数学章节复习发展学生发现问题能力的策略

叶新和 王春梅

［摘要］ 发展学生数学学科发现问题的能力是中小学数学课程标准的一贯要求，数学章节复习能有效发展学生发现问题的能力。本文以“分式”章节复习为例，介绍创设情境策略、外显错误策略、生成问题策略、形成落差策略、对立信息策略等发现问题的有效策略。

［关键词］ 数学章节复习；发现问题能力；教学策略

一、数学章节复习用于发现问题能力与培养现状

从课程标准来看，“发现问题能力”的要求一以贯之。《义务教育数学课程标准（2011年版）》《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》《义务教育数学课程标准（2022年版）》中相关表述，均在“总目标”中明确要求发展学生运用数学知识与方法发现、提出、分析和解决问题的能力。关于发现问题能力的地位与作用，实验版高中课程标准在总目标部分提出“提高提出、分析和解决问题的能力”；修订版高中课程标准进一步明确提出了“发现问题能力”及培养“四能”。这就使得“数学问题”在课程中处于更加突出的地位。问题解决，通过“四能”在能力培养的层次上做了“全程化”的要求，这是高中数学课程目标以数学学科核心素养为导向的新要求。

当前，章节复习用于发现问题能力培养的现状不容乐观。在中国知网中依次选择“学术期刊”“高级检索”，在“主题”上输入“发现问题”“复习”，“来源类别”选择“学术期刊”进行搜索，共得到64条搜索结果，其中只有两篇文章的启迪意义相对较高，然而两文均没有给出可用于发展学生发现问题能力的具有推广价值的教学策略。

就初中阶段数学教材而言，通常学生每学期要学习4-6章内容，如果通过章节复习形成发展学生发现问题能力的有效策略，对于落实课程标准的要求颇有价值。下面，基于苏科版初中数学八年级下册第10章“分式”这部分内容，以其复习课部分教学片段为例，介绍笔者的研究认识，供读者参考。

二、数学章节复习发展学生发现问题能力的策略

就“分式”的复习而言，用于发展学生发现问题能力的策略有创设情境策略、外显错误策略、生成问题策略、形成落差策略和对立信息策略等。

（一）创设情境策略

创设合适的问题情境，将问题隐含在生活情境、数学情境或者其他学科情境中。面对结构不良、信息不全的学习任务，学生便会发现问题。

【教学片段1】对于式子，你有何想法？

【剖析】此处仅仅提供式子，其他信息没有提供，属于试题结构不良。由于跟平常任務不一样，很多学生会一脸困惑，无所适从，也有的会提出疑惑：老师，你想让我们干什么？这意味着学生已经发现了问题。

【说明】在学生发现问题的基础上，教师可略作提示，鼓励学生提出一些问题。比如：（1）当x为何值时，分式有意义？分式值为0？（2）a=-2时，= ；（3）如果方程=4无解，求a的值。也

有学生试图加以判断，如：（4）当x=1时，分式无意义；（5）当a=-2x时，分式值为0；等等（为保持原汁原味，未作修改）。这样，“分式”一章的知识梳理便可有效展开，可谓一举多得。

（二）外显错误策略

当忽视前提条件或者不能挖掘出隐含条件时，以及由于思维定式的原因，学生常常会形成错误判断。教师适时识别外显错误看法，可以有效发展学生发现问题的能力。

【教学片段2】对于试题“如果关于x的方程=

1的解是正数，那么a的取值范围是 ”，老师对小明的答案“a＜-1”打了“×”。请你说明为什么老师会判错。

【剖析】可以从隐含条件角度来分析：“方式方程的解为正数”隐含着分式方程有解，即相应整式方程的根不是增根，故要满足条件“x-1≠0”。也可以从前提条件角度来分析：如果分式无意义便不存在分式

方程，更谈不上“分式方程解为正数”，为此，首先要有“x-1≠0”。故而，正确答案：a＜-1且a≠-2。

【教学片段3】对于下题：化简÷（x-），再从

-1、0、1、2中选择一个你认为合适的数，作为x的值代入求值。

小明的解答过程为：

÷（x-）=÷x-÷=-·x=

-x=1。当x=1时，原式=0-1-1=-2。

请判断他的解答是否正确。如不正确，指出其中的错误，并给出正确解答。

【剖析】小明的解答不正确，其中有3处错误：（1）除

法对于加减运算没有分配率，第一步解答不正确；（2）分

数线具有括号作用，第三步解答不正确；（3）“x不可以取1”的限制条件比较隐蔽，可以通过找出显性分母x、（x+1）和隐含分母（x2-1）来发现问题。为加深理解，此时可以让学生再代入除式（x-）试算其结果。

正确解答：÷（x-）=÷=·=。当x=2时，原式=。

【说明】学生在学习“分式”时出现的错误较多，外显错误能够有效发展学生发现问题的能力；同时，由于以他人出错的形式进行展示，也能较好地激发学生自己寻找错误的兴趣，提升学习的成就感。

（三）生成问题策略

“问题可以是自己的疑惑，可以是自己的困难，也可以是自己的发现”，引导学生将解决问题过程中产生想法（疑惑、困难、发现等）尽可能地以新问题的形式呈现出来，有助于发展学生发现问题的能力，同时也让学生的思维向纵深展开。

【教学片段4】（从新角度认识分式方程无解）

（1）x分别取-1、0、1、2.5时，求+的值。

追问1：对此，你有何想法？说说看。

（2）计算+。

追问2：+的值可能为一个不是1的数比

如4吗？为什么？

（3）解方程+=4。

追问3：比较追问2和问题（3），你有何想法？说说看。

（4）如果不解方程+=4，你能直接判断方程解的情况吗？

追问4：对此，你有何想法？

（5）你能用新思路解方程=-1吗？

【剖析】追问1、追问3、追问4聚焦“你有何想法”，不断激发学生发现问题的能力。解答完问题（1）后容易产生的想法如下：（只要分式有意义）不管x取何值，分式+的值总为1。在解答完追问2和问题（3）后

容易产生的想法如下：这两者之间会不会有一定的内在联系？能不能先计算（或化简）分式方程等号左边，再根据所得结果直接判断分式方程无解？而解答完问题（4）后容易产生的想法如下：通过对分式方程等号两边进行运算（或化简）来解方程挺有意思的；可以用分式运算的方法来说明分式方程是否无解；可以根据分式方程的具体特征选择不同方法（分式运算或者去分母）来解分式方程等。

【说明】“分式方程无解”是此章节的一大难点，片段4拟巧妙突破，以此发展学生发现问题的能力。

（四）形成落差策略

布置解答要求略高于学生实际知识水平的任务，就完成任务所需的数学“四基”“四能”，学生实际掌握的“四基”“四能”与之存在一定的落差。这样，学生难以完成任务，自然能发现问题。

【教学片段5】（教学片段4追问5）如果关于x的方程=m-有解，那么m的值为 ，此时方程的解为 。

【剖析】由教学片段4可知：只有当m=1时，=m-才有解。“求方式方程的解”常见思路如下：去

分母得x-1=（x-2）+1。此时，无论得到0=0还是得到0x=0，由于学生欠缺相关知识会无所适从，从而发现问题。其实，根据方程根的定义可以发现：当x取任意实数时，方程0x=0都成立，从而方程0x=0的解为一切实数。也可以根据0乘以任何实数都等于0，得x为任意实数。注意到x=2是方程增根，因此x为不等于2的一切实数。故而，答案：1，x为不等于2的一切实数。

【说明】就本题的解答思路而言，有两处知识落差。一处是解方程“0x=0”，学生仅接触过一元一次方程，没有接触过“0x=0”这样的方程。另一处是方程的解为“不等于2的一切实数”，方程解的个数为一个或者方程无解，学生容易理解，但从未接触过解为无数个的情形，对此学生不容易理解与接受。有效对策是，抓住方程解的定义及0的性质（0乘以任何数都等于0）来理解。在此基础上，还要注意到前提条件（或者隐含条件）的限制（即使教师对此也是容易忽视的），如此才能得到正确答案。教学片段5如果借助方式运算来解答，也会因为存在知识落差而形成问题，读者可自行分析。

（五）对立信息策略

在学习任务中有意识提供一些相互冲突甚至矛盾的信息，促使学生在完成任务的过程中发现问题。或者，针对学生头脑中已有的不够全面、不够深刻的看法，通过任务有意识地呈现一些不一致的信息，让学生发现问题。

【教学片段6】（1）如果解关于x的方程=+时出现增根，那么增根是 。

（2）如果解关于x的方程=-时出现增根，那么增根一定是（ ）。

A.0或2 B.2 C.1 D.0

【剖析】两题均让学生先猜测再解答。第（1）题，学生往往认为“增根有2个”“增根是0与2”，当解方程后发现所得结果“增根只有1个”“x=0是增根”，并非自己最初的想法（第一次意识到信息有冲突），便会自行纠正错误认识。

对于第（2）题，可能有学生机械迁移第（1）题的结论，认为“增根有1个”“增根是0”，认为应该选D，然而，可能其他学生并不赞同该看法，因而难以准确判断。此时，学生之间形成信息冲突，师生共同解决第（2）题。分式方程去分母得到方程（a-2）x=-8。由于增根是相应整式方程的根，并使得分式分母值为0，从而“增根可能是2，也可能是0”。这就需要讨论：（1）将x=2代入得a=-2；（2）将x=0代入得0（a-2）=-8。对此，学生不知该如何处理。根据方程根的定义，此时找不到符合条件a的值。然而，实数a是存在的（如果a不存在，方程便不存在，便谈不上方程有增根），信息之间有矛盾，说明x≠0。最终学生发现，一开始的猜测并不正确，应该是“增根为2”，正确答案选B。

【说明】教学片段6解决问题中数次出现了信息对立，在给学生留下深刻印象的同时，也能够较好地发展其发现问题的能力。

［本文系江苏省规划课题“发展中学生数学学科发现问题能力的实践研究”（项目编号：E-c/2015/21）和江苏省规划课题“基于深度学习提升初中生数学‘四能的实踐研究”（项目编号：SJMJ/2022/15）阶段性研究成果］

［参考文献］

［1］史宁中，王尚志.《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》解读[M].北京：高等教育出版社，2020.

［2］张东.基于发现和提出问题推进初中数学复习课教学的实践与思考[J].数学通报，2019（04）.

［3］吴春兰，史红静.从整体上探索发现和提出数学问题之途——以高中复习课“导数应用”为例[J].数学通报，2021（01）.

［4］叶新和.数学章节复习的有效探索——以“分式”复习为例[J].教学与管理（中学版），2013（04）.

［5］史宁中.《义务教育数学课程标准（2011年版）》解读[M].北京：北京师范大学出版社，2012.

［6］杨裕前，董林伟.义务教育教科书数学八年级下册[M].南京：江苏凤凰科学技术出版社，2013.

叶新和   江苏省泰州医药高新区（高港区）教育局，江苏省特级教师，正高级教师。

王春梅   江苏宿迁沭阳如东实验学校，江苏省特级教师，正高级教师。