导数问题的教学策略

黄晓华

摘 要：导数是数学中的一个核心概念，其影响力遍布多个学科，从数学到物理、经济等各个领域都可见其身影。然而，在高中导数教学中，存在一些问题，这些问题不仅影响了学生的学习效果，也限制了导数知识的深入理解和应用。本文旨在探讨高中导数教学中存在的问题，并提出相应的对策，以期为师生在导数学习中提供有效的帮助和指导。

关键词：导数；微积分；高中数学；切线方程

导数，这个在微积分中占据核心地位的概念，常常让人望而生畏。然而，通过深入了解其本质和应用，我们会发现它实际上是对函数局部行为的一种精确描述。导数，也被称为导函数值或微商，其核心概念在于通过极限的思想对函数进行线性逼近。在微积分的语境下，导数可以被视为函数在某一点附近的变化率。这意味着，如果我们知道了一个函数在某一点的导数，就能了解这个函数在这一点的“斜率”，从而推断出函数在这一点附近是上升还是下降，以及上升或下降的速度。导数作为微积分中的核心基石，不仅具有深厚的理论价值，还有广泛的实际应用。通过深入理解导数的本质和应用，我们可以更好地掌握微积分的精髓，为解决各种实际问题提供有力的数学工具。它不仅可以帮助我们理解函数的动态行为，还能在解决实际问题的过程中发挥巨大作用。例如，在物理学中，导数被用来描述物体的速度、加速度等运动状态；在经济学中，导数被用来分析成本、收入等经济指标的变化趋势[1]。

导数专题的知识难度较大，常常在压轴题中出现。在山东高考中这种题型的特点通常是一大一小，分值在17分左右，需要考生具备扎实的数学基础和灵活的解题能力。因此，对于学习微积分的同学来说，掌握导数的概念和性质，以及熟练运用导数求解各种问题，都是至关重要的。

一、导数教学存在的问题

（一）学情分析

对于许多学生来说，导数是一个相对抽象的概念，它可能难以理解和应用。导数涉及函数的变化率、切线斜率等概念，这些概念需要一定的抽象思维能力来理解。在学习导数之前，学生需要掌握一定的基础知识，如函数、极限、连续、导数的性质、定义以及几何意义等。如果学生对这些基础知识理解不透彻，那么在学习导数时就会遇到困难。导数问题需要较强的逻辑思维能力，对思维强度要求较高。例如导数的运算法则，学生难理解、记不住。此外，学生缺乏实践机会，忽略了对学生实际应用能力的培养。这可能导致学生对导数的理解停留在理论层面，而无法将其应用到实际问题中。

（二）教情分析

数学是一门严谨的学科，教师的教学语言应该准确、简洁且逻辑性强。然而，在实际教学中，有时教师的语言可能过于随意或缺乏逻辑性，导致学生难以理解和接受教学内容。在教学过程中，教师和学生之间缺乏足够的交流。学生可能难以理解某些概念，或者他们的观念与教师的观念存在矛盾，但由于缺乏有效的沟通，这些问题无法得到及时解决，导致学生对导数的理解越来越模糊。教师的站位太高，不能积极地了解学生，不了解学生的痛点在哪里。教师在设计教学内容时未能充分考虑学生的认知基础，导致教学内容与学生实际掌握的知识水平存在较大的差距。这会影响学生的学习效果，甚至使他们对导数产生畏惧和排斥心理。教师知识面的广度和对导数的应用能力也是影响教学效果的原因之一[2]。某些教师注重习题的讲解，忽视对习题的归纳总结，导致学生难以形成系统的解题思路和方法。另外，有些教师的教学方法过于单一，缺乏灵活性和创新性，这也会影响学生的学习兴趣和积极性。

（三）教材分析

导数不仅是数学知识，也是一种数学思想，蕴含着函数思想和极限的思想方法。在人教版高中数学教材中，导数的概念出现在选修2-2的第一章，是学生在学习了物理的平均速度和瞬时速度，以及前节课所学的平均变化率基础上进行学习的。通过学习导数，学生可以更好地理解函数的变化趋势和性质，为以后更好地研究导数的几何意义和导数的应用奠定基础。人教版高中数学导数章节主要包括导数的概念、导数的几何意义、导数的计算、导数的应用等内容。教材通过实例引入导数的概念，让学生从实例中感受导数的本质和思想方法。同时，教材还注重培养学生的计算能力和应用意识，通过设置适当的练习和实际应用问题，让学生逐步掌握导数的计算方法和应用技巧。

二、新课标对导数的要求

新课标强调对导数概念的理解，包括导数的定义、几何意义和物理意义。学生需要理解导数描述的是函数在某一点处的瞬时变化率，以及它在图形上表现为切线的斜率。熟练掌握导数的基本运算，包括求导法则（如常数法则、幂函数法则、三角函数法则等）以及复合函数的求导。此外，还需要理解并掌握高阶导数的概念及计算方法。新课标要求学生理解导数在实际问题中的应用，如极值问题、最值问题、曲线的形状分析等。学生需要能够运用导数知识解决这些问题，理解导数在这些问题中的几何和物理意义。通过导数的学习，培养学生的数学素养，包括逻辑思维能力、抽象思维能力、分析问题和解决问题的能力等。同时，也希望通过导数的学习，让学生感受到数学在现实生活中的应用，提高学习数学的兴趣和动力。对导数的要求不仅仅是掌握基本的运算和概念，更重要的是理解导数的几何和物理意义，以及它在解决实际问题中的应用[3]。同时，通过导数的学习，培养学生的数学素养和解决问题的能力，达到提高数学核心素养的目标。

三、高考导数的考点分析

（一）导数的定义与性质：这是导数的基础，包括导数的定义、几何意义（切线斜率）、物理意义（速度、加速度等）以及基本性质。

（二）导数的计算：深入探索各类函数的导数求解。它涵盖了基础函数、复合函数、隐函数以及参数方程等复杂函数的导数计算，此外，还包括高阶导数的计算。

（三）导数与函数单调性、极值、最值：结合具体问题的背景和条件，深入探索导数在函数分析中的应用。

（四）导数与曲线形状的分析：通过导数，我们可以分析曲线的形状，如凹凸性、拐点等。

（五）导数的实际应用：导数在实际生活中有广泛的应用，如物理学、经济学、工程学等。在高考中，可能会出现给定实际问题，需要建立数学模型并求解的问题。

四、导数的教学策略

（一）注重基础知识、基本规律的教学

导数的基本知识、基本规律，是学好导数的必备条件。在新课教学中，要注重知识、概念、规律的形成过程。例如，我们在讲解导数的概念时，可以结合物理上的瞬时速度、瞬时加速度的概念，让学生更加深刻地理解导数就是变化率。再如，在讲解极值、最大值、最小值的时候，我们可以这样做，想象一下你站在一座山的山顶上，无论你往哪个方向看，都是下坡。这就是一个“极大值”点。相反，如果你站在一个山谷底部，无论你往哪个方向看，都是上坡。这就是一个“极小值”点。在数学中，函数的极值也是这样的点。在函数图像上，这些点周围的函数值都比这个点上的值小（对于极大值）或大（对于极小值）。接下来，引入导数的概念。告诉他们，我们可以通过求函数的导数来找到可能的极值点。导数为0的点，可能是极值点。但仅仅找到导数为0的点还不够，因为有些点可能并不是极值点。我们还需要进一步验证。

（二）开展分层教学，重视基础和拔高

根据学生的学习能力、基础知识和兴趣等因素，将学生分为不同的层次。这样可以确保教学内容和教学方法与每个层次的学生相匹配。针对不同层次的学生，制定不同的教学目标。对于基础较弱的学生，教学目标应侧重于导数的基本概念和性质；对于基础较好的学生，教学目标可以更加注重导数的应用和解题技巧。根据教学目标，为不同层次的学生设计不同的教学内容。对于基础较弱的学生，可以从简单的导数概念入手，逐步引入导数的性质和计算方法；对于基础较好的学生，可以深入探讨导数的应用，如极值问题、曲线分析等。对于基础较弱的学生，可以采用直观的教学方法，如图形演示、实例分析等，帮助他们更好地理解导数概念；对于基础较好的学生，可以采用启发式的教学方法，引导他们自主探索和解决问题。针对不同层次的学生，制定不同的评估标准和反馈机制。对于基础较弱的学生，可以注重他们的学习过程和进步情况，给予更多的鼓励和帮助；对于基础较好的学生，可以注重他们的解题能力和创新思维，给予更高层次的挑战和激励。

（三）导数问题的审题策略

导数问题，许多时候已知条件比较隐蔽，学生不理解、难以切入。因此，在审题时，学生需要具备一定的敏锐度和技巧。首先，学生需要认真阅读题目，理解题目的要求和已知条件。对于不明确的条件，可以通过画图、列表等方式进行辅助理解。其次，学生需要分析题目的特点，确定解题的策略。例如，对于函数单调性、极值、最值等问题，可以通过分析函数的导数来解决；对于曲线的形状分析问题，可以通过分析导数的符号和变化来判断。在审题过程中，学生还需要注意一些常见的错误和陷阱，避免被误导。例如，有时候题目中的“在某点处”和“在某区间内”会有很大的差别，学生需要仔细辨别。此外，学生还需要灵活运用导数知识，结合其他数学知识，如函数、不等式、方程等，进行综合分析和求解。在审题过程中，学生需要不断总结经验和教训，提高自己的审题能力。同时，教师也需要加强对学生审题能力的培养和指导，帮助学生更好地掌握导数知识，提高数学学习的效果。

（四）总结解题步骤和方法

导数问题，比较复杂，难度也大，要善于总结一些解题步骤和方法。理解题意，弄清楚题目要求什么，给定的条件是什么。根据题目要求，确定使用哪种导数知识或方法，使用确定的策略进行计算。例如，如果要求找函数的极值，那么需要找到导数为零的点，并检查这些点的左右两侧导数的符号。这可能包括求导、解方程、分析导数的符号等。最后，验证答案是否满足题目的所有要求。例如，如果找到了函数的极值点，那么需要验证这些点确实是极值点，并且满足题目给定的条件。

平时要善于给学生总结一下一些题型的解题步骤。

1.解决切线方程的问题步骤如下：

第一步：写出切点坐标，你需要知道要求写出曲线在哪一点上的切线方程。这个点称为切点，它的坐标（， ）是求解切线方程的关键信息。第二步：写出切线方程。

第三步：写出导函数，并把切点坐标带入导函数求导数：在微积分中，曲线的导数描述了曲线在某一点的斜率。因此，要找出切线的斜率，我们需要计算出曲线在切点处的导数。这通常通过求导函数在切点坐标（， ）的值来完成。

第四步：将导数带入切线方程。

通过以上四个步骤，你就可以求解出曲线在给定点的切线方程。这个过程涉及了微积分和解析几何的基本概念，展示了数学在描述和理解现实世界现象中的强大能力。

2.利用导数求函数单调区间的一般步骤：

第一步：确定原函数的定义域。

第二步：求出原函数的导函数。

第三步：让导函数大于零，求出导函数的解集，在导函数解集与原函数的定义域的交集上为增函数。

第四步：让导函数小于零，求出导函数的解集，在导函数解集与原函数的定义域的交集上为减函数。

通过以上步骤，可以求得函数的单调性。

（五）导数的实际应用

导数的实际应用非常广泛，它可以帮助我们理解和描述许多自然现象、社会现象的变化规律。以下是一些导数的实际应用示例：

1.速度与加速度：在物理学中，速度是位移关于时间的导数，而加速度是速度关于时间的导数。通过求导数，我们可以得到物体在任意时刻的速度和加速度，从而了解物体的运动状态。

2.最优化问题：在经济、工程和管理等领域，我们经常需要解决最优化问题，如最大化利润、最小化成本等。通过求函数的导数，我们可以找到函数的极值点，从而找到最优解。

3.曲线拟合与插值：在数据处理和图形绘制中，我们经常需要对一组离散的数据点进行拟合或插值，以得到一条光滑的曲线。通过求导数，我们可以得到曲线的斜率，从而进行拟合或插值。

4.图像处理：在图像处理中，导数被广泛应用于边缘检测、噪声去除和图像增强等方面。通过求图像的梯度（即像素值关于坐标的导数），我们可以检测到图像中的边缘信息，从而进行后续的处理。

5.机器学习：在机器学习中，许多算法都涉及导数的计算。例如，梯度下降算法就需要计算损失函数关于模型参数的导数，以更新参数并降低损失。此外，深度学习中的反向传播算法也依赖于导数的计算。

总之，导数在实际应用中具有广泛的应用价值，它可以帮助我们更好地理解和描述自然现象，解决各种实际问题。

结束语

导数教学在数学教育中占有重要地位。由于学生在理解、应用、总结等方面都存在一定的困难，教师的站位太高、缺少总结和创新等问题，导致导数的教学往往达不到既定目标。导数教学不应仅仅停留在抽象的理论层面，更应通过图像、实例等方式，使学生直观地理解导数的概念。例如，通过让学生观察函数图像的变化，理解导数在描述函数局部变化率中的作用。导数作为一种强大的数学工具，在实际问题中有广泛的应用。教师可以设置一些开放性的问题，让学生自行探究，培养他们的创新思维和解决问题的能力。导数教学需要培养学生的逻辑思维能力。在教学中，应注重引导学生理解导数的定义、性质、计算方法等方面的逻辑关系，使他们在掌握知识的同时，也提高逻辑思维能力。导数教学的先进做法应注重直观理解、实践应用、自主探索、逻辑思维、现代技术利用以及跨学科联系等方面，以全面提高学生的数学素养和解决问题的能力。

参考文献

[1]毛庆华.借助化归思想提升导数教学效率[J].中学数学，2024（5）：62-64.

[2]程建新，田阔.“大概念”引领下数学解题教学的实践与思考：以“一类导数恒成立问题的策略”为例[J].中学教研（数学），2024（3）：23-27.

[3]刘雪亮.合理创新设计，优化教学效果：基于“导数及其应用”的大单元教学[J].中学数学，2024（3）：94-95.