基于百分数统计意义的理解发展学生数据意识*

摘要 对百分数统计意义的感悟与理解是学生数据意识发展的表现之一。扇形统计图的教学要基于百分数统计意义的理解，以具有统计意义的现实数据为基点，以引发数据需求的现实情境为起点，以意义表征中理解图表结构为支点，以指向问题解决的数据分析为重点，以对于不确定性的统计感悟为拐点，培养、发展学生数据意识，并促进其向数据观念进阶。

关  键  词 数据意识；百分数；统计意义；随机性；扇形统计图；大数据

引用格式 赵斌.基于百分数统计意义的理解发展学生数据意识[J].教学与管理，2024（17）：41-44+51.

与《义务教育数学课程标准（2011年版）》相比，《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《2022年课标》）将原有的“数据分析观念”发展为指向小学的“数据意识”和指向初中的“数据观念”，这一改变体现了《2022年课标》在“统计与概率”领域核心素养培养目标上的一致性、层次性和阶段性。《2022年课标》中另一变化就是将百分数从“数与代数”领域调整到“统计与概率”领域，建议通过现实问题中的随机数据引入百分数学习，帮助学生了解百分数的统计意义，了解利用百分数可以认识现实世界中的随机现象，作出判断、制订标准，同时引导学生了解扇形统计图可以更好地表达和理解百分数。这一改变意味着在“百分数”和“扇形统计图”这两个单元的教学中，需要一以贯之、循序渐进地促进学生对百分数统计意义的感悟和理解。在“扇形统计图”教学中，如何结合“百分数”单元共同促进学生对百分数统计意义的理解？如何在统计图特征理解的基础上发展数据意识？如何落实小学与初中在“统计与概率”领域核心素养培养目标上的一致性、层次性和阶段性？笔者在“扇形统计图”第一课时的教学中进行了一些思考与探索。

一、具有统计意义的现实数据是培育数据意识的基点

数据材料的选择是统计教学的难点。这些数据材料首先要贴近学生生活现实，这有助于减轻学生的认知负荷，有利于学生更有效地参与学习活动；其次要源自真实的统计问题，体现统计学的特点，以激发学生学习的情感认同[1]。扇形统计图作为小学阶段学习的最后一种统计图，其数据是百分数而非具体数量。《2022年课标》指出了百分数的两种意义：一种是描述两个确定数据之间的倍数关系，即百分数的数学意义，如酒精含量、利率、税率等；另一种是描述两个随机数据之间的倍数关系，即百分数的统计意义，如射击命中率、植物成活率等。只有用百分数描述随机数据的倍数关系时其才具有统计意义[2]。“扇形统计图”的教学，数据材料的选择上应选用随机性数据，表达出百分数的统计意义，这是进行统计推断的保障，也是培育统计意识的基点。

在“扇形统计图”第一课时的教学中，笔者以“对比沿海城市和内陆城市空气质量”为主题，以描述空气质量情况的百分数数据实施教学。环保主题，市民关注度高，贴近学生生活现实；空气质量，有一定的规律性，又具有随机性，计算出的百分数具有统计意义。空气质量的对比属于“质”的对比，需要通过“量”进行刻画，又可转化为“率”实施对比，有助于深化学生对百分数统计意义的理解，催生数据意识。两类城市的数据对比，需要通过抽样、大数据等技术手段进行分析，同时又蕴涵着大量的、可从不同维度进行分析的信息，有助于学生开展统计推断、演绎推理、批判质疑等活动，发展、提升他们的数据意识。

二、引发数据需求的现实情境是培养数据意识的起点

数据意识，其实质就是每当遇到问题的时候，会想到通过事实来分析，用数据来说话，只有这样，才有可能客观地反映实际情况，进而解决问题[3]。数据意识的形成不是表现为对统计指令的机械执行和对统计方法的被动接受，而是表现为对数据意义、价值及其随机性的感悟与理解，以及统计数据需求、统计方法需求的自觉萌发，并逐步形成知、情、意的统一。教师应营造包含随机性数据、具有数据冲突的现实情境，让学生沉浸情境、萌发内需、主动思辨、体验感悟、反思内省，这是培养数据意识的起点。

随机性数据从哪里来？我国著名统计学家陈希孺将随机数据分为：重复测量同一对象数据、抽样数据、试验设计所得数据三类[4]。分析抽样数据的性质或特征可以推断总体的情况。“抽样与数据分析”是初中阶段学习的主题内容之一，小学阶段未作要求，但在小学阶段教学中适时结合具体问题情境，引导学生初步萌发抽样的需求，了解简单的抽样方法，不仅有助于数据意识的形成，更能与初中教学内容相衔接，体现不同学段在“统计与概率”领域核心素养培养目标上的一致性、层次性和阶段性。

数据的冲突性又该如何体现？扇形统计图的特征在于能直观、清楚地反映各分量与总量之间的百分率关系，扇形统计图的教学在情境创设中要体现生活数据与百分数间的转换需求，体现百分数形成的必要性[5]。因此，虽然扇形统计图的价值在于描述一个总量内各分量与总量的“纵向”比较关系，但要引发百分数形成的必要性内需，需要借助几个不同总量中分量与分量的“横向”比较关系展开，在“横向”比较中引发认知冲突并引出百分数，这是学生对扇形统计图用百分数进行数据表达，进而形成价值认可的前提。

在本课教学中，笔者创设了引发数据需求、抽样需求、百分数形成需求三个现实情境。

1.基于经验猜测，引发数据需求

课始通过关于假期旅游的简短谈话，引导学生猜测沿海城市的空气质量好，还是内陆城市的空气质量好？学生基于海风、降水、绿化等经验，均猜测是沿海城市空气质量好。笔者追问：同学们结合经验对两类城市的空气质量作出判断，但经验一定可靠吗？怎样进行准确比较？学生认为可以通过调查，收集沿海城市和内陆城市的空气质量数据进行对比。学生在真实情境中现实问题的引导下，感受到许多问题的解决要先做调查研究、收集数据，只要有足够的数据就能从中发现规律，自觉产生收集数据、用数据说话的内需。

2.呈现现实困境，引发抽样需求

之后，笔者展示中国地图并提出问题：中国的沿海城市有五六十个，内陆城市有五百多个，数量这么多，怎么比呢？有学生认为可以分别挑选一些有特点的城市，收集它们的空气质量数据进行对比；也有学生认为如果要公平地比较，就应该在两类城市中任意挑选一些，收集数据进行对比。笔者介绍，这样的方法都叫“抽样”，后一种方法属于“随机抽样”。学生感受到，在面对现实问题时不必得到所有城市的相关数据，只需分析一部分数据（样本）的性质或特征就可以推断总体的情况。这样，学生的抽样意识自主萌发，为初中阶段具体抽样方法的学习积累经验。

3.设计对比障碍，引发百分数形成需求

随后，笔者呈现随机抽样的40个沿海城市和50个内陆城市的空气质量等级信息，再将信息分类整理成复式统计表（见表1），引导学生仔细观察并比较哪类城市空气质量好。学生均认为因抽样的沿海城市和内陆城市总数不相等，不好直接比较。还有学生提出建议：在这些数据的基础上，可以分别算出两类城市中空气质量为优的城市占百分之几、良的城市占百分之几、污染的城市占百分之几，通过百分数就可以比较。建议得到大家认可后，笔者呈现百分数统计表（见表2）。学生面对情境中的数据冲突，自觉产生将“量”转化为“率”的需求，数据意识得以发展。

三、意义表征中理解图表结构是形成数据意识的支点

在大数据背景下进行数据深度分析，是以理解统计图表结构、掌握相关统计术语和符号为前提的。因扇形统计图结构相对复杂，小学阶段未对其制作提出教学要求，但学生在百分数学习过程中，已经积累了对百分数意义进行多元表征的经验，因此，教学中可引导学生对同一单位“1”中的几个简单百分数进行多元表征，一方面能发展数感和几何直观，另一方面能深化对扇形统计图中百分数意义的理解，还能通过学生差异化表征的展示、交流，让学生理解扇形统计图的结构，感悟扇形统计图的特征，为后续进行数据分析提供支撑，为数据意识的形成和发展提供支点。呈现表2后，笔者组织三次活动，引导学生逐步理解数据意义、图表结构，以及图表内数据间的逻辑关系。

1.多元表征，分层展示作品

笔者以表2中沿海城市数据为例，组织学生写一写或用示意图画一画，表示出对各个百分数意义的理解。之后笔者请学生上台展示、介绍几种典型作品（如图1、图2、图3）。

2.对比评价，理解作品共性

展示、介绍后，组织学生对三位同学的作品进行点评，概括它们的异同。笔者首先肯定三位同学表示得都对，然后一边用板贴逐步呈现完整的扇形统计图（如图４），一边说明：数学统计时，通常用一个圆表示单位“1”的量，将圆平均分成100份，用不同大小的扇形表示各个部分量所占的百分率，再加上标题、制图日期，就形成我们用数据说话的一种重要方式——扇形统计图。

3.图表初析，理解内部逻辑

接着笔者引导学生观察完整的沿海城市空气质量情况扇形统计图，交流从中了解到的信息。期间笔者提问：如何计算各空气质量等级的沿海城市的个数？之后笔者再呈现内陆城市空气质量情况扇形统计图（如图5），学生交流图表中信息时提问：已知空气质量为优的城市有15个，怎样计算内陆城市的总数？通过两次提问，引导学生迁移运用百分数实际问题中的数量关系，促进他们对扇形统计图中数据间逻辑关系的理解，发展学生应用意识。

四、指向问题解决的数据分析是发展数据意识的重点

让数据说话，意味着尊重客观事实。通过分析数据中蕴涵的信息，不仅可以让学生感受统计应用的多样性，渗透培养实事求是的科学精神，还能拓宽学生的知识面[6]。通过指向问题解决的问题设计，引发学生对数据的深度分析，有助于提升他们的数据感悟能力，体验统计价值，这是发展学生数据意识的重点。

1.对比选择，理解统计图表特征

统计图表是为了直观地表达数据，因所要研究的问题不同，表达方式和特征也有所不同。扇形统计图是为了直观地表示各分量与总量间的百分率关系。这一特征，需要教师引导学生通过对比分析、选择判断等活动，体验扇形统计图与其他统计图表的不同之处，感悟并认可其价值。

在引导学生依次分析图4、图5两幅扇形统计图后，笔者引导学生回顾前一阶段的学习，课件一一呈现抽样城市的空气质量情况记录表、复式数量统计表、复式百分率统计表、两幅扇形统计图，提出问题：要比较两类城市的空气质量情况，你会选择哪种方式比较？说说理由。交流中，学生均选择扇形统计图，理由是前两种方式中的数据都只能看出具体数量，总数量不同时不好直接比较哪类城市空气质量好，后两种统计方式中的数据都是百分率，能直接比较空气质量情况。扇形统计图是在圆中用大小不同的扇形表示出各部分数量占总量的百分率，更清楚、直观。学生通过整体回顾，梳理对同一组数据所用的不同表达方式，在现实问题的引导下、在多维对比中体验扇形统计图的鲜明特征，为今后结合问题背景灵活选择合适的统计方式提供可能。

2.比较判断，感悟数据蕴涵的信息

数据分析是统计教学的核心内容和重要目标，通过呈现一定量的真实数据，引导学生在“混乱”的数据中开展比较、判断、预测、推断等活动，能让学生对数据的分析从局部走向整体，对问题的理解也会更具整体性、客观性和深刻性。

学生都认为扇形统计图更便于比较时，笔者再整体呈现两类城市空气质量情况统计图，引导学生比一比：12月9日哪类城市空气质量好些呢？说说你的想法。有学生认为是内陆城市空气质量好，因为空气质量为“优”的内陆城市所占的百分率更大；有的学生认为是沿海城市空气质量好，这些同学有的通过空气质量为“污染”的城市所占百分率进行比较，有的综合考虑空气质量为“污染”“良”的城市所占百分率，同时兼顾空气质量为“优”的城市所占百分率进行比较。在最后的交流辨析中，学生达成共识：整体看来，12月9日沿海城市空气质量好一些。

3.结论推断，培育大数据意识

在以往，随机采样能最大限度保证采样分析的精确性，但随机采样可能存在信息遗漏，而大数据能够为研究者提供数据的全部细节，弥补随机采样分析的劣势。因此，大数据时代样本统计在某些特定情境下仍具应用价值，但不再是数据分析的主要方式[7]。小学数学统计教学中，难以让学生经历真正意义的大数据统计，但适时引导学生感受大数据的特点，感悟大数据的价值，培育学生大数据意识，不仅体现数据意识培养的时代性，也体现统计与概率领域核心素养培养目标的上的一致性、层次性和阶段性。

对12月9日两类城市空气质量对比分析后，笔者提问：通过这一天数据的对比分析，我们能说沿海城市的空气质量一定比内陆城市好吗？学生均认为不能，因为这里只统计了一天的数据，其他时段的空气质量情况不一定也是如此。同时学生进一步提出，要比较两类城市的空气质量情况，还要收集更多的数据。于是笔者呈现两类城市2023年整个12月空气质量情况的扇形统计图，再次引导学生对比空气质量情况。学生通过分析、交流，均认为沿海城市空气质量好。笔者追问：从一天的数据分析到一个月的数据分析可知，沿海城市的空气质量比内陆城市好。现在可以下定论了吗？学生还是认为不能下定论，有的认为一个月的数据虽然比一天的数据有说服力，但还是不够；有的认为这里只是40个沿海城市和50个内陆城市的数据，数据也不够。笔者再追问：时间还不够长，城市数量还不够多，那该怎么办呢？学生均认为要收集更多城市，最好是所有城市、更长时间的数据，制作成扇形统计图再对比分析。最后，笔者说明：看来要得出最终结论，需要更多量的数据，我们可以称之为“大数据”。学生在问题引导下，体验到数据既有差异性又有规律性，数据越多则规律越明显，所得到的规律也越可靠，感受到只要有足够的数据，就可以从中发现规律。

五、对于不确定性的统计感悟是提升数据意识的拐点

自然界是混乱的、不可预测的，自然界的定律不过是对平均效应所进行的方便的、暂时的描述，这种对待自然界和自然界规律的态度就是众所周知的观察自然界的统计观点——用统计观点看世界[8]。统计思维具有辩证性，前提是自然界是偶然的，统计推断就是从偶然中发现必然但又不是“必然”的必然，这就使得统计推断的结论不同于数学结论的唯一性和确定性，它并不是百分之百可靠，但却有意义。这种思维属于人类的高级思维，小学阶段培养这种思维很难，但对这种意识的培养要从早期教育开始，它属于高阶的统计意识。

本课最后，笔者结合课件，引导学生回顾整节课的学习路径，提出问题：我们最终还是没有得出哪类城市空气质量一定好的定论，那我们这节课的学习是不是毫无意义呢？片刻思考后，学生均认为这节课的学习有意义：有的学生认为，这节课认识了扇形统计图，它能直观地表示出各部分数量与总数量的关系，知道了当总数量不相同时，可以算出各个部分占总量的百分率，制作成扇形统计图进行分析比较；有的学生认为，学习本课后知道通过数据可以清楚地分析、比较两类城市的空气质量情况；有的学生认为，通过本课学习知道了对大量数据进行比较的时候，可以抽样调查再进行分析，而想要得到准确结果，需要用大数据进行分析；还有学生认为，并未得出定论，是因为数据还不够多，数据越多，得出的结论就会越可靠。学生对统计学习价值的认可有的源自知识技能层面的收获，还有的源自对随机现象的深刻体验、大数据意识的觉醒和统计价值的理解，这标志着学生数据意识的提升，并开始向数据观念进阶。

参考文献

[1] 赵斌.从“知识技能”走向“数据分析观念”的统计教学——以“复式统计表”一课教学为例[J].教学月刊·小学版（数学），2020（Z2）：59-63.

[2] 刘加霞，马晓丹，陶安慧.百分数“统计意义”的内涵、育人价值及教学建议[J].教学月刊·小学版（数学），2023（04）：4-8.

[3] 史宁中.数学基本思想与教学[M].北京：商务印书馆，2018：160.

[4] 陈希孺.机会的数学[M].北京：清华大学出版社；广州：暨南大学出版社，2000：58-59.

[5] 陈雪香.切合学生实际选材，体现扇形统计优势——以人教版《认识扇形统计图》为例[J].基础教育论坛，2018（18）：32-35.

[6] 曹培英.小学数学统计与概率教学研究（三）[J].小学数学教育，2019（17）：4-9.

[7] 金轩竹，马云鹏.大数据背景下数据分析观念培养的实践路径[J].小学数学教育，2018（23）：3-7.

[8] 克莱因.西方文化中的数学[M].张祖贵，译.上海：复旦大学出版社，2005：386.

［责任编辑：陈国庆］