数轴上的动点问题探析

李发州

【摘要】“数轴上的动点问题”，是指点在数轴上运动而形成的问题.数轴作为初中数学学习的一个工具，通过数轴可以体现数学中的数形结合思想.本文利用数轴的性质结合一元一次方程，探析解决复杂的“数轴上的动点问题”的解题策略.

【关键词】数轴；动点；初中数学；数形结合

数轴安排在数学教材七年级上册第一章中，是研究数的一个基础工具.深度研究数轴我们可以发现隐含的一些重要规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a，b（b＞a），则线段AB的长（点A到点B的距离）可表示为b-a.将点A向左平移m（m＞0）个单位，则新点与数（a-m）对应；将点A向右平移n（n＞0）个单位，则新点与数（a＋n）对应；利用这些规律，结合方程，可以解决复杂的“数轴上的动点问题”.

“数轴上的动点问题”，是指点在数轴上运动而形成的问题，在期末试卷中常常以压轴题出现，综合考查七年级学生对知识的掌握情况以及运用知识的能力，让许多学生望而生畏.分析其原因主要是学生对这类问题没有整体的认识，导致学生每次遇到这类问题找不到解题的思路.

例1 如图1，点A、B、C在数轴上对应的数分别是-24，-10，10.

（1）直接写出AB＝______，BC＝______.

（2）若在数轴上点A以1个单位长度/s的速度向左运动，同时点B以3个单位长度/s的速度向右运动，点C以5个单位长度/s的速度向右运动，设运动时间为t.

①用含t的代数式表示运动变化后线段BC和线段AB的长；

②是否存在常数m，使式子BC-mAB的值不随时间t的变化而变化，若存在，求出m的值，若不存在，说明理由.

分析 设运动时间为t，则

A运动后对应的数为-24-t，点B和点C运动后对应的数分别为：-10+3t，10+5t，再分别求解BC，AB，再进行整式的加减运算；结合BC-mAB的值不随时间t的变化而变化，即代数式的值与t无关，建立方程求解即可.

解 （1）因为点A、B、C表示的数分别是-24，-10，10，

所以AB＝-10-（-24）＝14，AC＝10-（-10）＝20，

（2）A运动后表示的数是-24-t，

B运动后表示的数是-10+3t，

C运动后表示的数是10+5t，

所以运动后，BC＝（10+5t）-（-10+3t）＝ 2t+20，

AB＝（-10+3t）-（-24-t）＝4t+14，

存在符合要求的m的值，使BC-mAB的值不随时间t的变化而变化，理由如下：

BC-mAB＝2t+20-m（4t+14）＝（2-4m）t+20-14m，

当2-4m＝0，即m＝12时，BC-mAB的值不随时间t的变化而变化，

此时，BC-mAB＝20-14×12＝13.

点评 本题考查数轴上两点之间的距离，整式的加减运算的应用，代数式的值与某字母无关的问题，解题的关键是用含t的代数式表示动点的位置.

学习新知

已知在数轴上有三个点A、B、C，点C在A、B之间，C点与A点的距离是C点与B点的距离的4倍，则称点C是{A，B}的奇点.

例2 如图2，A点表示-4这个数，B点表示1这个数.原点C与A点的距离是4，与B点的距离是1，则C点是{A，B}的奇点；再如，-3这个数表示的D点到A点的距离是1，与B点的距离是4，则D点不是{A，B}的奇点，但点D是{B，A}的奇点.

运用新知

如图3，数轴上M点表示数-4，N点表示数6.

（1）数______对应的点为{M，N}的奇点；数______对应的点为{N，M}的奇点；

（2）如图4，数轴上的A点表示数-50，B点表示数30.若动点P从B点出发向左运动，当P点运动到什么位置时，P、A、B三点中恰好有一个点为另外两点的奇点？

分析 （1）首先读题，结合图形理解奇点的含义，然后根据奇点的含义，设数x所表示的点是{M，N}的奇点，由题意列方程求出x；同样设数y所表示的点是{N，M}的奇点，由题意得6-y＝4（y+4），求出y.（2）设P点表示的数是a，分六种情况讨论.

解 （1）设数x所表示的点是{M，N}的奇点，

所以x+4＝4（6-x），解得x＝4，

所以数4所表示的点是{M，N}的奇点；

设数y所表示的点是{N，M}的奇点，

所以6-y＝4（y+4），解得y＝-2，

所以数-2所表示的点是{N，M}的奇点.

（2）设P点表示的数是a，

当P是{A，B}的奇点时，PA＝4PB，所以a+50＝4（30-a），解得a＝14；

当P是{B，A}的奇点时，PB＝4PA，所以4（a+50）＝30-a，解得a＝-34；

当A是{B，P}的奇点时，AB＝4AP，所以80＝4（-50-a），解得a＝-70；

当A是{P，B}的奇点时，4AB＝AP，所以320＝-50-a，解得a＝-370；

当B是{A，P}的奇点时，AB＝4BP，所以80＝4（a-30），解得a＝50（舍去）；

当B是{P，A}的奇点时，BP＝4AB，所以a-30＝4×80，解得a＝350（舍去）；

综上所述，P点表示的数为14或-34或-70或-370时，满足题目的要求.

点评 试题涉及实数与数轴，数轴上点的特征，数轴上两点间距离，用方程解决问题等核心知识.总结本题的解答思路：弄清新定义“奇点”的含义，是解题的关键所在.细读“点C是{A，B}的奇点”的新定义可看出：“三个点A、B、C”在“点C是{A，B}的奇点”的新定义中是有序的，而题目问题“P、A和B中恰有一个点为其余两点的奇点”与新定义明显有区别，没有指明顺序，这提示我们采用分类讨论的方法解决问题，避免出现遗漏.

结语

数轴上的动点问题不仅有数量关系，还有图形关系，分析问题时要通过数形结合的方式，用含有字母的代数式表示数轴上的动点的位置，根据题目中线段之间的数量关系，通过列方程进行表达，最终解决数轴上的动点问题.