全称量词与存在量词有关的嵌套问题

李何东

新教材对于全称量词命题和存在量词命题有了新的命名，将老教材里的“特称量词命题”改成了“存在量词命题”，关于任意性与存在性嵌套的命题再次推上热议．随意改变“存在”与“任意”的顺序往往会使命题不等价，特别是与“或”、“且”等逻辑关联词相结合时，如何等价转化、简化命题是学生的难点，也是学生的易错点．本文将研究这一类问题的转化方法．

1.全称量词与存在量词有关的“分配律”

题1 （2018宁波模拟）设二次函数f（x）=x2

在上述解法中，我们可以得到如下：

定理1.1和定理1.2說明了存在量词命题对“或”满足“分配律”，全称量词命题对“且”满足“分配律”.但是反过来则会出现问题，具体应用如下：

正解：用值域或者数形结合的办法易得正确答案t≥1．

我们改变问题，把f（x）变成一个连续函数：

2.全称量词与存在量词有关的“交换律”

通过定理可以发现，全称量词和全称量词顺序可交换，存在量词和存在量词顺序可交换，但是全称量词和存在量词顺序不能交换．定理2.1及定理2.2显然易证，下面通过反例说明定理2.3是不可逆的．

题5 已知函数f（x）=aex－1－lnx+lna，f（x）≥1恒成立，求a的取值范围．

参考文献

1．邱春来．“恒成立问题”与“有解问题”的区分及解题策略［J］．福建中学数学．2011，10.

2．石小丽．变式中层进，层进中拓展——高三专题课“函数中的恒成立问题、有解问题”的教学思考［J］．求知导刊．2019，11.