从一个蘑菇寻找一堆蘑菇

徐海虎

摘  要：教材是知识与方法最重要的载体，也是课标最直接的呈现形式，教材中甄选的习题有很好的代表性和延展性.在教学中我们要重视对教材习题的探究与发掘，由“个”到“类”，引导学生不断地变式探索，从一个蘑菇寻找一堆蘑菇，借助这个过程提升学生的解题能力，培养核心素养，发展解题的高阶思维.

关键词：教材；习题；蘑菇；高阶思维

著名数学教育家乔治·波利亚在他的《怎样解题》一书中指出：“好问题如同某种蘑菇，它们总是成堆地生长，找到一个以后，你应当环顾四周，很可能在附近就有好几个.”在实际教学中，寻找一堆蘑菇之前，首先困扰我们的往往是如何找到第一个品质优良的蘑菇，很多時候我们会不自觉迷失在每年全国各地的模拟题当中，却忽略了蘑菇最初始的培养基——教材.

教材作为教学最规范和全面的一手资料，不仅是我们教授知识的载体，同样也能指导我们更科学、高效地解题.随着新一轮课程改革的稳步推进，“多一点思考，少一点机械运算”已经成为高考命题的一条基本理念.［1］稍加注意，不难发现近几年的数学高考试题都有不少是源于教材本身，这些试题大多是教材中的例题和习题的变式与重组.“源于教材，高于教材”是高考试题的真实写照.［2］教材中的题目大多都蕴涵着深刻的数学知识与丰富的数学文化背景，只有回归教材，研究教材，才能将师生从“题海战术”中解放出来.

1  习题再现

^^（人教A版高中数学选择性必修第一册，第116页“拓广探索”第14题）&&

已知椭圆x24＋y29＝1，一组平行直线的斜率是32.

（1）这组直线何时与椭圆有两个公共点？

（2）当它们与椭圆有两个公共点时，证明这些直线被椭圆截得的线段的中点在同一条直线上.

第（1）问研究的是直线与曲线的交点问题，只需设出直线方程并联立椭圆方程，消去一个未知量，根据一元二次方程的判别式进行判定即可求解.这里我们重点探究第（2）问.

思路一：要证明被椭圆截得的线段中点共线，首先要求出每条线段所对应的弦中点坐标，所以设出直线方程，利用韦达定理即可求出弦中点的坐标，最后再利用消参法求出轨迹方程.具体求解过程如下：

解析：设这一组平行直线的方程为y＝32x＋t，直线与椭圆交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，记AB中点为M（x0，y0）.将直线方程代入椭圆方程，整理，得18x2＋12tx＋4t2－36＝0，由韦达定理可知，x1＋x2＝－23t，则x0＝－13t，再由直线y＝32x＋t可得弦中点的纵坐标y0＝12t.消去t可得y＝－32x，则这组平行直线被椭圆截得的线段的中点在直线y＝－32x上.

方法总结：此方法主要是利用消参法求动点的轨迹，进而求出直线的方程，属于基本解法.

思路二：提到弦中点，我们还可以利用点差法寻求直线斜率之间的关系.这也是学生比较熟悉的与弦中点相关的二级结论.具体求解过程如下：

解析：设椭圆x24＋y29＝1与直线y＝32x＋t相交于点A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点为M（x0，y0），由题意可得x214＋y219＝1，

x224＋y229＝1.两式相减可得（x1＋x2）（x1－x2）4＋（y1＋y2）（y1－y2）9＝0，即y1－y2x1－x2·y1＋y2x1＋x2＝－94，其中y1－y2x1－x2＝kAB.因为M（x0，y0）是线段AB的中点，所以x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，则y1＋y2x1＋x2＝y0x0，而y0x0＝kOM，所以kAB·kOM＝－94，即直线AB的斜率与直线OM的斜率的乘积为定值－94.从而求出OM的斜率为定值－32，即这组平行直线被椭圆截得的线段的中点在直线y＝－32x上.

方法总结：此方法主要是利用弦中点的结论（证明方法同上）：已知椭圆x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0），O为坐标原点，过点M（x0，y0）且不平行于坐标轴的直线l与椭圆相交于A，B两点，且M为线段AB的中点，则有kAB·kOM＝－b2a2.该结论还可以进一步推广：已知椭圆x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0），O为坐标原点，过点O的直线l与椭圆相交于A，B两点，P为椭圆上异于A，B的点，若直线PA，PB的斜率存在，则有kPA·kPB＝－b2a2.教材上有对应的例题［3］，此处不再赘述.

2  对比反思

通过以上两种求解思路的对比我们发现，利用斜率乘积为定值的二级结论在解决圆锥曲线中与弦中点相关问题的时候，会更快速简便.解决了这道课本习题之后，我们也可以得到如下推广：椭圆的一组平行弦的中点与原点共线.

【一找蘑菇】由上面的推广结论，我们知道弦中点与原点共线，除此之外，是否还能发现其他的性质呢？带着这样的思考，我们将本道习题进行改编：

变式习题  如图1，已知椭圆E：x216＋y24＝1，椭圆上有四个动点A，B，C，D，CD∥AB，AD与BC相交于点P.若点P的坐标为（8，6），求直线AB的斜率.

分析：本题虽然没有提及弦中点，但是在题设条件中出现了平行弦，延续教材习题所带来的方法引导，我们很快可以得到如下方法：

解析：如图2，取AB中点M，连接PM并延长，交CD于点N.因为CD∥AB，所以AMDN＝PMPN＝BMCN.又AM＝BM，所以CN＝DN，即N为CD中点.设A（x1，y1），B（x2，y2），弦AB中点为M（x0，y0）.因为x2116＋y214＝1，x2216＋y224＝1，所以（x1＋x2）（x1－x2）16＋（y1＋y2）（y1－y2）4＝0，2x0（x1－x2）16＋2y0（y1－y2）4＝0，故kAB·kOM＝－14，同理可得kCD·kON＝－14.因为kAB＝kCD，所以kOM＝kON，从而得O，M，N三点共线，因此O，P，M，N四点共线.由kAB·kOP＝－14，kOP＝34，解得kAB＝－13，即AB的斜率为－13.

方法总结：通过变式推广，我们发现若椭圆一组平行弦对应端点的连线交于一点，则该点与平行弦中点及原点均共线.

【二找蘑菇】本题除了用共线来求解直线的斜率，还有没有其他方法呢？考虑到平行线带来的三角形相似，可以尝试通过比例关系转化为向量定比分点进行求解，从而挖掘出以下的双割线同构法：

方法探究1：双割线同构

解析：如图1，设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），因为CD∥AB，可记PD＝λPA，PC＝λPB.由PD＝λPA，得x4－8＝λ（x1－8），

y4－6＝λ（y1－6），

所以x4＝λx1－8λ+8，

y4＝λy1－6λ+6.

又A，D均在橢圆上，所以

x2116＋y214＝1①，

（λx1－8λ+8）216＋（λy1－6λ+6）24＝1②，将①式代入②式，化简，得λx1＋3λy1-14λ＋12＝0，同理可得λx2＋3λy2-14λ＋12＝0，即直线AB：λx＋3λy-14λ＋12＝0（λ≠0），所以直线AB的斜率为－13.

方法总结：通过将平行线等分线段比例进行量化，利用向量坐标的运算得到x1，y1与比例系数λ之间的关系，同理又可以推出x2，y2与λ之间的关系，采用两点同构的方法直接写出直线AB的方程，进而求出直线AB的斜率.同构的推广告诉我们，如果过椭圆外一点作椭圆的两条割线，那么在每一条割线上均可以利用定比分点找到坐标与比例系数之间的关系式，最后采用双割线同构的方法求出目标直线的方程.这样，习题的变式就得到进一步推广和深化.

除了同构法的拓展，在教学中，坐标关系式化简的方式也不唯一，教师可以引导学生自主探究，尝试不同的化简方法，就比如下面的定比点差法：

设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），记AP＝λPD，得8＝x1＋λx41＋λ，

6＝y1＋λy41＋λ.（*）又A，D均在椭圆上，所以x2116＋y214＝1，

x2416＋y244＝1，变形可得x2116＋y214＝1，

λ2x2416＋λ2y244＝λ2，两式作差，得（x1＋λx4）（x1－λx4）16＋（y1＋λy4）（y1－λy4）4＝1－λ2，将（*）代入可得8（1＋λ）（x1－λx4）＋24（1＋λ）（y1－λy4）＝1－λ2（**）.因为λ≠－1，所以8（x1－λx4）＋24（y1－λy4）＝1－λ.

通过（*）式变形可得λx4＝8（1＋λ）－x1，λy4＝8（1＋λ）－y1，代入（**）式化简可得16x1＋48y1－255λ2－257＝0.同理可得16x2＋48y2－255λ2－257＝0，即直线AB的方程为16x＋48y－255λ2－257＝0，所以AB的斜率为－13.

【三找蘑菇】到此，寻找蘑菇的脚步是不是就可以停止了呢？通过观察，我们发现，同构的方法是建立在两条割线比例关系相同的情况下研究的，如果仅有一条割线，或者割线上的比例关系不一样，那同构的方法还具有适用性吗？

方法探究2：单割线同构

习题再变式  如图3，已知椭圆C：x24＋y22＝1.过点P（4，1）的动直线l与椭圆C相交于不同的A，B两点，在线段AB上取点Q，满足|AP|·|QB|＝|AQ|·|PB|，证明：点Q总在某定直线上.

分析：本题仅有一条割线，这就导致两个向量的比例关系均分布在同一条直线上，但是本质上还是可以看作是两组不同的比例关系式，结合上面的同构方法，整理出以下解法：

解析：设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x，y），P（4，1），设AP＝λAQ，则BP＝μBQ，由|AP|·|QB|＝|AQ|·|PB|，可知λ＋μ＝0.由AP＝λAQ可得（4－x1，1－y1）＝λ（x－x1，y－y1），所以x1＝λx－4λ－1，y1＝λy－1λ－1，代入椭圆方程化简，得（x2+2y2－4）λ2－（8x＋4y－8）λ＋14＝0.同理可得（x2+2y2－4）μ2－（8x＋4y－8）μ＋14＝0.即λ，μ为关于t的方程（x2+2y2－4）t2－（8x＋4y－8）t＋14＝0的两个实数根（其中x2+2y2－4≠0），λ＋μ＝8x＋4y－8x2+2y2－4＝0，即8x＋4y－8＝0，所以点Q总在定直线2x＋y－2＝0上.

3  方法总结

单割线同构的方法首先是设出比例系数，将同一条直线上的比例关系用向量刻画，然后求出点的坐标，代入椭圆方程之后建立等量关系.最后将比例系数看作未知数，同构出比例系数所满足的方程，再利用一元二次方程根与系数的关系求出定直线的方程.本题的同构与前面有一定的区别，通过对这两种同

构的对比，学生也能发现，同构的本质是要出现两组相同结构的关系式，跟割线的条数无关，与比例关系式的个数相关.

通过对这道课本习题的探究和拓展，我们可以总结出圆锥曲线中有关弦中点和中心弦的二级结论，也可以引出定比分点的向量坐标运算，从而进一步探索出同构的方法.

其实，在实际教学中，寻找蘑菇的脚步还可以继续走下去，比如最后的变式本质上就是“调和点列”的内容，教师可以借这个机会引导学生深入研究，拓展思路，通过自主学习获得习题背后更多的知识与方法，真正意义上通过一个蘑菇找到成堆的蘑菇.

波利亚的蘑菇理论，要求教师在教学中首先要培养学生的“寻找”意识，不能只是就题做题；其次，在解决一个问题后，要善于去总结一个模式，并把它

储存起来，以后可以随时用它去解决类似的问题，进而提高解题能力.因此，重视教材的课后习题，引导学生对习题进行探究拓展，并在此过程中教会学生如何抽象和一般化，关注学生深度的思维经历，也是促进数学解题教学从低阶思维向高阶思维转变的重要方式［4］.

参考文献

［1］ 陈炳泉.从课本题目到高考试题的变式研究［J］.数学通报，2019，58（11）：38－41.

［2］ 袁涛，贺文.回归数学教材，重视习题探究——从教材中的一道圆锥曲线练习题说起［J］.数学教学通讯，2022（30）：84－86.

［3］ 章建跃，李增沪.普通高中教科书：数学（选择性必修第一册）［M］.北京：人民教育出版社，2021.

［4］ 赵锋.指向高阶思维的数学复习课教学例谈［J］.中学数学教学参考，2022（29）：32－35.