融合信息技术 促进深度学习

王丽凤　陶珺

［摘 要］以教育信息化引领教育现代化的发展，一定要坚持信息技术与教育教学深度融合的理念。文章以“函数的单调性与最大（小）值”的教学为例，阐述如何将信息技术与高中数学教学进行深度融合。

［关键词］信息技术；高中数学教学；融合；深度学习

［中图分类号］    G633.6        ［文献标识码］    A        ［文章编号］    1674-6058（2024）11-0018-04

《义务教育数学课程标准（2022年版）》在“课程理念”部分指出，要促进信息技术与数学课程融合，利用现代信息技术，设计生动的教学活动，促进数学方式方法的变革。在当今信息化时代，随着信息技术的迅猛发展，将各种信息技术和网络资源逐步融入中学数学教学中，是落实数学核心素养的重要途径之一。

信息技术是指应用计算机、网络以及多媒体等现代电子技术，对信息进行采集、存储、传输、加工、应用和保护的技术体系。信息技术与数学教学融合的方式主要是综合利用音频、图片、视频等网络资源，将公式、定理、概念等动态化、直观化地展示出来，让学生在直观化、信息化的环境下迅速找准数量关系，明确数学动态关系，从而开展数学深度学习。

信息技术与高中数学教学的融合是非常紧密的，在高中数学教学中有着广泛应用的信息技术主要有以下几种：

1.白板软件。白板软件有着强大的可视化功能，利用它可以使诸多图片、视频、网页、文本、画笔、流程图、思维导图等成为信息传递的媒介，其中一些教育类白板软件为教师提供了丰富的教学资源，便于教师更好地进行师生、生生互动。

2.幻灯片演示软件（简称PPT）。PPT可以创建含有文本、表格、图像、视频、音频等多种元素的课件，以实现课堂中精彩的演示。

3.几何画板。几何画板是一款作图和实现动画的辅助教学软件，是出色的数学教学软件之一，它能够动态地展示几何对象的确切位置关系、运行变化规律。

4.GeoGebra软件（简称GGB）。GGB是一款功能极其强大的图形计算器，它除了可以绘制平面图形、3D图形，还可以处理代数和符号运算、概率统计运算、几何运算、微积分运算等多种运算。GGB可以在代数区显示出图形的信息，同时可以在绘图区通过拖动对象来观察代数区的表达式、坐标的同步变化，加深学生对图形与数据之间变化关系的理解，从而有效地提高学生的学习效率。下面笔者以“函数的单调性与最大（小）值”教学为例，阐述如何将信息技术与高中数学教学进行深度融合。

一、信息技术与高中数学教学的融合实践

（一）创设情境

师：科考队对沙漠气候进行科学考察，如图1所示是沙漠地区某天气温随时间的变化曲线图。你能根据曲线图说一说气温随时间的变化情况吗？

设计意图：让学生从气温随时间变化的曲线图中体会“早穿棉袄午穿纱，围着火炉吃西瓜”这一独特的沙漠气候，直观感知气温变化；自然引入函数的单调性，激发学生的学习兴趣，让学生体会数学来源于生活。

问题1：观察三个函数图象（如图2），说说它们反映了函数的哪些性质？

师生活动：通过前面的铺垫，学生从单调性等角度观察函数图象，进而发现函数的最值、对称性等。教师进一步给出函数单调性的概念。

设计意图：给出函数一般的图象，让学生感受到可以从多个角度研究函数的性质，为后面重点研究函数的单调性做好铺垫。

（二）复习回顾

1.一次函数[y=kx+b（k≠0）]的图象及其性质

当[k>0]时，一次函数[y=kx+b]的图象如图3所示。

问题2：观察图象，它反映了函数的哪些性质？

追问1：直线上的一个动点[P]从[P1]运动到[P2]，点[P]的位置升高了，[P1]、[P2]对应的坐标关系可以怎么表示？

追问2：[x1]和[x2]的范围是什么？

师生活动：学生回顾初中学过的一次函数及其图象。首先是以[k>0]为例，直观感受图象特征：从左往右逐渐上升。从函数的角度归纳出函数值[y]随[x]的增大而增大的一般规律。教师通过引导“从点[P]运动的角度看直线呈上升的趋势”，得到单调递增的符号语言表示。接着，由学生在[k<0]的条件下用三种语言表示函数单调递减的性质。

设计意图：在学生已有的认知基础上，通过问题串引导学生初步形成“函数单调性的定义”的符号表示。在这个环节中，通过强调三种语言（图形语言、自然语言、符号语言）的转化，使学生形成研究数学性质的一般思路，即从“形”的角度感知函数图象的特征，并能描述性质，最后用数学符号表示。函数性质的符号化有着很重要的意义，它是函数性质能够“量化”的基础，也是高中阶段研究函数的方法较初中更为“高级”的地方。

2.特殊函数[f（x）=x2]在区间[-∞，0]上单调性的数学符号语言表达

教师利用信息技术给出函数[f（x）=x2]的图象，并标出两动点[A]、[B]的坐标，如图4所示。

问题3：你能用符号语言描述[f（x）=x2]在区间[-∞，0]上的单调性吗？（学生动手探究）

追问1：“[x]增大”用符号语言怎样表示？相应的“函数值[y]减小”用符号语言怎样表示？

追问2：你能用字母符号表达它们的共同特征吗？

追问3：这里变量[x1]、[x2]要满足什么条件？只取某些数是否可以？

追问4：你能给出更严谨的表达吗？

教师活动：教师利用信息技术展示函数[f（x）=x2]图象，然后让学生在[y]轴左侧随意拖动[A]、[B]两点，让学生感受到：只要某点的横坐标比另一个点的横坐标小，它的纵坐标就比另一个点的纵坐标大。

设计意图：“任意”“都有”这类无限语言取值的理解是教学难点，教师通过信息技术动态展示了函数值[y]随自变量[x]变化而变化的规律，学生可以亲自动手操作并且感受自变量取值的任意性。

问题4：类比上述方法，你能用符号语言描述[f（x）=x2]在区间[0，+∞]上的单调性吗？

（三）形成概念

问题5：你能用符号语言描述函数[f（x）=x]（如图5）和[f（x）=-x2]（如图6）的单调性吗？

学生活动：类比熟悉的二次函数[f（x）=x2]的单调性的描述方法，进一步用三种语言描述函数的单调性，提高单调性的区间意识；通过观察函数图象发现函数[f（x）=x]和 [f（x）=-x2]的单调性，进一步用三种语言描述函数的单调性。

问题6：你能归纳关于函数[f（x）=x2]， [f（x）=x] ，[f（x）=-x2]的单调性的刻画方法，给出函数[y=f（x）]在区间[D]上单调性的符号表示吗？

学生归纳总结出[f（x）=x2]，[f（x）=x]，[f（x）=-x2]的单调性（见表1）。

（2）[?x1]，[x2∈0，+∞]，当[x1 （1）[?x1]，[x2∈-∞，0]，当[x1f（x2）]。

（2）[?x1]，[x2∈0，+∞]，当[x1 （1）[?x1]，[x2∈-∞，0]，当[x1f（x2）]。

（2）[?x1]，[x2∈0，+∞]，当[x1

师生活动：首先由学生独立完成，再小组进行交流讨论，然后全班学生共同得出结论，最后教师给出函数单调性的定义。

设计意图：数学研究的基本原则是从简单到复杂、从特殊到一般，在利用一次函数进行铺垫后，以二次函数[f（x）=x2]为例，让学生理解符号语言的使用，再通过函数[f（x）=x]和[f（x）=-x2] 强化符号语言的使用，从而抽象出函数单调性的定义。

（四）概念辨析

思考1：反比例函数[f（x）=1x]在定义域上是减函数吗？

思考2：设A是区间D上某些自变量的值组成的集合，而且[?x1]，[x2∈A]， 当[x1

设计意图：通过辨析反比例函数，使学生进一步理解函数单调性的定义，体会正是因为单调性强调“任意……都……”，所以导致“单调性是函数的局部性质”这一特征的形成。

（五）应用探索

［例1］根据函数单调性的定义，研究函数[f（x）=kx+b（k≠0）]的单调性。

师生活动：先让学生独立思考，再让学生共同讨论研究思路，然后由学生给出严格的表述（或让几个学生板书），最后教师引导学生进行点评。

设计意图：引导学生利用定义证明结论，既体现形式化定义的作用，又通过推理过程，让学生理解使用函数单调性的定义证明函数单调性的基本步骤与方法。

［例2］物理学中的玻意耳定律[p=kV]（[k]为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大，试对此用函数的单调性证明。

学生活动：先思考“体积V减小时，压强p增大”的字面意思，再联系物理学中的意义，然后给出证明过程，最后共同总结完善结论。

追问：你能总结例1、例2的解题过程，归纳用函数单调性的定义研究或证明函数单调性的基本步骤吗？

设计意图：让学生体会数学函数模型的作用；明确数学研究的思路：抽象概括生活中的一般性问题，再将这些一般性问题抽象成一类函数，最后研究这一类函数的性质，从而得到事物变化的本质规律；共同完善、总结证明函数单调性的基本步骤和方法。

学生活动：利用函数单调性的定义证明一次函数和反比例函数的单调性，并归纳证明步骤。

设计意图：学生利用函数单调性的定义，从代数运算的角度对一次函数的单调性进行讨论，由此体会到：用符号语言描述函数的单调性，使得函数的这一性质得以量化、证明，进一步体会数学符号的严谨性、科学性和间接性，同时对初中三大函数（一次函数、二次函数、反比例函数）的单调性有完整的认识。

（六）归纳小结

知识点：1.三种数学语言及其转换；2.函数单调性的定义；3.判断函数单调性的方法：图象法、定义法；4.证明函数单调性的基本步骤。

思想方法：数形结合、分类讨论。

领悟与体验：数学源于生活，知识源于积累。

设计意图：让学生总结研究函数性质的一般方法，体会形与数之间的转化。为后续学习函数的最值、对称性、周期性等提供研究思路。

二、信息技术与高中数学教学深度融合的意义

深度学习是教师引领学生对知识进行深层加工，对学习主题进行整体设计，引领学生深入理解知识本质，主动参与探究问题的过程。深度学习可促进学生的思维从低阶走向高阶，使学生深刻领悟思想方法，进而提升学习内驱力。

首先，信息技术与高中数学教学的深度融合实现了教学方式的改变。数学深度学习需要教师优化教学设计，例如本教学设计在提出问题3时让学生利用信息技术拖动[A]、[B]两点，创设了学生感兴趣的探究活动，充分调动学生学习的积极性，引导学生主动参与学习，使学生获得感知与体验，逐渐提升学生的数学能力与核心素养。

其次，信息技术是深度学习的强有力的工具，信息技术可将公式、定理、概念、图形、音频、视频等资源动态化、直观化地展示出来，这方面的作用在本教学设计中十分明显。学生在直观化、信息化的环境下能迅速找准数量关系，明确数学动态关系，从而实现由简单的知识结构向抽象的知识结构转化，促进学生的数学思维从低阶走向高阶。

最后，利用信息技术可以有效破解教学难点。本节课中，对“任意”“都有”这类无限语言取值的理解是教学难点，教师通过信息技术动态展示了函数值[y]随自变量[x]变化而变化的规律，学生可以亲自动手操作并且感受自变量取值的任意性，教学效果奇佳，有效地突破了教学难点。

［   参   考   文   献   ］

［1］  人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心.普通高中教科书 数学 必修 第一册［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］  于莺彬.基于问题导向的高中数学核心素养培养策略［J］.数学通讯，2019（10）：4-7，10.

（责任编辑 黄桂坚）

［基金项目］本文系2024年南宁市教学成果“‘三阶六步教学模式的实践与研究——基于信息技术促进高中数学深度学习”的应用。