圆中新定义问题解法探究

陈玉芹

［摘 要］“圆”是初中数学的重要内容，圆中新定义问题在考试中屡屡出现，学生普遍觉得有一定的难度。文章结合具体的实例，探讨圆中新定义问题的求解方法，旨在发展学生思维，提高学生创新性解决问题的能力。

［关键词］圆；新定义问题；初中数学

［中图分类号］    G633.6        ［文献标识码］    A        ［文章编号］    1674-6058（2024）08-0018-03

近几年，新定义问题颇受命题者的青睐，其主要考查学生的阅读理解能力和利用数学知识创新性解决问题的能力。圆是初中数学的重要内容，圆中新定义问题在考试中屡屡出现，学生普遍觉得有一定的难度。下面笔者结合具体的实例，分析探讨圆中新定义问题的求解方法。

一、圆内两条特殊位置关系的弦——等垂弦

在圆内，当两条弦互相垂直且相等时，我们称这样的弦为“等垂弦”。两条弦成为“等垂弦”，必须满足两个条件：一是长度相等，二是互相垂直。“等垂弦”与两条弦心距围成的四边形恰是一个正方形。

［例1］在同一个圆中两条互相垂直且相等的弦定义为“等垂弦”，如图1所示，[AB]、[CD]是[⊙O]的弦，如果[AB=CD]，[AB⊥CD]，垂足为[E]，则[AB]、[CD]是等垂弦。（1）如图2所示，[AB]是[⊙O]的弦，作[OC⊥OA]，[OD⊥OB]，分别交[⊙O]于点[C]、[D]，连接[CD]，求证：[AB]、[CD]是[⊙O]的等垂弦；（2）在图1中，[⊙O]的半径为5，[E]为等垂弦[AB]、[CD]的分割点，[BEAE=13]，求[AB]的长度。

解析：（1）如图3所示，连接[BC]，设[AB]、[CD]的交点为[E]，∵[OC⊥OA]，[OD⊥OB]，∴[∠AOC=∠BOD=90°]，∴[∠AOB=∠COD]，由圆心角、弧、弦关系定理得[AB=CD]，∵[AC=AC]，由圆周角定理得[∠ABC=12∠AOC=45°]。同理，[∠BCD=12∠BOD=45°]，∴[∠AEC=∠ABC+∠BCD=90°]，即[AB⊥CD]，∵[AB=CD]，[AB⊥CD]，∴[AB]、[CD]是[⊙O]的等垂弦。

（2）如图4所示，作[OH⊥AB]，垂足为[H]，作[OG⊥CD]，垂足为[G]，由矩形的判定定理得四边形[OHEG]为矩形，∵[AB]、[CD]是[⊙O]的等垂弦，由“等垂弦”的定义得[AB=CD]，[AB⊥CD]，∴[AH=DG=12AB]，∵[OA=OD]，[∠AHO=∠DGO=90°]，由斜边直角边定理，得Rt[△AHO ]≌Rt[△DGO]，∴[OH=OG]，∴矩形[OHEG]为正方形，∴[OH=HE]，∵[BEAE=13]，[AH=BH]，∴[AH=2BE=2OH]。在 Rt[△AOH]中，[AO2=AH2+OH2]，即[（2OH）2+OH2=AO2=25]，解得[OH=5]，则[AB=4OH=45]。

二、特殊的圆内接四边形——婆氏四边形

一个圆有无数个内接四边形，当它的两条对角线互相垂直时，我们称之为“婆氏四边形”。“婆氏四边形”仍具有圆内接四边形对角互补和外角等于内对角的性质，当“婆氏四边形”的一组对边和的值一定时，可以求得圆半径的最小值。

［例2］我们把对角线互相垂直的圆内接四边形称为“婆氏四边形”。（1）若平行四边形[ABCD]是“婆氏四边形”，则四边形[ABCD]是            （填序号，①矩形，②菱形，③正方形）。（2）如图5所示，Rt[△ABC]中，[∠BAC=90°]，以[AB]为弦的[⊙O]交[AC]于[D]，交[BC]于[E]，连接[DE]、[AE]、[BD]，[AB=6]，[sinC=35]，若四边形[ABED]是“婆氏四边形”，求[DE]的长。（3）如图6所示，四边形[ABCD]为[⊙O]的内接四边形，连接[AC]、[BD]、[OA]、[OB]、[OC]、[OD]，已知[∠BOC+∠AOD=180°]。①求证：四边形[ABCD]是“婆氏四边形”；②当[AD+BC=4]时，求[⊙O]半径的最小值。

解析：（1）如图7所示，∵平行四边形[ABCD]为[⊙O]的内接四边形，∴[∠ABC=∠ADC]，[∠ABC+∠ADC=180°]，∴[∠ABC=∠ADC=90°]，∴平行四边形[ABCD]是矩形，∵四边形[ABCD]是“婆氏四边形”，∴[AC⊥BD]，∴矩形[ABCD]是正方形。

（2）∵[∠BAC=90°]，[AB=6]，[sinC=35]，∴[BC=10]，[AC=8]，∵[BD]为直径，∴[∠BED=∠DEC=90°]，∵四边形[ABED]是“婆氏四边形”，∴[AE⊥BD]，∴[AD=DE]，[AB=BE=6]，设[AD=DE=m]，则[CD=8-m]，[EC=4]，在Rt[△EDC]中，[m2+42=（8-m）2]，解得[m=3]，∴[DE=3]。

（3）①证明：如图8所示，设[AC]、[BD]相交于点[E]，∵[∠DCA=12∠AOD]，[∠BDC=12∠BOC]，[∠BOC+∠AOD=180°]，∴[∠DCA+∠BDC=12（∠AOD+∠BOC）=12×180°=90°]，∴[∠CED=90°]，∴[AC⊥BD]，∵四边形[ABCD]是[⊙O]的内接四边形，∴四边形[ABCD]是“婆氏四边形”。②如图9所示，过点[O]作[OM⊥AD]交于[M]，过点[O]作[ON⊥BC]交于[N]，∴[AM=12AD]，[BN=12BC]，[∠AMO=∠BNO=90°]，∴[∠AOM+∠OAM=90°]，∵[OA=BO=CO=DO]，∴[∠AOM=12∠AOD]，[∠BON=12∠BOC]，∵[∠BOC+∠AOD=180°]，∴[∠AOM+∠BON=90°]，[∠OAM=∠BON]，由角角边定理得[△OAM ]≌[△BON]，∴[ON=AM=12AD]，∵[AD+BC=4]，设[ON=AM=n]，则[AD=2n]，[BC=4-2n]，[BN=2-n]，在Rt[△BON]中，[BO=n2+（2-n）2=2（n-1）2+2]，当[n=1]时，[BO]有最小值[2]，∴[⊙O]半径的最小值为[2]。

三、与三角形既接又切的圆——切接圆

经过三角形三个顶点的圆，叫作三角形的外接圆，与三角形各边都相切的圆，叫作三角形的内切圆，而经过三角形一个顶点且与其对边相切的圆，我们叫作“切接圆”。一个三角形的外接圆只有一个，内切圆也只有一个，但是一个三角形的切接圆却可能不止一个。

［例3］我们把经过三角形的一个顶点并与其对边所在直线相切的圆叫作三角形的“切接圆”，如图10所示，有[△ABC]，[⊙O]经过点[A]，并与点[A]的对边[BC]相切于点[D]，则该[⊙O]就叫作[△ABC]的“切接圆”。根据上述定义解决下列问题。

理解应用：（1）已知Rt[△ABC]中，[∠BAC=90°]，[AB=6]，[BC=10]。①如图11所示，若点[D]在边[BC]上，[CD=254]，以[D]为圆心，[BD]长为半径作圆，则[⊙D]是[△ABC]的“切接圆”吗？请说明理由。②在图12中，若点[D]在[△ABC]的边上，以[D]为圆心，[CD]长为半径作圆，当[⊙D]是Rt[△ABC]的“切接圆”时，求[⊙D]的半径。

思维拓展：（2）如图13所示，在[△ABC]中，[AB=12]，[AC=BC=10]，把[△ABC]放在平面直角坐标系中，使点[C]落在[y]轴上，边[AB]落在[x]轴上。试证明：以抛物线[y=116x2+4]图象上任意一点为圆心都可以作过点[C]的[△ABC]的“切接圆”。

解析：（1）①[⊙D]是[△ABC]的“切接圆”。∵[BC=10]，[CD=254]，∴[BD=154]，即[⊙][D]的半径为[154]，如图14所示，过点[D]作[DE⊥AC]于点[E]，则[∠DEC=∠A=90°]，∴[△CDE ]∽[△CBA]，∴[CD]∶[BC=DE]∶[AB]，即[254] ∶[10=DE]∶6，∴[DE=154]，∴[BD=DE]，∴[⊙][D]切[AC]于点[E]，根据“切接圆”的定义，得⊙[D]是[△ABC]的“切接圆”。②在Rt[△ABC]中，[∠BAC=90°]，[AB=6]，[BC=10]，所以[AC=8]；当点[D]在[AC]上时，∵[AC⊥AB]，∴点[A]为切点，则[AC]是[⊙][D]的直径，所以[r=12AC=4]；当点[D]在[BC]上时，如图15所示，过点[D]作[DF⊥AB]于点[F]，∴[∠BDF=∠C]，∴[△BDF ]∽[△BCA]，∴[BD]∶[BC=DF]∶[AC]，根据“切接圆”的性质可设[DF=DC=r]，∴[BD=10-r]，∴（[10-r]）∶[10=r]∶8，解得[r=409]，∴[⊙D]的半径为[409]。

综上，[⊙D]的半径为[409]或4。

（2）证明：根据题意作出图形，如图16所示，∵[AC=BC=10]，[AB=12]，[∠COB=90°]，∴[AO=OB=6]，∴[OC=8]，即[C（0，8）]。设点[D]的横坐标为[m]，∴[Dm，116m2+4]，∴[CD2=m2+116m2+4-82=116m2+42]，即[CD=116m2+4]，过点[D]作[DE⊥x]轴于点[E]，∴[DE=116m2+4]，∴[CD=DE]，∴[⊙][D]经过点[C]且与[AB]切于点[E]，根据“切接圆”的定义可知，以抛物线[y=116x2+4]图象上任意一点为圆心都可以作过点[C]的[△ABC]的“切接圆”。

四、经过三角形两边中点的圆——中[n]点圆

取三角形两边的中点，再经过这两个中点作圆，当这个圆与三角形有[n]个公共点时，我们称这样的圆为三角形关于这两个中点的“中[n]点圆”。一个三角形的“中[n]点圆”可能是“中2点圆”“中3点圆”“中4点圆”“中5点圆”“中6点圆”，这样的圆的圆心可能在三角形内部、边上或外部。

［例4］[△ABC]中，[D]、[E]分别是[△ABC]两边[AB]、[AC]的中点，若经过[D]、[E]的[⊙M]与[△ABC]有[n]个公共点（相切算一个公共点），则称[⊙M]为[△ABC]关于[D]、[E]的“中[n]点圆”。图17中的圆是[△ABC]关于[D]、[E]的“中4点圆”。（1）①如图17所示，则[△ABC]的“中[n]点圆”中[n]可以取的值为               （写所有可能的值）；②在所给图17中画出一个“中3点圆”；（2）如图18所示，在平面直角坐标系[xOy]中，已知点[A（a，6）]，点[B（0，0）]，[C（4，0）]，[D]、[E]分别是[AB]、[AC]的中点，设点[M（1，y）]，[⊙M]为[△ABC]关于[D]、[E]的“中[n]点圆”。当[a=0]，[n=4]时，求圆心[M]的纵坐标的取值范围。

解析：（1）①经过[D]、[E]两点的圆与[△ABC]的交点个数可能为2或3或4或5或6。②如图19所示，圆经过[A]、[D]、[E]三点；如图20所示，经过[D]、[E]的圆与[BC]相切，均是[△ABC]关于[D]、[E]的“中3点圆”。

（2）当[a=0]，[n=4]时，[A（0，6）]，[B（0，0）]，[C（4，0）]，[⊙M]为[△ABC]关于[D]、[E]的“中4点圆”。如图21所示，[⊙M]经过点[A]时，∵[D]、[E]分别是[AB]、[AC]的中点，∴[DE]∥[BC]，[D（0，3）]，[E（2，3）]，∴[∠ADE=∠ABC=90°]，此时圆心[M]在[AE]上，即[M1，92]，则有[y<92]。

如图22所示，[⊙M]与[AB]相切于点[D]时，[DE]为直径，[M（1，3）]，∴[3

当[⊙M]经过点[C]时，如图25所示，作[MF⊥DE]于[F]，交[x]轴于[G]，连接[MD]、[ME]、[MC]，则有[ME2=EF2+MF2]，[MC2=MG2+CG2]，∵[ME=MC]，∴[EF2+MF2=MG2+CG2]，[EF=1]，[MF=3-y]，[MG=y]，[CG=3]，∴[12+（3-y）2=y2+32]，解得[y=16]，则有[16

综上所述，有[3

以上讨论了圆中“等垂弦”“婆氏四边形”“切接圆”与“中[n]点圆”四种新定义问题，不难发现，圆中新定义问题综合考查了圆的有关性质、矩形的性质、直角三角形的性质等，由于图形定义既是图形的性质又是图形的判定方法，因此，在解答这类问题的过程中，要注意新定义的双重作用，当遇到复杂问题时，要注意分类讨论，把大问题化为几个小问题进行解答。

（责任编辑 黄桂坚）