巧视角切入，妙思维拓展

文芳

摘  要：圆与圆的位置关系问题综合考查了点、直线、圆等相关元素的联系与应用，是高考命题的一大热点，创新点多，注重数学知识、数学思想和数学能力.结合一道两圆综合应用的高考真题，多思维视角切入，总结规律，变式拓展，展示数学学科价值，合理调控综合程度，可以很好地引领与指导数学教学与复习备考．

关键词：高考真题；圆；直线；多思维视角

1  真题呈现

写出与圆x2+y2=1和（x－3）2+（y－4）2=16都相切的一條直线的方程：    .

2  真题剖析

此题以两圆的标准方程为问题背景，求解两圆的公切线.考生根据已有的信息进行分析、猜想、探究和推理等，从而得出一个满足条件的结论.

解决问题时要先判断两圆之间的位置关系，利用两圆的不同位置关系来确定公切线的情况：两圆内含没有公切线，两圆内切只有一条外公切线，两圆相交有两条外公切线，两圆外切有一条内公切线和两条外公切线，两圆相离有两条内公切线和两条外公切线等.

本题中，在确定两圆的位置关系的前提下，即两圆外切，只要选填一条内公切线和两条外公切线中的一条公切线方程即可求解，答案不唯一，解题方法多样.

3  真题破解

解析1：依题知，圆x2+y2=1和（x－3）2+（y－4）2=16的圆心与半径分别为O（0，0），C2（3，4），r1=1，r2=4.

可得|OC2|=5=r1+r2，则知两圆外切，可得两圆有三条公切线.

（1）当公切线的斜率不存在时，此时x=－1；

（2）当公切线的斜率存在时，设公切线的方程为y=kx+b，即kx－y+b=0.

则有｜b｜k2+1=1，

｜3k-4+b｜k2+1=4，

解得k=-34，

b=54

或k=724，

b=-2524，

则有y=－34x+54或y=724x－2524，故公切线的方程为3x+4y－5=0或7x－24y－25=0.

解后反思：根据两圆的圆心坐标与半径的确定，结合两圆的圆心距与半径之间的关系判断两圆的位置关系，即两圆外切，通过判断公切线的斜率是否存在进行分类讨论：斜率不存在时可以直观判断；斜率存在时可设出公切线方程，利用两圆心到该公切线的距离分别等于对应的半径联立方程组来求解，从而得以确定公切线方程.利用圆心到切线的距离等于半径这一几何性质，是求解圆的切线的常用技巧方法.

解析2：依题知，圆x2+y2=1和（x－3）2+（y－4）2=16的圆心与半径分别为O（0，0），C2（3，4），r1=1，r2=4.

可得|OC2|=5=r1+r2，则知两圆外切，可得两圆有三条公切线.

结合图形，显然，一条公切线x=－1.

而直线OC2的方程为4x－3y=0，与x2+y2=1联立，可得切点A35，45，又过点A的公切线的斜率为－34，则对应的公切线方程为y－45=－34x－35，即3x+4y－5=0.

而直线OC2与直线x=－1的交点为B－1，－43，设过点B的公切线方程为y+43=k（x+1），则有k-43k2+1=1，解得k=724，从而该公切线的方程为y+43=724（x+1），即7x－24y－25=0.

解后反思：根据判断两圆的位置关系——两圆外切，由此确定它们有三条公切线，通过数形结合直观确定其中一条公切线后，再逐一确定公切线所过的点（或切点）以及对应的斜率，进而得以确定另外两条公切线.设出直线的点斜式方程，分别确定直线所经过的点与直线的斜率，是求解直线方程最常用的方法.

2024年第3期复习考试

复习考试2024年第3期

4  变式拓展

探究1  改变试题的设问方式，由高考真题中的“结论开放性”形式转化为一般形式问题，写出所有的公切线方程，得到以下对应的变式问题.这样就要求考生考虑全面，比原高考真题难度有所提升.

变式1  写出与圆x2+y2=1和（x－3）2+（y－4）2=16都相切的所有直线的方程：  .

答案：x=－1，3x+4y－5=0或7x－24y－25=0.（三条直线缺一不可）

探究2  改变两圆的标准方程，由此来确定不同的两圆位置关系，进而得以确定对应的公切线方程，得到对应的变式问题.

变式2  写出与圆x2+y2=1和（x－3）2+（y－4）2=36都相切的一条直线的方程：  .

解析：依题知，圆x2+y2=1和（x－3）2+（y－4）2=36的圆心与半径分别为O（0，0），C2（3，4），r1=1，r2=6，

可得|OC2|=5=r2－r1，则知两圆内切，可得两圆有一条外公切线.

而由两圆x2+y2=1和（x－3）2+（y－4）2=36的方程相减，可得6x+8y+10=0，即3x+4y+5=0，为两圆的外公切线方程.

探究3  保留两圆的标准方程，改变设问形式，转化为求解到两圆的切线长相等的点的坐标问题，从而得变式.

变式3  写出满足到圆x2+y2=1和（x－3）2+（y－4）2=16的切线长都相等的一个点的坐标：    .

解析：依题知，圆x2+y2=1和（x－3）2+（y－4）2=16的圆心与半径分别为O（0，0），C2（3，4），r1=1，r2=4，

可得|OC2|=5=r1+r2，则知两圆外切.

而由两圆x2+y2=1和（x－3）2+（y－4）2=16的方程相减，可得6x+8y－10=0，即3x+4y－5=0，其为两圆的内公切线方程.

那么内公切线方程3x+4y－5=0上的点到两圆的切线长都相等.

故点可为（－5，5）.（答案不唯一，填满足方程3x+4y－5=0的一个点的坐标即可）

5  教学启示

开放性结论的“举例问题”经常以填空题的形式出现，题目新颖创新，类型变化多端，试题难度中等，技巧策略多变.此类开放结论的“举例问题”，是在确定题目背景与条件的基础上，举例写出一个符合题意的答案（结论往往不唯一）即可，具有非常高的灵活性与开放性.学生在解决问题时，各显神通，从不同视角切入，抓住问题的关键，合理数学构建，全面提升能力，综合数学基础知识、数学思想方法和数学能力等层面加以交汇与应用，给不同层次、水平的考生提供了更加充分发挥自己数学能力水平的空间，很好地提升思维的灵活性与开放性，增强学生创新意识与创新精神．