高中数学拔尖生提出问题能力的培养路径

马汉阳　栾功

［摘 要］文章主要从三个方面探究高中数学拔尖生提出问题能力的培养路径，旨在为高中数学教师培养数学拔尖生，为高校输送更多的拔尖创新人才提供参考与借鉴。

［关键词］拔尖生；提出问题能力；培养路径

［中图分类号］    G633.6        ［文献标识码］    A        ［文章编号］    1674-6058（2024）08-0001-04

2018年，教育部联合其他部门发布的《关于实施基础学科拔尖学生培养计划2.0的意见》强调：培养基础学科拔尖人才是高等教育强国建设的重大战略任务。党的二十大报告指出，全面提高人才自主培养质量，着力造就拔尖创新人才。由此可见，国家已将拔尖创新人才培养提升到治国、强国的战略高度。作为教师，我们肩负着培养拔尖创新人才的重任，因此要积极响应国家的号召，探索并实践培养拔尖创新人才的最佳路径。提出问题是开启优秀学生心智大门的钥匙，提出问题能力并非自然而然地形成和提高的，而是需要教师进行培养。本文主要对高中数学拔尖生提出问题能力的培养路径进行探究。

一、创设问题情境，采取多样化解题策略，为学生提出问题打下基础

在高中数学教学中，教师应创设问题情境，开展多样化的解题训练，使学生牢固地掌握所学知识，强化学生对数学思想方法的熟练运用，同时教会学生从不同角度去审视问题，使学生脑海中存储的知识被充分调动，从而找到解题的突破口，为学生提出问题打下基础。

［例1］设抛物线[C：y2=2px（p>0）]的焦点为F，点[D（p，0）]，过F的直线交[C]于[M、N]两点，当直线[MD]垂直于[x]轴时，[MF=3]。

（1）求[C]的方程；

（2）设直线[MD]、[ND]与[C]的另一个交点分别为[A、B]，记直线[MN]、[AB]的倾斜角分别为[α、β]。当[α-β]取得最大值时，求直线AB的方程。

分析：本题的核心问题是倾斜角[α、β]有何关系？它们的联系途径是什么？如何求[α-β]的最大值？求[α-β]的最大值与求直线[AB]的方程有何关联？初始阶段，教师首先要教会学生如何发现问题、提出问题；其次要结合范例，引导学生从题干中寻找变量之间的关系，进而提出思考问题的方向，让学生明白为什么要这样设计，这样设计对解决问题有何帮助，进而让学生找到解题的方法。

解：（1）抛物线的准线方程为[x=-p2]，当直线[MD]与[x]轴垂直时，点[M]的横坐标为[p]，此时[MF=p+p2=3]，所以[p=2]，所以抛物线[C]的方程为[y2=4x]。

（2）［方法一］（最优解）：设[My214，y1]，[Ny224，y2]，[Ay234，y3]，[By244，y4]，直线[MN：x=my+1]，

由[x=my+1，y2=4x，]可得[y2-4my-4=0]，[Δ>0]，[y1y2=-4]，[kMN=y1-y2y214-y224=4y1+y2]，[kAB=y3-y4y234-y244=4y3+y4]，直线[MD：x=y214-2y1·y+2]，代入抛物线方程可得[y2-4y214-2y1·y-8=0]，[Δ>0]，[y1y3=-8]，所以[y3=2y2]，同理可得[y4=2y1]，所以[kAB=4y3+y4=42（y1+y2）=kMN2]。

又因为直线[MN]、[AB]的倾斜角分别为[α、β]，所以[kAB=tan β=kMN2=tanα2]。

若要使[α-β]最大，则[β∈0，π2]，设[kMN=2kAB=2k>0]，则[tan（α-β）=tanα-tanβ1+tanαtanβ=k1+2k2=11k+2k≤121k·2k=24]，当且仅当[1k=2k]，即[k=22]时，等号成立，所以当[α-β]最大时，[kAB=22]。设直线[AB]的方程为[x=2y+n]，将其代入抛物线方程可得[y2-42y-4n=0]，[Δ>0]，[y3y4=-4n=4y1y2=-16]，所以[n=4]，所以直线[AB]的方程为[x=2y+4]。

［方法二］（直线方程点斜式）：由题可知，直线[MN]的斜率存在，设[M（x1，y1）]，[N（x2，y2）]，[A（x3，y3）]，[B（x4，y4）]，直线[MN：y=k（x-1）]，由 [y=k（x-1），y2=4x，]得[k2x2-（4k2+4）x+4k2=0]，[x1x2=4]，同理[y1y2=-4]。直线[MD]：[y=y1x1-2（x-2）]，代入抛物线方程可得[x1x3=4]，同理[x2x4=4]。代入抛物线方程可得[y1y3=-8]，所以[y3=2y2]，同理可得[y4=2y1]，由斜率公式可得[kAB=y4-y3x4-x3=2（y2-y1）41x2-1x1=y2-y12（x2-x1）=12kMN]。

（下同方法一）若要使[α-β]最大，则[β∈0，π2]，设[kMN=2kAB=2k>0]，则[tan（α-β）=tanα-tanβ1+tanαtanβ=k1+2k2=11k+2k≤121k·2k=24]，当且仅当[1k=2k]，即[k=22]时，等号成立，所以当[α-β]最大时，[kAB=22]，设直线[AB]的方程为[x=2y+n]，代入抛物线方程可得[y2-42y-4n=0]，[Δ>0]，[y3y4=-4n=4y1y2=-16]，所以[n=4]，所以直线[AB]的方程为[x=2y+4]。

［方法三］（向量法）：设[My214，y1]，[Ny224，y2]，[Ay234，y3]，[By244，y4]，设[P（t ，0）]，若[P、M、N]三点共线，由[PM=y214-t，y1]，[PN=y224-t，y2]，所以[y214-ty2=y224-ty1]，化简得[y1y2=-4t]，反之，若[y1y2=-4t]，可得直线[MN]过定点[（t，0）]，因此，由[F、M、N]三点共线，得[y1y2=-4]，由[D、M、A]三点共线，得[y1y3=-8]，由[N、D、B]三点共线，得[y2y4=-8]，则[y3y4=4y1y2=-16]，直线[AB]过定点（4，0）。

（下同方法一）若要使[α-β]最大，则[β∈0，π2]，设[kMN=2kAB=2k>0]，则[tanα-β=tanα-tanβ1+tanαtanβ=k1+2k2=11k+2k≤121k·2k=24]，当且仅当[1k=2k]，即[k=22]时，等号成立，所以当[α-β]最大时，[kAB=22]，所以直线[AB]的方程为[x=2y+4]。

点评：通过上述解题训练，虽然在一定程度上培养了学生提出问题的能力，但还远远达不到拔尖人才的培养要求。因此，教师在训练学生解题能力的同时，还应引导学生对题目结论和解题过程进行质疑，比如“这个公式为什么是这样的？”“有没有其他的解决方案？”等，促使学生进行深度思考，让学生融会贯通，开阔视野。另外，教师还应汇总不同的解法，让学生从中选出最优解法。例如例1第（2）问的方法一，寻找直线[MN、AB]的斜率关系，由基本不等式求出直线[AB]的斜率，再根据韦达定理求出直线方程，是该题的最优解法，也是通法；方法二是常规设直线方程点斜式，由于直线方程的假设与方法一不同，导致解方程组运算难度加大，并且还要考虑直线的斜率是否存在，只有直线斜率存在的情况才可以这样假设；方法三通过设点，由三点共线寻找纵坐标关系，从而快速发现直线[AB]过定点，省去联立过程，也不失为一种简化运算的好方法。

二、拆解重构试题，师生互动交流，提升学生提出问题的认知水平

在课堂教学中，教师可以通过对试题进行拆解重构，为学生营造发现问题的氛围，鼓励学生大胆提出问题。古人云：“学贵有疑，小疑则小进，大疑则大进。”课堂上，教师要给学生解惑，首先要让学生乐于提问，要为学生创设提出问题的情境，激发学生的好奇心，使学生产生提出问题的欲望，从而提升学生提出问题的认知水平。

［变式题1］已知抛物线[C]：[y2=2px（p>0）]的焦点为[F]，[A]为抛物线上一点，[O]为坐标原点，[△OFA]的外接圆与抛物线的准线相切，且外接圆的周长为[6π]。

（1）求抛物线[C]的方程；

（2）已知点[B（-1，0）]，设不垂直于[x]轴的直线[l]与抛物线[C]交于不同的两点[M]、[N]，若[∠MBO=∠NBO]，证明直线[l]过定点并写出定点坐标。

分析：这是例1的变式题，属于基础题，难点在于第（2）问。教师可让学生先自主研究并提出问题，再师生交流或生生交流，寻找解题方法。本变式题提出问题的大致方向有：[∠MBO=∠NBO]与直线[l]有何关系？能构建什么数学式子？ 例1是求直线方程，而本变式题是证明一条直线过定点，它们有何相同之处？

解：（1）因为[△OFA]的外接圆与抛物线的准线相切，所以[△OFA]的外接圆的圆心到准线的距离等于半径，因为外接圆的周长为[6π]，所以外接圆的半径为3，又圆心在[OF]的垂直平分线上，[OF=p2]，所以[p4+p2=3p4=3]，解得[p=4]，所以抛物线[C]的方程为[y2=8x]。

（2）设直线[MN]的方程为[y=kx+b]，[M（x1，y1）]，[N（x2，y2）]，

由[y2=8x，y=kx+b，]得[k2x2+（2kb-8）x+b2=0]，[Δ=64-32kb>0]，则[kb<2]，

所以[x1+x2=-2kb-8k2]，[x1x2=b2k2]，因为[∠MBO=∠NBO]，所以[kBM+kBN=y1x1+1+y2x2+1=0]，即[kx1+bx1+1+kx2+bx2+1=0]，化简得[2kx1x2+（k+b）（x1+x2）+2b=0]，所以[2kb2k2+（k+b）-2kb-8k2+2b=0]，所以[b=-k]，所以直线[MN]的方程为[y=k（x-1）]，恒过定点（1，0）。

点评：通过对试题的拆解重构，让学生在已有认知的基础上大胆地提出问题。此题根据已知条件[∠MBO=∠NBO]，将问题转化为[kBM+kBN=0]，即可得到直线方程中[k]与[b]的关系，进而得到“直线恒过定点”这一结论。通过此类变式训练，可有效提升学生提出问题的认知水平。

［变式题2］已知抛物线[C：x2=2py（p>0）]的焦点为[F]，抛物线上一点[Am，12（m<0）]到点[F]的距离为[32]。

（1）求抛物线的方程及点[A]的坐标；

（2）设斜率为[k]的直线[l]过点[B（2，0）]且与抛物线交于不同的两点[M]、[N]，若[BM=λBN]且[λ∈14，4]，求斜率[k]的取值范围。

分析：本变式题是例1和变式题1的综合与提升，意在提高学生发现问题和解决问题的能力。本题的教学重点是提出与解决以下相关的问题。

1.如何利用圆锥曲线的几何性质构造出与参数有关的等式或者不等式？（向量[BM=λBN]与参数[k]有何关系）

2.解决求参数的取值范围问题的核心是什么？

解：（1）由抛物线定义可知，[AF=12+p2=32]，解得[p=2]，所以抛物线[C]的方程为[x2=4y]。

将点[Am ，12（m<0）]的坐标代入抛物线方程得[m=-2]，所以点[A]的坐标为[-2，12]。

（2）由题意知直线[l]的方程为[y=k（x-2）]，设点[M（x1，y1）]，[N（x2 ，y2）]，

由[y=k（x-2），x2=4y，]得[x2-4kx+8k=0]，[Δ=16k2-32k>0]，可得[k<0]或[k>2]，

由韦达定理可得[x1+x2=4k]，[x1x2=8k]，又[BM=λBN]，即[（x1-2，y1）=λ（x2-2，y2）]，所以[y1=λy2?λ=y1y2]，因为[x21=4y1]，[x22=4y2]，则[λ=x1x22∈14，4?x1x2∈-2，-12?12，2]，

又[（x1+x2）2x1x2=2k=x1x2+2+x2x1?k=x1x2+2+x2x12=12x1x2+x2x1+1]，

令[x1x2=t∈-2，-12?12，2]，所以[k=12t+1t+1]。

由双勾函数的单调性可知，函数[ft=12t+1t+1]在[12，1]上为减函数，在（1，2）上为增函数，当[t∈12，2]时，[k=12t+1t+1∈2，94]，同理可知，当[t∈-2，-12]时，[k=12t+1t+1∈-14，0]。

又因为[k<0]或[k>2]，所以[k]的取值范围是[-14，0?2，94]。

点评：本题是提高题，从容量、跨度、融合度对知识进行了拓展与加深，提升了学生分析问题、提出问题、解决问题的综合能力。同时，将学生提出问题的路径构建成一个完整的体系，以使学生达到较高的认知水平。

三、通过阅读与研究推广解法，培养学生提出问题的能力

为了更好地培养学生提出问题的能力，教师应在教学中引导学生把静态问题动态化、抽象问题具体化、形象问题直观化、特殊方法一般化，把所学的知识、方法融会贯通。通过对上述例题一题多解的探究以及对试题的拆解重构，培养了学生提出问题和分析问题的能力，让学生在应用知识解决问题的过程中逐步形成化特殊为一般的高阶思维能力，真正做到“解决一道题，弄懂一类题”。这是培养学生提出问题能力的关键一步。

圆锥曲线是历年高考数学的重点考查内容之一，也是高中数学教学的一个难点。下面笔者结合圆锥曲线中定点、定值、最值及求参数的取值范围等内容，把解决问题的方法进行推广，同时让学生查阅相关资料，小组讨论交流，在此过程中教师加以引导，共同提出问题。

1.如何提炼出有关定点、定值问题的一般思路方法？

（1）直接推理、计算，并在推理、计算过程中消去变量，从而得到定值。

（2）定点问题可运用特殊值或者对称先探索出该定点，再证明结论，以达到简化运算的目的。

2.求最值或参数的取值范围等的一般方法是什么？

（1）几何法。若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决。

（2）代数法。若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可以先建立起目标函数，再求这个函数的最值。

3.利用代数法解决求最值或参数的取值范围的问题时，你能否总结出解决这类问题的一般方法？

（1）利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围。

（2）利用已知参数的取值范围，求新参数的取值范围，解决这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系。

（3）利用隐含或已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围。

（4）利用基本不等式求出参数的取值范围。

（5）利用函数值域的求法，确定参数的取值范围。

［例2］（2023年高考全国甲卷理数第20题）设抛物线[C：y2=2px（p>0）]，直线[x-2y+1=0]与[C]交于[A、B]两点，且[AB=415]。

（1）求[p]的值；

（2）[F]为[y2=2px]的焦点，[M]、[N]为抛物线上的两点，且[MF·NF=0]，求[△MNF]面积的最小值。

分析：经过上述解题训练后，学生已具备提出问题、分析问题、解决问题的综合能力，让学生解答例2，自然是水到渠成，可达到我们预期的效果。

解：（1）设A（[x1]，[y1]），B（[x2]，[y2]），联立[x-2y+1=0，y2=2px，]消去[x]得[y2-4py+2p=0]，∴[y1+y2=4p]，[y1y2=2p]，[Δ=16p2-8p>0]，∴[p（2p-1）>0]，∴[p>12]，∵[AB=1+4y1-y2=5（y1+y2）2-4y1y2=415]，∴[16p2-8p=48]，∴[2p2-p-6=0]，∴[（2p+3）（p-2）=0]，∴[p=2]。

（2）由（1）知[y2=4x]，所以[F（1，0）]，显然直线[MN]的斜率不可能为零，设直线[MN]的方程为[x=my+n]，[M（x1，y1）]，[N（x2，y2）]，由[y2=4x，x=my+n，]可得[y2-4my-4n=0]，所以[y1+y2=4m]，[y1y2=-4n]，[Δ=16m2+16n>0]，则有[m2+n>0]。

因为[MF·NF=0]，所以[（x1-1）（x2-1）+y1y2=0]，即[（my1+n-1）（my2+n-1）+y1y2=0]，即[（m2+1）y1y2+m（n-1）（y1+y2）+（n-1）2=0]，将[y1+y2=4m]，[y1y2=-4n]，代入得[4m2=n2-6n+1]，所以[4（m2+n）=（n-1）2>0]，所以[n≠1]，且[n2-6n+1≥0]，解得[n≥3+22]或[n≤3-22]。

设点[F]到直线[MN]的距离为[d]，所以[d=n-11+m2]，[MN=1+m2y1-y2=1+m2（y1+y2）2-4y1y2=1+m216m2+16n=1+m24（n2-6n+1）+16n=21+m2n-1]，

所以[△MNF]的面积[S=12MN×d=12×n-11+m2×21+m2n-1]。

又[n≥3+22]或[n≤3-22]，所以当[n=3-22]时，[△MNF]的面积[Smin=（2-22）2=12-82]。

（责任编辑 黄桂坚）