恒力F，弹簧会被压缩，A、B物体开始运动。

选取系统的质心为参考系，以质心C为原点，建立如图2所示的一维坐标系x。

当弹簧处于原长时，设A、B物体到质心的距离分别为lA、lB，质心的位置应满足

下面在质心参考系中给图1（a）中A物体一个水平向右的初速度，对图1（b）中A物体施加水平向右的恒力。两种情况下，对弹簧双振子运动模型的动力学特征进行分析。

1.1    惯性参考系中的弹簧双振子

在图1（a）所示的运动情形中，系统所受合外力为0，故质心系为惯性参考系，质心速度vC应满足mAv0=（mA+mB）vC

当>（ｍ８／ｍＡ）>4.6时，A物体会在一段时间内反向运动。令（ｍＢ／ｍＡ）=8，作出此时A、B物体的速度-时间图像和加速度-时间图像，如图15、图16所示。

本题中A、B物体质量相等，A物体的加速度一直为正值，故A物体一直做加速运动，不会出现速度反向，所以A、B物体从静止开始运动到第一次速度相等的过程中，两物体速度相等时，A物体速度达到最大，C选项正确。

3    总  结

本文在质心参考系中对“弹簧双振子模型”的动力学特征进行了较为详细的分析推导，发现两物体相对于质心做周期相同的独立的简谐运动。在此基础上，结合相对运动知识，将物体相对地面的复杂的变加速运动视为随质心的平动和相对质心的简谐运动的合运动，从而得到了弹簧双振子加速度、速度随时间变化的规律。再将此模型的运动特征应用到典型弹簧双振子模型的时间、位移、能量问题的解决中，以说明双振子模型运动特征在解决此类问题中的重要作用。

参考文献：

［1］漆安慎，杜婵英.普通物理学教程 力学（第3版）［M］.北京：高等教育出版社，2012.

［2］王建峰，魏俊枭，周明.“弹簧双振子模型”在物理竞赛中的应用［J］.物理教学探讨，2006，24（9）：47-51.

（栏目编辑    陈  洁）

收稿日期：2024-01-29

作者简介：周毅慧（1998-），女，中学二级教师，主要从事高中物理教学工作。