初中数学教学中数形结合的策略

徐婉婉

在新课程标准下，初中数学教师要不断地创新与优化教学方法，充分考虑学生的实际情况，结合学生的学习特点和认知规律，科学合理地设计教学策略。将数学知识与具体的图形相结合，可以有效地帮助学生更好地理解和掌握数学知识，从而激发他们学习数学的积极性。这种方法可以有效地提高学生对数学的认知能力，并且能够更好地帮助他们应对复杂的数学问题。由此可见，数形结合思想对于提升数学教学效果具有重要意义。教师在初中数学教学中实施数形结合的教学策略，可以有效地解决传统数学教学中存在的问题，有利于提升初中数学教学质量。

一、数形结合思想概述

数形结合是指将数学中抽象的数学语言和直观的几何图形有机地结合起来，使抽象的数学问题形象化，使复杂的几何问题简单化，使深奥的数学概念清晰化。数形结合思想是指人们在研究、处理问题时，常常把数与形结合起来加以研究。

二、初中数学教学中数形结合的挑战

在初中数学教学中，数形结合是一种重要的教学策略，能够帮助学生更好地理解和掌握数学知识。然而，在实际教学过程中，数形结合也面临着一些挑战。

首先，数形结合需要教师具备较高的数学和几何素养。教师不仅要熟悉数学概念和定理，还要能够将它们与图形相结合，用直观的方式展示给学生。这要求教师在数学和几何方面有扎实的基础，并且能够灵活运用。

其次，数形结合可能会导致部分学生对图形的过度依赖。有些学生在遇到抽象的数学问题时，过于依赖图形，而忽略了数学思维和逻辑推理的重要性。这会导致他们在没有图形的情况下难以解决问题，影响他们数学能力的发展。

最后，数形结合需要教师具备一定的教学技巧和经验。教师需要了解不同学生的学习需求和特点，采用不同的教学方法和策略。同时，教师还需要及时发现和解决学生在数形结合学习中遇到的问题，帮助他们克服困难，提高学习效率。

由此可见，初中数学教学中数形结合的挑战主要包括教师素养、学生依赖以及教学技巧和经验等方面。为了克服这些挑战，教师需要不断提升自己的专业素养和教学能力，同时注重培养学生的数学思维和逻辑推理能力，为学生提供丰富的数形结合学习资源，确保他们能够在数学学习中迟到良好的效果。

三、初中数学教学中数形结合的策略

（一）利用数形结合解决计算问题

在初中数学有理数的讲解中，利用数形结合的策略，特别是数轴的运用，极大地促进了学生对负数和相反数等基本数学概念的理解。这种方法不仅能够加深学生对数的大小关系的直观认识，而且为学生未来数学概念的学习和理解做好铺垫。

1.（1）关于负数：负数定义为任何小于零的数值，它们通过在相应的正数前加上负号表示，并在数轴上反映为位于原点左侧的数值。（2）相反数定义：在数轴上，任意两个点若与原点等距离但分布在原点的相反方向，则这两个点表示的数是彼此的相反数。（3）绝对值定义：一个数在数轴上的绝对值指的是该数到原点的非负距离，它表征了数值大小不考虑符号的属性。

2.对于求和公式1+2+3+4+…+n，其中n是一个正整数，采用传统的纯代数方法，即首尾相加法，可以找到其求和的解决路径。然而，在这一过程中，需要对n的奇偶性进行分析，以确保计算正确。

教师通过图形的直观性来阐释数学关系，可以非常形象地解释求和问题。我们可设想一个三角形阵列，由顶部开始向下（如图1），每一行小圆圈的数量分别为1，2，3，…，n。这些圆圈的总数恰好对应着求和公式1+2+3+4+…+n的结果。为了计算这个总数，可以将该三角形阵列沿斜边翻转，放置在原三角形的旁边，从而形成一个平行四边形。此平行四边形由n行组成，且每行包含n+1个小圆圈。因此，平行四边形内的小圆圈总数就是n（n+1）。这样，原先的求和问题便转化为计算平行四边形内圆圈的数量，从而得出求和公式的值。

（二）利用数形结合解决函数问题

在初中数学的学习阶段，学生首先接触到函数的基础概念，并逐步深入到正比例函数、反比例函数、一次函数和二次函数的探索中。对于初中生而言，思维的发展不应局限于表面的具象理解，而应通过图形和符号深入数学问题。掌握函数的关键在于理解其图象及其性质，为此学生需要学会如何在平面直角坐标系中精确地描绘函数图象。平面直角坐标系以直观的方式呈现有序实数对，通过坐标定位平面上的任意点。这种方法恰好展现了数形结合的思想，使学生能够将函数的图象与其解析式有效结合理解。函数解析式和函数图象是呈现函数特性的两种互补形式，彼此紧密相关，构成了一个不可分割的整体。解析式作为代数领域的产物，提供了函数的具体数学表达；图象则属于几何领域，直观地展示了函数的形状和变化趋势。在教学函数概念时，数学教师应深入利用这两种表现形式，贯彻数形结合的教学思想，帮助学生深刻理解并运用这种方法来解决问题，并在思维能力的提升上发挥关键作用。

如图２所示，函数y=x2+（2k-1）x+1+k与x轴相交的位置为点O和点A。（1）求出该函数的解析表达式。（2）设有一点B，位于该二次函数图象的对称轴右侧，并且使得三角形AOB的面积为6，确定点B的具体坐标。

教师通过绘制辅助线（参照图3），可以将数学问题视觉化处理，从而使得原本可能较为抽象的概念变得更加清晰，这正体现了数形结合思想的实际运用效果。

（1）由于函数的图象与x轴在点O处相交，得出0=k+1，解之得k=-1。代入给定的函数表达式y=x2+（2k-1）x+1+k，得到新的函数表达式y=x2-3x。

根据图3，在抛物线的对称轴右侧选择一个点B，并作垂直于x轴的线段BD，交x轴于点D。由于三角形AOB的面积为6，根据面积公式得出AO×BD=12。由于点A是抛物线y=x2-3x与x轴的另一个交点，解方程x（x-3）=0，得出x=0或x=3，因此AO的长度为3。由此可得BD的长度为4。将BD的长度设为x2-3x，解方程x2-3x=4，得到x=4或x=-1。但因为x=-1不符合题目要求的抛物线对称轴右侧的条件，故舍去。同时考虑到抛物线的顶点坐标是（1.5，-2.25），这意味着点B不可能位于x轴下方。因此点Ｂ的坐标是（４，４）。

（三）利用数形结合解决几何图形变化问题

在初中数学教学中，几何图形变化的主题占据重要位置，它是平面几何学习的基础。观察中考数学试题，我们可以发现涉及图形变化和位置关系的综合性问题所占的比例正逐年增加。许多学生在这一方面可能缺少必要的空间想象力和绘图技能。因此，教师在教学中应当注重图形变化的内容，利用动态的规律揭示图形的演变过程，以促进学生对图形变化的理解和认知。在数学教学中，学生往往集中于图形的形态特征，而忽视了图形在实际应用中的其他属性，如“面积”。例如，在教学平方差和完全平方公式时，教师可以将公式与图形结合起来，借助矩形面积的割补技巧来阐释平方差公式，如图4所示。

（四）利用数形结合解决统计问题

在数据统计中，多项数据的存在以及它们之间可能的相关性或独立性，使简单的数据陈述不够直观，难以凸显统计学的真正价值。然而，数形结合思想能够使数据统计变得直观明了，操作也更加简便。例如，在分析某中学一个月的财务支出时，首先需要对不同支出项目进行数据搜集。随后，利用折线图或柱状图来展示这些数据，这样的视觉呈现可以使支出情况一目了然。应用统计图表在实践中能显著提升数据分析的速度与效率。总的来说，数形结合思想的关键在于寻找并有效转化数与形的结合点。这种思想通过加强知识之间的转换与联系，对知识结构进行科学的构建。数形结合的方法不仅有助于提升知识掌握程度，还能在学习过程中深化对知识的理解。无论是在解释数学概念还是分析知识点时，数形结合都是丰富教学内容、改变学生传统学习模式的有效策略。

（五）通过数形互变锻炼思维

为了将数形结合的思维方式有效融合于数学教学中，教师应致力于不断挖掘并丰富数学课程内容，引入与学生年龄及认知发展阶段相适应的教学情境。通过教授学生如何理解和应用数形互动的理念，教师鼓励学生主动思考，从而增强他们的思维能力和自主学习能力。比如，在讲授“平面直角坐标系及其函数关系”时，教师应当挖掘生活中的实际例子，引导学生将数学问题抽象为代数表达，并建立起代数与图形之间的联系。在课堂教学中，教师可以设计以下情境：假设阿刚和阿浩计划在周六相聚于假山公园游玩。不料，周六在阿刚家集合之后，阿浩突然想起忘记带某样物品，便决定以原来的速度返回家中取回。当阿浩离开15分钟后，阿刚不愿再等，便独自前往公园等候。基于这一故事情境，教师可以引导学生利用坐标系来描绘阿刚和阿浩的出发时间与相应的距离关系，并在小组合作的形式下，让每个小组整理出对应的代数表达式，并进行必要的计算。课堂最后阶段，教师可以让各小组依次展示他们的发现，并分享解决问题的过程。这种教学方法不仅将现实生活与数学概念巧妙地结合，还能激发学生对数学学习的兴趣，帮助他们掌握数形结合思想，同时培养逻辑思维能力。

初中数学教师必须深刻领会数形结合的重要性，并努力将其融入教学中。这种方式不仅能够帮助学生更好地理解和掌握数学知识，还能够有效提高他们的综合素质。教师采用数形结合的方式，能够让抽象的数学概念变得清晰明了，让学习者能够更轻松、更深入地理解和掌握这些概念，从而提高他们的学习效率。因此，初中数学教师需要认真研究如何将数字与图象相结合，并且不断尝试和改进课堂方法。这样才能够帮助学生培养良好的思维、实际操作能力，从而使学生更好地理解和运用所学知识。

（作者单位：广饶县丁庄街道中心初级中学）

编辑：张俐丽