解题“四路”探究，教学方式变革

陈叶

摘要：数学解题及其研究是高中数学教学中的一个重要课题，对于提升教学与学习效益起到非常关键的作用.借助一道高考真题的剖析，结合教学活动，合理诠释数学解题及其研究过程中的“四路”探究教学，依托来路、思路、出路、套路等环节，挖掘问题内涵与实质，总结解题规律，尝试为数学问题的求解与解题研究提供一个基本学习模板，指导数学教学与解题研究.

关键词：解题研究；教学方式；探究；创新；变式

在新课标、新教材、新高考的“三新”背景下，随着新课程改革理念的深入，“双减”活动的逐步推进，教学改革成为必然.变革更加注重数学基础知识的发生与发展过程，以及关注学生数学思维能力的形成与培养过程，因此教学方式就显得特别重要.基于此，以2023年新高考Ⅱ卷第6题为例，探究数学解题“四路”与教学方式，给数学教学与教学方式的变革提出一个合理的尝试，结合教学实践来抛砖引玉.

1 立足课标，呈现“来路”

课程标准是数学教学与学习的根本依据，而历届高考真题往往是展示其重要标准的一个最典型的说明.在教学过程中，教师有针对性地呈现一些典型高考真题，合理呈现问题的“来路”，为课堂教学与学习奠定坚实的基础，成为解题的基石所在.

高考真题  （2023年高考数学新高考Ⅱ卷·6）已知函数f（x）=aex-ln x在区间（1，2）上单调递增，则a的最小值为（  ）.

A.e2

B.e

C.e-1

D.e-2

此题以含参函数在给定区间上的单调性来创设问题场景，结合参数的最值求解来设置问题.问题简洁明了，难度中等，解题思路常规，思维方式多样.

具体解题时，可以从函数的求导入手，借助导函数的确定，利用函数的单调性建立含有导函数的不等式（恒成立），在此基础上，可以通过函数的图象与性质思维以及参变分离思维等不同形式来分析，进而结合不同的知识点来解决与处理.

2 解题研究，展开“思路”

解题研究应用是课堂教学与学习的基本落脚点，课堂教学（特别是高考复习中）往往也是围绕这个来合理落实“四基”.在教学过程中，合理创设问题，巧妙展开问题的“思路”，引导学生自主参与解题，是课堂教学与学习的关键所在.

由于问题的典型性和切入点的差异性等，展开的“思路”就各有不同，也为问题的解决与研究提供了各种精彩纷呈的技巧方法，因此解题研究成为培养学生关键能力与核心素养的一个重要场所.

2.1 函数的图象与性质思维

根据函数与导数的关系，利用函数的单调性来构建涉及导函数的不等式（恒成立），结合关系式的变形与转化，基于两个熟悉的基本初等函数的图象与性质，借助函数的图象直观来理解与应用，是处理此类问题的“通性通法”.

解法1：函数图象转化法.

依题意，f（x）=aex-ln x，则f′（x）=aex-1x.

而函数f（x）在区间（1，2）上单调递增，可得f′（x）≥0，x∈（1，2）.

于是有aex≥1x，考察函数y=aex和函数y=1x，x∈（1，2）的图象.

显然，当a>0时，函数y=aex在区间（1，2）上单调递增，函数y=1x在区间（1，2）上单调递减.

所以满足ae1≥11即可，解得a≥1e=e-1，即a的最小值为e-1.

故选：C.

点评：抓住基本初等函数的图象与性质，利用图象的直观来转化与应用，处理起来比较简单易懂.

2.2 参变分离思维

根据函数与导数的关系，利用函数的单调性来构建涉及导函数的不等式（恒成立），可以借助不同的思维视角来进行参变分离处理，利用不等式的一边为参数式一边为变量式，借助函数的构建以及求导处理，通过函数的单调性以及最值的确定来构建涉及参数式的不等式，从而实现参数的最值或最值范围的求解.

解法2：分离参数法.

依题知f（x）=aex-ln x，则f′（x）=aex-1x.

而函数f（x）在区间（1，2）上单调递增，可得f′（x）≥0，x∈（1，2），

则有a≥1xex.设函数g（x）=1xex，x∈（1，2），

求导可得g′（x）=-x+1x2ex<0，则函数g（x）在区间（1，2）上单调递减，

所以g（x）≤g（1）=1e，则有a≥1e=e-1，即a的最小值为e-1.

故选：C.

点评：不同思维视角的参变分离处理，是解决此类问题的一种“巧技妙法”，对于数学运算与逻辑推理等方面的能力有不同的要求.

3 目标变式，探寻“出路”

目标问题的变式与应用，是在问题的分析与解决的前提下，总结解题过程，归纳技巧方法，剖析思维方式等，对问题进行再探究与再学习.在此基础上，探寻问题的“出路”，对问题进行合理的、多层面的变式与应用，是基于原问题解决的深度学习.

当然，对于目标变式的不同深入方式，可以达到不同程度的深度学习，可以有不同的体会与收获，往往可以围绕“一题多变”“多题一解”“结论归纳”等方式加以目标变式与拓展应用，为学习和积累提供一个很好的空间，有效提升关键能力与培养核心素养.

3.1 性质变化

借助含参函数在给定区间上单调性的变化，对应参数的最值也应发生变化，得到以下相应的变式问题.

变式1  已知函数f（x）=aex-ln x在区间（1，2）上单调递减，则a的最大值为.

教学活动：当a≤0时，显然函数f（x）=aex-ln x在区间（1，2）上单调递减，满足条件；

当a>0时，依题可得f′（x）=aex-1x，

而函数f（x）在区间（1，2）上单调递减，则f′（x）≤0，x∈（1，2），

于是有a≤1xex.设函数g（x）=1xex，x∈（1，2），

求导可得g′（x）=-x+1x2ex<0，则函数g（x）在区间（1，2）上单调递减，

所以g（x）≥g（2）=12e2，故0＜a≤12e2.

综上，a≤12e2，故a的最大值为12e2.

3.2 函数变化

借助含参函数中参数对应位置的变化，从而含参函数的解析式也对应产生变化，得到以下相应的变式问题.

变式2  已知函数f（x）=ex-aln x在区间（1，2）上单调递增，则a的最大值为.

教学活动：当a≤0时，函数f（x）=ex-aln x在区间（1，2）上单调递增，满足条件；

当a>0时，依题可得f′（x）=ex-ax.

而f（x）在区间（1，2）上单调递增，则f′（x）≥0，x∈（1，2），

于是有a≤xex.

设函数g（x）=xex，x∈（1，2），求导得

g′（x）=（x+1）ex>0，所以g（x）在区间（1，2）上单调递增，

所以g（x）≥g（1）=e.故a≤e.

4 拓展反思，总结“套路”

及时的、不间断的归纳与总结，合理的反思与反馈，给自身以不断提升的动力与能量.而总结问题的“套路”，特别是基于解决问题与深度学习的拓展、反思，就是学习中良好思维习惯的一个重要体现.

基于合理的拓展反思，通过“解一题”，合理“拓一类”，巧妙“变一通”，达到“会一片”的教学目的.

涉及含参函数的单调性及其综合应用问题，“通性通法”就是对相应的含参函数求导，利用导函数所对应的不等式（恒成立）问题，借助函数的图象与性质来处理，是解决参数最值或取值范围问题的常用技巧方法；而参变分离后再利用函数的图象与性质来分析与处理，也是解决问题的基本“巧技妙法”.

无论哪种解题思维与解法，恒等变换是基础，求导处理是方法，合理构建是关键，图象性质是手段，借助整体换元思维、同构思维等加以应用，最终达到确定参数的最值或取值范围问题.

在破解一些典型的数学问题后，不要直接“翻篇”，要合理停留，深挖内涵，领悟反思，对问题进行多角度、多层面剖析、探究，达到触类旁通、举一反三的良好效果.借此机会，可以尝试对问题进行“一题多思”“一题多解”，彻底“吃透”问题，进而开动思维，合理“一题多变”“一题多得”.

这样，学生对数学基础知识与数学基本技能的理解与掌握会更加熟练，知识体系的构建会更加完善，解题思路也会更加开阔，从而真正提高数学解题效益.培养学生的数学发散思维能力，更加有助于激发学生学习的主动性、积极性和趣味性，从而全面提高他们的知识水平和思维能力.