Mathematica在高中物理习题教学中的应用

谢文海

［摘 要］Mathematica 能对物理规律进行精确动态的仿真模拟。带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动是高考考查的重点情境之一。文章以Mathematica可视化带电粒子在匀强磁场中的运动轨迹为例，探讨如何借助Mathematica优化习题教学过程，提高教学效率，以此帮助学生构建直观的物理图像和掌握物理规律，培养学生的建模能力及解决实际问题的能力。

［关键词］Mathematica；磁场；动态圆；习题教学

［中图分类号］    G633.7        ［文献标识码］    A        ［文章编号］    1674-6058（2024）11-0043-03

《普通高中物理课程标准（2017年版2020年修订）》提倡教学方式多样化，要求教师通过多样化的教学方式，利用现代信息技术，引导学生理解物理学的本质［1］。教师应积极将信息技术与物理教学进行深度融合，提高物理教学质量和教学效率，发展学生的物理学科核心素养。借助Mathematica可以将物理概念可视化，动态直观地展示物理过程的变化，从而帮助学生理解物理概念和探究物理规律，培养和发展学生的物理学科核心素养。

Mathematica［2］是集符号计算、数值模拟、图形绘制和仿真模拟于一体的强大数学软件。借助Mathematica绘制二、三维图像，不仅可以动态旋转图像，还可以调节参数实时改变图像进行人机交互，甚至可以进行动画模拟。目前，Mathematica的应用已经涵盖高中物理的各个方面，有较复杂的计算过程求解，如单摆任意摆角下的振动［3］；有物理实验数据的处理，如伏安特性曲线的处理［4］；有物理过程的模拟和物理图像的描绘，如光的干涉和衍射［5-6］、波的干涉和衍射［7］、简谐波的合成［8］等。本文主要借助Mathematica强大的数值模拟能力、图像绘制能力和人机交互能力，展示其在高中物理习题教学中的应用。

带电粒子在磁场中的运动不仅是高中物理教学的重难点，还是高考频频考查的知识内容。而带电粒子在电磁场中复杂多变的运动情境，是对学生推理能力、建模能力、分析能力和解决问题能力的综合考查。在高中物理习题教学中，学生在构造动态圆模型、找出粒子的临界运动轨迹、发现规律等方面存在诸多困难。本文以Mathematica可视化带电粒子在匀强磁场中的运动轨迹为例，探讨如何借助Mathematica优化习题教学过程，提高教学效率，以此帮助学生构建直观的物理图像和掌握物理规律，培养学生的建模能力及解决实际问题的能力［9-10］。

一、粒子速度方向相同、大小不同时，带电粒子的运动轨迹

（一）例题展示

［例1］如图1所示，边长为[2L]的等边三角形ABC区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，一束质量为m、电荷量为[-q（q>0）]的同种带电粒子（不计重力），从AB边的中点，以不同速率沿平行于BC边的方向射入磁场区域（均垂直于磁场方向射入），那从BC边射出的粒子最小速率为多少？

如图2所示，借助Mathematica软件模拟给出了带电粒子在三角形磁场中的运动轨迹。带电粒子在磁场中运动的速度越大，半径就越大。当速度较小时，粒子从[AB]边射出磁场，如图2（1）所示。当速度增大到运动轨迹恰好与[BC]边相切时，带电粒子从[BC]边射出磁场的速度最小，运动轨迹如图2（2）所示。此时，从几何关系的角度不难算出圆的半径满足关系[R1=12Lcos30°=34L]，进而求出速度的大小为[vmin=3qBL4m]。

（二）问题拓展

1.拓展一

本题还可以进一步讨论带电粒子从[AB]和[AC]边射出的速度范围。如图3所示，当粒子的速度不同时，借助Mathematica软件模拟给出了运动轨迹的缩放圆。此程序将入射速度[v]看成放在微分方程的边界条件中的一个参数，使用Mathematica软件中的ParametricNDSolve命令可以计算出微分方程依赖参数[v]的数值解。此外，还使用Table函数对[v]赋不同的数值，并用ParameterPlot命令将在不同入射速度[v]的情况下带电粒子在磁场中的运动轨迹都呈现在图中，如图3所示。

相同带电粒子在同一匀强磁场中做匀速圆周运动，速度越大半径越大，从图3中可以看出，当速度较小时，粒子从AB边射出，而当速度增大到运动轨迹与BC边相切时，从AB边射出的速度最大，如图2（2）所示。因此，粒子从磁场AB边射出的范围为[03qBLm]时，带电粒子从AC边射出，如图2（4）所示。

2.拓展二

借助Mathematica不仅能讨论从BC边入射速度[v]的临界值，还可以讨论当质量、电荷量和带电粒子在磁场中的初始位置不同时，甚至射入磁场的角度不同时，从BC边射出磁场时的速度的临界值。

如图4所示，当使用进度条改变磁感应强度、射入磁场的初始位置以及入射角度的大小时，Mathematica程序自动更新了带电粒子恰好从BC边射出磁场速度达临界值时的运动轨迹。如图4（1）所示，当带电粒子的质量、电荷量、射入磁场的初始位置和入射角度都不变时，仅仅改变磁感应强度的大小（图中用符号颜色透明度表示磁感应强度大小），不仅有利于学生直观地感受磁场强度对带电粒子偏转规律的影响，而且增强了程序的直观视觉效果。如图4（2）、（3）所示，当其他条件不变时，仅改变带电粒子射入磁场的初始位置，Mathematica程序便给出了带电粒子从BC边射出的临界运动轨迹。

图中的初始位置代表带电粒子射入点离O点的距离。当改变带电粒子射入磁场的初始位置时，Mathematica程序自动更新了带电粒子从磁场BC边射出的临界轨迹和临界速度的公式。从图中可以发现，当初始位置离A点越近时，带电粒子从BC边射出的运动半径就越大，临界速度就越大，离A点越远时，临界速度就越小。

同理，当改变入射角度时，粒子从[BC]边射出磁场的临界速度[v]如图4（4）所示。教师可以引导学生计算出速度的大小，并对图中的结果进行验证。教师还可以拖动进度条改变参数，直观动态地将粒子的运动轨迹呈现出来。

二、粒子速度大小相同、方向不同时，带电粒子的运动轨迹

（一）例题展示

［例2］如图5所示，在直角坐标系[xOy]中，x轴上方有匀强磁场，磁感应强度大小为[B]，磁场方向垂直于纸面向外。许多质量为m、电荷量为[+q]的粒子，以相同的速率v沿纸面向内，由x轴负方向与y轴正方向之间的各个方向从原点O射入磁场区域。不计重力及粒子间的相互作用，画出带电粒子在磁场中可能经过的区域（其中[R=mvqB]）。

如图6所示，借助Mathematica软件模拟给出了可视化旋转圆的运动轨迹。在Mathematica程序中，仅仅改变带电粒子的入射角度，带电粒子圆周运动的轨迹就开始旋转。当带电粒子沿[x]轴负方向运动的时候，其轨迹如图6所示，是一个完整的圆，随着粒子的出射角度向[y]轴正方向逐渐转动，这个圆逐渐沿顺时针方向转动；当带电粒子沿[y]轴正方向运动的时候，其轨迹为一个半圆。根据分析，在这个轨迹圆转动的过程中，图中完整的圆与半圆相交的部分不会有带电粒子经过。

（二）问题拓展

本题还可以进一步讨论，当带电粒子带负电、磁场向里以及带电粒子的速度方向范围不同时，带电粒子可能通过的区域。

如图7所示，借助Mathematica软件模拟给出了当带电粒子带负电、磁场向里以及带电粒子的速度方向范围不同时，带电粒子可能通过的区域。当带电粒子为负电荷时，通过的范围如图7（1）所示，仅仅为半圆的面积。如图7（2）所示，当带电粒子为负电荷，磁场方向垂直于纸面向里时，带电粒子在磁场中通过的区域与磁场方向垂直于纸面向外的正电荷运动的区域相同。如图7（3）所示，借助Mathematica软件模拟给出了当带电粒子入射方向与[x]轴正方向的角度在[π4 ]～[ 3π4]范围内时带电粒子通过的区域。

带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动是高考考查的重要情境之一。此情境不仅注重基础知识、物理概念的考查，还对学生的图文获取能力、几何素养、推理能力和模型建构能力以及学科素养、思维水平和综合能力有较高的要求。

教师可以将Mathematica程序做成课件或者动画呈现在课堂教学中，给学生创造出可视化和动态化的教学情境，从而大大降低学生对磁场习题的理解难度。此外，教师也可以利用Mathematica提高学生的课堂参与度，如让学生亲自移动Mathematica程序中的进度条进而改变物理量，然后观察带电粒子在磁场中运动轨迹的实时动态更新。这样，不仅能让学生在参与的过程中加深对磁场中动态圆运动规律的理解，而且能使课堂更加有趣和高效。教师还可以通过Mathematica程序对习题进行拓展性讲解，这样不仅能夯实学生的基础，而且能提高学生对知识的迁移能力和灵活运用能力。使用Mathematica演示动态圆程序，不仅能突破难点，而且能帮助学生完成从抽象思维向形象思维的转变，达到事半功倍的教学效果。

基于Mathematica软件仿真程序，将信息技术与物理教学进行深度融合，模拟出带电粒子在磁场中运动的动态圆轨迹，为学生创设可视化、动态化的教学情境，能促进学生有效掌握物理规律，突破学习难点。

［   参   考   文   献   ］

［1］  中华人民共和国教育部.普通高中物理课程标准：2017年版2020年修订［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］  沃尔夫雷姆.MATHEMATICA［M］.赫孝良，周义仓，译.西安： 西安交通大学出版社，2002.

［3］  谢忠伟.应用Mathematica计算单摆任意摆角下的振动曲线［J］.亚太教育，2016（35）：117.

［4］  尹芬芬，王应.Mathematica在伏安法测试电阻实验的应用［J］.集成电路应用，2019（6）：76-77.

［5］  任继阳，刘心益.运用Mathematica描绘光的多缝衍射图样［J］.玉溪师范学院学报， 2011（4）：61-64.

［6］  陈学文，罗源源，张家伟，等.光的衍射的理论分析及Mathematica仿真模拟［J］.西南师范大学学报（自然科学版），2018（11）：156-161.

［7］  陈显盈，尤爱惠.用Mathematica演示波的衍射、干涉现象［J］.物理通报，2010（11）：95-96.

［8］  陈大伟，斯小琴.Mathematica模拟简谐振动的合成［J］.物理通报， 2017（4）：111-114.

［9］  滕艳萍，郭桂周，杨硕.应用Mathematica软件优化高中物理教学研究［J］.物理通报，2018（1）：73-78.

［10］  谷程鹏，陈武静，文伟.Mathematica交互式程序在高中物理教学的应用［J］.物理通报，2022（11）：132-136.

（责任编辑 黄春香）