一个优美的三角形不等式链

谢海鑫

1.提出问题

题目3 （文［3］）在△ABC中，BC=a，CA=b，AB=c.求证：

2（a2cosA+b2cosB+c2cosC）≤ab+bc+ca.

本文以三个数学问题为出发点，探寻他们之间的关联，最后将三个问题串联，得到一个优美的三角形不等式链.

为了证明不等式链，先给出三角形中的熟知结论：

首先，我们给出两个引理：

由正弦定理及积化和差公式、和差化积公式得

在上述结论下，我们给出不等式链的证明

由欧拉不等式R≥2r显然成立，从而（1）式成立.

（3）式的证明见文［1］.

综上所述，不等式链成立.

参考文献

［1］黄兆麟.数学问题解答2259［J］.数学通报，2015（9）.

［2］安振平.數学问题与解答979［J］.数学教学，2016（6）.

［3］蔣连军.数学问题与解答1162［J］.数学教学，2012（10）.

［4］吴林琳，李建潮.两个三角形不等式的串联与加细［J］.数学通讯（下半月），2022（3）：33-35.